1. Перпендикуляр и наклонная
Наклонной , проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.
Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной .
\(AB\) — наклонная;
\(B\) — основание наклонной.
Перпендикуляром , проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра .
\(AC\) — перпендикуляр;
\(C\) — основание перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра , проведённого из этой точки к плоскости.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной .
\(CB\) — проекция наклонной \(AB\) на плоскость α .
Треугольник \(ABC\) прямоугольный.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.
∠ \(CBA\) — угол между наклонной \(AB\) и плоскостью α .
Если \(AD > AB\), то \(DC > BC\).
Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.
∠ \(DAB\) — угол между наклонными;
∠ \(DCB\) — угол между проекциями.
Отрезок \(DB\) — расстояние между основаниями наклонных.
Свойства перпендикуляра и наклонной
Свойства перпендикуляра и наклонной вытекают из теоремы Пифагора и признаков равенства прямоугольных треугольников.
1) Любая наклонная больше перпендикуляра.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольник ABC — прямоугольный.
По теореме Пифагора AC²=AB²+BC².
Так как BC>0, то и BC²>0.
Следовательно, AB²+BC²>AB². Отсюда, AC²>AB². Поскольку AC>0 и AB>0, то AC>AB.
Что и требовалось доказать.
2) Равные наклонные имеют равные проекции.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
AC и AD — наклонные,
BC и BD — их проекции,
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.
1) AC=AD (по условию);
2) AB — общая сторона.
Следовательно, треугольники ABC и ABD равны (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, BC=BD.
Что и требовалось доказать.
И обратно: если проекции наклонных равны, то и наклонные тоже равны.
Кроме того, из этого доказательства следует, что равные наклонные образуют равные углы с прямой a; углы между равными наклонными и перпендикуляром также равны.
3) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
AC и AD — наклонные,
BC и BD — их проекции,
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.
По теореме Пифагора AC²=AB²+BC² и AD²=AB²+BD².
Отсюда, AB²=AC²-BC² и AB²=AD²-BD².
Приравнивая правые части равенств, имеем: AC²-BC²=AD²-BD².
Так как BC>BD, то и BC²>BD².
Значит, и AC²>AD². А так как AC>0 и AD>0, то AC>AD.
Что и требовалось доказать.
И обратно: б о льшей наклонной соответствует б о льшая проекция.
Найти длину наклонной. Геометрия.
Из точки К к плоскости альфа проведен перпендикуляр КН и наклонная КМ. Угол КМН = 60 градусов длина перпендикуляра 4 см. Найти длину наклонной.
Лучший ответ
Прямоугольный треугольник КМН
Угол КМН = 60 градусов
Угол НКМ = 30 градусов, значит гипотенуза КМ= 2*МH
Дальше просто по теореме Пифагора
(2*МН) ^2 = 4^2 + (MH)^2
Остальные ответы
Лучше загрузите на сайт:
reshebnik.biz
По моему — там такое решают.
Такое построение образует прямоугольный треугольник KHM. А так как в задаче дан один из углов при гипотенузе и один катет треугольника, то можно посчитать длину гипотенузы (катет / sin(угла))
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Геометрия 10 класс Атанасян №138 Как найти наклонную и проекцию если известен перпендикуляр и угол
Я переезжаю на Дзен и Телеграм! Дзен https://zen.yandex.ru/id/621dd93b94147657e9bfb7a3 Телеграм https://t.me/+D3mhakJ80Ho3ZmQy #геометрия #наклонная #перпендикуляр #проекция #плоскость Как в прямоугольном треугольнике выразить стороны, если известны острый угол и одна сторона? Разбираемся вместе) Поддержи меня: Сбербанк +79081662278 Репетитор по математике Нижний Новгород +79081662278 Плейлист ОГЭ: https://www.youtube.com/playlist?list=PLbnWZUrO4f0pY5K9-b3-zKEL0ZtII2-VN Плейлист ЕГЭ 11 класс https://www.youtube.com/playlist?list=PLbnWZUrO4f0qYPFO1wZWcGZ6CPaDgK7Te Список всех плейлистов на канале https://www.youtube.com/channel/UCugLS3Ozme7z5_7QTfQo7Dw/playlists?disable_polymer=1 Канал Youtube Подслушано по Математике https://www.youtube.com/channel/UCugLS3Ozme7z5_7QTfQo7Dw Интересует Информатика с блок-схемами, С++, Excel и Mathcad? Тогда загляни сюда: https://www.youtube.com/channel/UCyYuUw_TCCaSW_Ujqot6M5Q
Показать больше
Войдите , чтобы оставлять комментарии