Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин
Периметр — это длина линии, ограничивающей занимаемую плоской геометрической фигурой площадь. В случае треугольника, периметр представляет собой сумму длин его сторон.
Вычисление длины стороны треугольника
Для вычисления длины каждой стороны треугольника, заданного координатами его вершин, необходимо рассмотреть вспомогательный треугольник, состоящий из самой стороны и двух ее проекций на оси абсцисс и ординат. Катетами в этом прямоугольном треугольнике будут являться проекции, а гипотенузой — сама сторона.
Вычисление длины стороны в двумерной системе координат
Для вычисления длины стороны треугольника в двумерной системе координат, необходимо вычислить длины проекций стороны на оси абсцисс и ординат. Затем, с использованием теоремы Пифагора, можно вычислить длину самой стороны.
Вычисление длины стороны в трехмерной системе координат
Если треугольник задан в трехмерной системе координат, то для вычисления длины стороны необходимо добавить еще одно слагаемое в подкоренное выражение, которое выражает квадрат длины проекции стороны на ось аппликат. Затем, с использованием теоремы Пифагора, можно вычислить длину самой стороны.
Вычисление периметра треугольника
Для вычисления периметра треугольника, необходимо сложить длины всех его сторон. В двумерной системе координат формула для вычисления периметра будет выглядеть следующим образом: Р = АВ + ВС + СА. В трехмерной системе координат формула будет иметь вид: Р = АВ + ВС + СА. Таким образом, мы можем вычислить периметр треугольника, зная координаты его вершин.
Как найти периметр треугольника
Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, т.е. PABC = |AB| + |BC| + |CA|
Но как найти периметр треугольника, если треугольник задан через координаты x,y,z ? Поясним на примере. Задание. Дано: A(2;1;3); B(2;0;5); C(5;-1;10).
Найти: 1) периметр ABC, с точностью до 0,01; 2) угол ВСА, с точностью до 0,1; 3) площадь ВС, с точностью до 0,01; 4) уравнение прямой В; 5) уравнение плоскости ABC.
Решение.
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj — xi; Y = yj — yi; Z = zj — zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1
X = 2-2; Y = 0-1; Z = 5-3
AB(0;-1;2)
AC(3;-2;7)
BC(3;-1;5)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
т.е. периметр равен Р = 2.236 + 7.874 + 5.916 =16.026.
3) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AC и BC
γ = arccos(0.91) = 24.5 0
7) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
где
Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:
Площадь грани ABC
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
= i((-1) • 7-(-2) • 2) — j(0 • 7-3 • 2) + k(0 • (-2)-3 • (-1)) = -3i + 6j + 3k
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
8) Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
| x-x1 | y-y1 | z-z1 |
| x2-x1 | y2-y1 | z2-z1 |
| x3-x1 | y3-y1 | z3-z1 |
Уравнение плоскости ABC
| x-2 | y-1 | z-3 |
| 0 | -1 | 2 |
| 3 | -2 | 7 |
координатам вершин треугольника ABC найти: периметр треугольника; уравнения сторон AB и BC; уравнение высоты AD; угол AB
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Расчет треугольника по координатам вершин
Этот онлайн калькулятор по введенным координатам вершин вычисляет параметры треугольника: длины сторон, углы, периметр и площадь.
Этот онлайн калькулятор предназначен для быстрого вычисления ряда характеристик треугольника по координатам его вершин. Вы вводите координаты вершин A, B и C. Калькулятор рассчитывает по координатам следующие величины:
- длину стороны a — стороны, противолежащей вершине А
- длину стороны b — стороны, противолежащей вершине B
- длину стороны c — стороны, противолежащей вершине C
- значение угла α при вершине A
- значение угла β при вершине B
- значение угла γ при вершине C
- периметр треугольника
- площадь треугольника
Если нужно что-то еще, пишите в комментариях, добавим. Формулы расчета значений треугольника описаны под калькулятором.