Как найти точку касания 2 окружностей

Касание окружностей

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.

Внутреннее касание

Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от точки касания окружностей. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, отметим на радиусе AC точку B, это будет центр второй окружности с радиусом BC:

внутреннее касание окружностей

Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внутренним образом.

При внутреннем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно разности их радиусов.

Внешнее касание

Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, вторая с центром B и радиусом BC:

внешнее касание окружностей

Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внешним образом.

При внешнем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

Список литературы	\|	contact@izamorfix.ru
2018 − 2024	©	izamorfix.ru

Касание к окружности

В жизни мы ежедневно сталкиваемся с касаниями. Касаемся предметов или друг друга. А может ли окружность, подобно человеку, чего-то касаться? Давайте узнаем в этой статье.

Взаимное расположение прямой и окружности

Перед нами стоит задача начертить прямую и окружность на бумаге. Задумайтесь на секунду: как бы вы сейчас выполнили эту задачу?

Поскольку их взаимное расположение не уточнено, то есть несколько вариантов, как их начертить.

1 случай. Прямая и окружность будут лежать в разных местах на листе и никак не пересекутся друг с другом.

2 случай. Прямая будет только касаться окружности.

3 случай. Прямая пересечет окружность.

Оказывается, в математике существуют термины для второго и третьего случая. Начнем их рассматривать с касательной к окружности.

Касательная

Касательная – это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

На рисунке АВ – касательная, которая касается окружности в точке А.

Многие вещи, которые нас окружают, имеют плавные формы. Например, если мы посмотрим на цепь велосипеда, она имеет изогнутую форму.

Свойства касательной

1 свойство. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности в точку касания.

Проведем радиус ОА, тогда ОА ⟂ АВ.

2 свойство. Если провести две касательных из одной точки, то их отрезки будут равны.

Проведем из точки В еще одну касательную ВС, тогда АВ = ВС.

Если перевернуть рисунок, то можно заметить, что он отдаленно напоминает воздушный шар. А в воздушных шарах, также как и в свойстве касательных, используются равные по длине веревки.

3 свойство. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, которая заключена между этими касательной и хордой.

Проведем хорду АС, тогда угол САВ равен $\frac⋃АС$.

Секущая

Теперь обратим внимание на третий случай, когда прямая пересекает окружность. Такая прямая называется секущей.

Секущая – это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Пусть на рисунке АВ – секущая, тогда точки А и В – точки пересечения окружности и секущей.

Вспомни, как мы нарезаем пиццу или пирог. Каждый разрез будет секущей, то есть будет разделять круг на несколько частей.

Свойства секущей

1 свойство. Если из одной точки провести секущую и касательную к окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Проведем из точки А касательную АВ и секущую АС. Пусть секущая будет пересекать окружность в точках С и Е. Тогда выполняется равенство АВ 2 = АС * АЕ.

2 свойство. Если из одной точки провести две секущих к окружности, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равняется произведению второй секущей на ее внешнюю часть.

Проведем секущие АВ (пересекает окружность в точках Е и В) и АС (пересекает окружность в точках С и D). Тогда выполняется равенство АС * AD = АВ * АЕ.

3 свойство. Угол между двумя секущими равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, которые заключены между секущими.

Допустим, необходимо найти угол САВ. Тогда угол $CAB = \frac(⋃CB-⋃DE)$.

Не стоит пугаться знака “⋃” – в математике таким образом обозначают дугу окружности.

Касание окружностей

Мы рассмотрели касание прямой и окружности, но могут ли две окружности касаться друг друга? Если у окружностей одна общая точка, то они являются касающимися друг к другу.

И есть даже несколько вариантов такого касания:

Внешнее, когда окружности лежат по разные стороны от точки касания.

В данном случае точка С – точка касания.

Внутреннее, когда одна окружность как бы “лежит” в другой.

В данном случае точка С также является точкой касания.

Касание окружностей нередко применяется при создании ювелирных украшений. Такое решение создает неповторимые и очень красивые образы.

Как мы уже определили, окружности могут касаться друг друга. Но есть еще один вариант их взаимного расположения: окружности пересекаются друг с другом. В этом случае они будут иметь две общие точки.

Рассмотрим свойство касающихся окружностей:

Прямая, построенная через центры таких окружностей, включает точку касания.

Если мы построим прямую через центры окружностей А и В, то на этой же прямой будет лежать точка касания С.

Фактчек

Прямая и окружность имеют три варианта взаимного расположения: не пересекаться, касаться или пересекать друг друга.
Касательная – это прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней только одну общую точку. Касательная перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания.
Секущая – это прямая, которая проходит через окружность и имеет с ней две точки пересечения.
Если провести из одной точки касательную и секущую, то квадрат касательной будет равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Две окружности также могут касаться друг друга. Касание может быть как внешним, так и внутренним. При этом если соединить центры окружности прямой, то на этой же прямой будет лежать точка касания.

Проверь себя

Задание 1.
Как называется прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней одну общую точку?

Секущая;
Хорда;
Касательная;
Диаметр.

Задание 2.
Дуга, заключенная между касательной и хордой, равняется 50 $\circ$ . Чему равен угол между касательной и хордой?

25 $\circ$ ;
50 $\circ$ ;
100 $\circ$ ;
180\ (\circ\) .

Задание 3.
Длина секущей равна 9, а ее внешняя часть равняется 4. Чему равна касательная к окружности, проведенная из той же точки, что и секущая?

Задание 4.
Между секущими заключены дуги окружности, которые равняются 70 и 30 градусам. Чему равен угол между секущими?

Задание 5.
Каким бывает касание двух окружностей?

Только внешним;
Только внутренним;
Внешним и внутренним;
Две окружности не могут касаться друг друга.

Ответы: 1. – 3 2. – 1 3. – 2 4. – 4 5. – 3

определить точку касания двух окружностей

А при чем тут вторая окружность? концентричная первой означает, что центры у них совпадают. . и нужно только найти радиус второй, который будет равен (подразумевая, что она проходит через точку Т)
R=sqrt((60-20)^2+(40-25)^2)=sqrt(1825)
sqrt — корень
^ возведение в степень

ps:»точку касания прямой и окружности»
какой прямой? ? не нужно считать, что остальные обладают телепатическими способностями. они способны понять задачу только так, как вы ее расскажите.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Помогите найти точку касания двух дуг (окружностей)

Помогите найти точку касания двух дуг (окружностей)
06.01.2013, 03:12

Последний раз редактировалось Deggial 12.05.2013, 10:28, всего редактировалось 1 раз.

формулы оформил ТеХом

У одной дуги заданы координаты точки пересечения с касательной $A$ и координаты второй точки на дуге $H$ — для неё легко находится и центр и радиус: поднимаем перпендикуляр к касательной и второй перпендикуляр из центра хорды $AH$ — на пересечении будет центр, вычисляем координаты и радиус. Про вторую дугу известно: координаты 2-х точек на ней ( $E$ и $D$ ) и то, что она касается первой дуги в точке $F$ . Окружности этих дуг лежат в разных полуплоскостях естественно. Нужно найти координаты точки $F$ , ну и конечно центр и радиус второй дуги.