Как поменять основание логарифма с показателем

Как поменять местами основание логарифма и его показатель? Помню, что это точно можно сделать.

Есть формула

Или еще можно разделить 1 на измененный логарифм. Вот:
loga b = 1/logb a

Остальные ответы

Тогда станет дробь с числителем 1 вроде

Хорошо бы ещё найти формулу для того чтобы поменять степень и показатель местами с сохранением результата, типа 2^5=5^2+? или a^b=b^a+?

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

1. Переход к новому основанию логарифма

log 2 x − log 2 x log 2 0,5 = 8 ; log 2 x − log 2 x log 2 1 2 = 8 ; log 2 x − log 2 x − 1 = 8 ; log 2 x + log 2 x = 8 ; 2 ⋅ log 2 x = 8 | : 2 ; log 2 x = 4 ; x = 16 .

Если a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, то верно равенство log a b = 1 log b a .
реши уравнение: 2 log 2 2 x − 5 log x 2 = 3 .
Решение
ОДЗ: \(x>0\) и x ≠ 1 ;
2 log 2 2 x − 5 log 2 x − 3 = 0 .
Пусть log 2 x = t ;

2 t 2 − 5 t − 3 = 0 ; t 1 = − 1 2 t 2 = 3 ; log 2 x = − 1 2 ; log 2 x = 3 ; x 1 = 2 − 1 2 = 1 2 1 2 = 1 2 2 ⋅ 2 = 2 2 ; x 2 = 2 3 = 8 .

Оба значения принадлежат ОДЗ.
Ответ: 2 2 ; 8 .
Если a > 0, a ≠ 1, b > 0, r ≠ 0, то верно равенство log a b = log a r b r .
реши уравнение: log 3 x + log 3 x = 6 − log 1 3 x .
Решение

log 3 2 x 2 + log 3 x = 6 − log 1 3 − 1 x − 1 ; log 3 x 2 + log 3 x = 6 − log 3 x − 1 ; log 3 x 2 + log 3 x − log 3 x = 6 ; log 3 x 2 = 6 ; 2log 3 x = 6 ; log 3 x = 3 ; x = 3 3 ; x = 27 .

11.4.9. Логарифмы. 1-я формула перехода к новому основанию

Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле:

log_ab=1/log_ba Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.

Пример: log ₂₅ 5 =1/log ₅ 25 .

Действительно, log₂₅5=½= 0,5 ; так как 25 0,5 =(5 2 ) 0,5 =5 2∙0,5 =5 1 =5.

log₅25= 2 , так как 5 2 =25.

Получаем верное равенство: 0,5 =1/ 2 .

Вычислить:

Давайте решим два уравнения.

Уравнение 1

1) 2log₂x+1/log_x2=9. Применяем формулу: log_ab=1/log_ba. Получаем:

2log₂x+log₂x=9, приводим подобные слагаемые:

log₂x=3, далее, по определению логарифма:

Подставляем значение 8 вместо х в исходное уравнение.

Уравнение 2

2) lg(x-2)+1/(log_(x+3)10)=lg6. Применяем формулу: log_ab=1/log_ba. Получаем:

lg (x-2)+lg (x+3)=lg6, используем формулу: log_ax+log_ay=log_a(x∙y);

lg ((x-2)∙(x+3))=lg6. Потенцируем:

(x-2)∙(x+3)=6, перемножаем двучлены:

x 2 -2x+3x-6=6, перенесем 6 из правой части в левую и приведем подобные слагаемые:

x 2 +x-12=0 – это приведенное квадратное уравнение.

x₁=-4, x₂=3, так как по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. числу -1 (-4+3=-1), а произведение должно быть равно свободному члену, т.е. числу -12 (-4∙3=-12).

Значение х=-4 не удовлетворяет условию существования логарифма ( под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем основание логарифма не равно единице)

Сделаем проверку при х=3.

Свойства логарифмов и примеры их решений

Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.

Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!

Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!

То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.

Логарифм и его свойства. Вебинар (1 час 48 минут)

В этом видео я разобрал свойства логарифмов на примере решения 35 задач.

Начиная от самых простых логарифмов и заканчивая сложными.

Если вам понравилось видео, подписывайтесь на канал, ставьте лайки — мне будет приятно и я буду делать больше таких видео.

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь \(2,321928\ldots \) и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?

В нашем случае решение уравнения можно записать как \(2,321928\ldots \) или как \(\displaystyle <<\log >_>5\).

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как:

Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение \(\displaystyle ^>=8\) можно также записать в виде \(\displaystyle <<\log >_>8=3\). Читается так:

«Логарифм восьми по основанию два равен трем»

«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»

Теперь более общая запись:

«Чтобы получить число \(b\), нужно число \(a\) возвести в степень \(c\)»:

8 примеров вычисления логарифмов

Пример 1

Чему равен \(\displaystyle <<\log >_>4\)?

\(\displaystyle <<\log >_>4=2\), так как число \(2\) нужно возвести во вторую степень, чтобы получить \(4\).

Пример 2

Чему равен \(\displaystyle <<\log >_>\frac\)?

Заметим, что \(\displaystyle 8=^>\), тогда \(\displaystyle \frac=\frac<^>>=^>\), то есть \(2\) нужно возвести в степень \(-3\), чтобы получить \(\displaystyle \frac\).

Пример 3

А чему равен \(\displaystyle <<\log >_>0,25\)?

Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить \(0,25\) как \(2\) в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: \(\displaystyle 0,25=\frac=\frac^>>=<^>\).

Пример 4

Чему равен \(\displaystyle <<\log >_>1\)?

В какую степень надо возвести \(7\), чтобы получить \(1\)? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно \(1\) (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).

Значит, \(\displaystyle <<\log >_>1=0\). Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен \(0\).

Пример 5

\(\displaystyle <<\log >_>2\). В этом случае аргумент \(2\) равен корню основания: \(\displaystyle 2=\sqrt\).

Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): \(\displaystyle 2=\sqrt=<^>>\text< >\Rightarrow \text< ><<\log >_>2=\frac\).

Попробуй найти следующие 4 логарифма самостоятельно

• \(\displaystyle <<\log >_>5;\text< >\)
• \(\displaystyle <<\log >_>3;\)
• \(\displaystyle <<\log >_>>16;\)
• \(\displaystyle <<\log >_>1.\)

• \(\displaystyle <<\log >_>5=1;\)
• \(\displaystyle lo_>3=\frac;\)
• \(\displaystyle <<\log >_<\frac>>16=-2;\)
• \(\displaystyle <<\log >_>1=0\)

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию \(\displaystyle 10\) называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: \(\displaystyle \lg \) вместо \(\displaystyle <<\log >_>\)

• \(\displaystyle \lg 100=2\);
• \(\displaystyle \lg 1000=3\);
• \(\displaystyle \lg ^>=15\);
• \(\displaystyle \lg 0,1=-1\);
• \(\displaystyle \lg 0,01=-2\).

Когда нужная степень не подбирается

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, \(\displaystyle <<\log >_>5=2,321928…\).

Видим, что это число расположено между \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\), и это понятно: ведь это значит, чтобы получить \(5\), нужно \(2\) возводить в степень больше \(2\), но меньше \(3\).

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.

Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.

В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.

Например, ответ вполне может выглядеть так:

\(\displaystyle <<\log >_>10\), или даже так: \(\displaystyle \frac<2+<<\log >_>7>\).

Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить \(\displaystyle x=<<\log >_>81\), высший балл за задачу не поставят.

То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать.

Потренируйся на следующих простых примерах:

6 примеров для самостоятельной работы

Ответы:

• \(\displaystyle 81=^>=<<\left( ^> \right)>^>=^>\text< >\Rightarrow \text< >x=4\);
• \(\displaystyle 20=4\cdot 5\), но \(\displaystyle \text\) никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: \(\displaystyle x=<<\log >_>20\);
• \(\displaystyle 0,2=\frac\text<<\text>^>\text< >\Rightarrow \text< >x=-1\);
• \(\displaystyle 80=16\cdot 5=<^>\cdot 5\). Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому \(\displaystyle x=<<\log >_>80\);
• \(\displaystyle \frac=\frac<^>><<^>>=<<\left( \frac\right)>^>=\frac<<<\left( \frac\right)>^>>=<<\left( \frac\right)>^>\text< >\Rightarrow \text< >x=-3\);
• \(\displaystyle 4,5=\frac,\text< а >18=9\cdot 2\). Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: \(\displaystyle x=<<\log >_>18\).

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Область допустимых значений (ОДЗ)логарифма

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться \( 1\).

Начнем с простого: допустим, что \( a=1\). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили \( 1\), всегда получается \( 1\).

Более того, \( \displaystyle <<\log >_>b\) не существует ни для какого \( \displaystyle b\ne 1\).

Но при этом \( \displaystyle <<\log >_>1\) может равняться чему угодно (по той же причине – \( 1\) в любой степени равно \( 1\)).

Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае \( a=0\): \( 0\) в любой положительной степени – это \( 0\), а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что \( \displaystyle >=\frac>>\)).

При \( a>>=\sqrt[n]>>\).

Например, \( \displaystyle <<\log >_>2=\frac\) (то есть \( \displaystyle <^<\frac>>=\sqrt=2\)), а вот \( \displaystyle <<\log >_>2\) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, \( \displaystyle <<\log >_>\left( -4 \right)\) не существует, так как \( 2\) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому \( \displaystyle <<\log >_>0\) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ.

Решим уравнение \( \displaystyle <<\log >_>\left( x+2 \right)=2\).

Вспомним определение: логарифм \( \displaystyle <<\log >_>\left( x+2 \right)\) – это степень, в которую надо возвести основание \( x\), чтобы получить аргумент \( \displaystyle \left( x+2 \right)\).

И по условию, эта степень равна \( 2\): \( \displaystyle ^>=x+2\).

Получаем обычное квадратное уравнение: \( \displaystyle ^>-x-2=0\).

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна \( 1\), а произведение \( -2\). Легко подобрать, это числа \( 2\) и \( -1\).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

\( \displaystyle x=2\text<<\log >_>\left( 2+2 \right)=<<\log >_>4=2\) – верно.

\( \displaystyle x=-1\text<<\log >_>\left( -1+2 \right)=2\) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень \( x=-1\) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни \( x=2\) и \( x=-1\), сразу отбросим корень \( -1\), и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)

Найдите корень уравнения \( \displaystyle <<\log >_>\left( 2x+5 \right)=2\). Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

\( \displaystyle <<\log >_>\left( 2x+5 \right)=2\).

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

\( \displaystyle <<\log >_>b=c\text< >\Leftrightarrow \text< >>=b\)

Подставим во второе равенство вместо \( \displaystyle c\) логарифм:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

Реши еще следующие примеры:

Пример 2

Найдите значение выражения \( \displaystyle ^<<<\log >_>3>>\).

Пример 3

Решения примеров 2 и 3:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение.

Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов.

Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1 – степень аргумента

\( \displaystyle <<\log >_>>=x\)

Доказательство:

Свойство 2 – сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: \( \displaystyle <<\log >_>b+<<\log >_>c=<<\log >_>\left( b\cdot c \right)\).

Доказательство:

Пример

Найдите значение выражения: \( \displaystyle <<\log >_>5+<<\log >_>0,6\).

Решение:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

А вот обещанное упрощение:

Зачем это нужно? Ну например: чему равно \( \displaystyle lo_>250-<<\log >_>2\)?

Теперь упрости сам:

• \( \displaystyle <<\log >_>324-<<\log >_>4\)
• \( \displaystyle <<\log >_>0,0625\)
• \( \displaystyle <<\log >_>0,125+<<\log >_>0,5\)
• \( \displaystyle <<\log >_>50-<<\log >_>2\)

Ответы:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Свойство 3 – разность логарифмов

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:\( \displaystyle lo_>b-<<\log >_>c=<<\log >_>\frac\).

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

Пример посложнее: \( \displaystyle \log _^2\sqrt-\log _^\sqrt-<<\log >_>3\).

Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению \( \displaystyle ^^>>>\) – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

Упрости сам:

Ответы:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Свойство 4 – вынесение показателя степени из аргумента логарифма

Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle <<\log >_>^>=n\cdot <<\log >_>b\)

Доказательство:

Можно понять это правило так:

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac<<<\log >_>25><<<\log >_>5>\).

Реши сам:

• \( \displaystyle \frac<<<\log >_>81><<<\log >_>3>\)
• \( \displaystyle \frac<<<\log >_>125><<<\log >_>625>\)
• \( \displaystyle \frac<\log _^25\sqrt-\log _^\sqrt><<<\log >_>250>\)

Ответы:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Свойство 5 – вынесение показателя степени из основания логарифма

• Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle <<\log >_>>>b=\frac\cdot <<\log >_>b\).

Доказательство:

Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6 – вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма

Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle <<\log >_>>>^>=\frac\cdot <<\log >_>b\).

Свойство 7 – переход к новому основанию

Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием: \( \displaystyle <<\log >_>b=\frac<<<\log >_>b><<<\log >_>a>\text< >\left( c>0;\text< >\ne \text \right)\).

Доказательство:

Свойство 8 – замена местами основания и аргумента логарифма

Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе: \( \displaystyle <<\log >_>b=\frac<<<\log >_>a>,\text< >\left( b\ne 1 \right)\).

Доказательство:

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_>75+<<\log >_>\frac\).

Пример 2. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_>36-2<<\log >_>2\).

Пример 3. Найдите значение выражения \( \displaystyle <<\log >_>>\left( 32\sqrt[5] \right)\).

Пример 4. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac<\log _^25\sqrt-\log _^\sqrt><<<\log >_>250>.\).

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника

Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем

математика, информатика, физика

Запишитесь на занятия:

• сотни моих учеников поступили в лучшие ВУЗы страны
• автор самого понятного учебника по математике YouClever, по которому учатся десятки тысяч школьников и учителей;
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• профессиональный репетитор c 2003 года;
• преподаю как на русском, так и на английском языках, готовлю к международным экзаменам;
• в 2021 году сдал ЕГЭ на 100 баллов;

Добавить комментарий Отменить ответ

23 комментария

бубыше :

Здравствуйте, в статье нет ответов для проверки к заданию после разъяснения 3 свойства, или так задумано, не понимаю. А так всё прекрасно! Спасибо за материал

Алексей Шевчук :
Спасибо за комментарий!:)
Ответы для проверки после примера 3 на месте (после пояснений к решению)
Александра :

Здравствуйте , огромное спасибо за такую прекрасную информацию, у меня возник один вопрос как можно решить lg(x^2*0.062)=-0.852 ; x^2*0.062=10^-в какой степени? Вообще не могу понять как же найти х, заранее спасибо

Марина :
Отличный материал! Спасибо!
Александр Кель :
Спасибо, Марина!
Александр Кель :
Спасибо, Саид. В каком вы классе?

Вы — это просто чу-до, и этот учебник тоже! Если бы я знала о вас в сентябре, я бы выбрала вашу онлайн школу

Александр Кель :
Спасибо большое, Бася! Очень приятно слышать. Желаем вам сдать ЕГЭ на 100 баллов! )
Как лайк поставить?
Александр Кель :
Будем считать этот коммент лайком. Спасибо!
НАДЕЖДА :

хотела зарегистрироваться на вебинар 14 февраля, но не смогла: «сайт не может обеспечить безопасное соединение» может есть еще вариант?

Александр Кель :

Надежда, я зарегистрировал вас и отправил на почту доступы. Скажите, пожалуйста, где вы столкнулись с такой надписью? Можете написать или отправить ссылку?

Света Макарова :
Александр Кель :
Большое спасибо, все изложено четко и красиво!
Александр Кель :
Инна, очень рады, что понравилось! Заходите к нам еще! )
С удовольствием!

Это лучшее объяснение, что я встречала! Хорошая методика: простой язык, примеры и практика! Я благодарна Клеверу!