Как складывать графики функций графически

Методы графического сложения, вычитания

Чтобы построить график функции , надо построить на одном чертеже графики и , потом при каждом x сложить ординаты двух графиков.

Если необходимо построить график разности двух функций , то этот случай сводится к построению суммы: . Причем, график функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси .

В случае, когда вторая функция — константа, то графическое сложение означает сдвиг графика первой функции по вертикали на эту константу, причем, если константа положительная, то сдвиг осуществляется вверх, а если отрицательная, то вниз.

Сложение двух функций:	Вычитание двух функций:
Сложение функции и константы:	Вычитание функции и константы:

Методы графического умножения, деления

Чтобы построить график функции y=f(x)·g(x) , надо построить на одном чертеже графики y=f(x) и y=g(x) , потом при каждом x перемножить ординаты двух графиков.

Графическое деление выполняется аналогично произведению.

В частном случае при построении графика функции y=A·f(x) , где A — константа надо график функции y=f(x) растянуть в |A| раз по вертикали, при условии |A|≥1 , или сжать в раз по вертикали, если |A|

В данном параграфе рассмотрены следующие примеры:

Умножение двух функций:

Делениее двух функций:

Умножение функции на константу A &#62 0:

Умножение функции на константу A < 0:

«Сложение и вычитание графиков» Из опыта работы учителя математики Першотравенской средней общеобразовательной школы I-III ступеней 2 Ильиной Н.В. Факультативное. — презентация

Презентация по предмету «Математика» на тему: ««Сложение и вычитание графиков» Из опыта работы учителя математики Першотравенской средней общеобразовательной школы I-III ступеней 2 Ильиной Н.В. Факультативное.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 «Сложение и вычитание графиков» Из опыта работы учителя математики Першотравенской средней общеобразовательной школы I-III ступеней 2 Ильиной Н.В. Факультативное занятие :

2 Из 24 участников старших классов в школьной олимпиаде по математике график функции y = x+sin x: 1)построили – 3 человека, 2)пробовали, но не смогли выполнить задание – 17 человек, 3)даже не пытались — 4 человека. В итоге: Проблема:

3 Цель занятия – содействовать: усвоению учащимися способа «сложения» для построения графиков функций ; усвоению учащимися способа «сложения» для построения графиков функций ; развитию навыков работы с графиками; развитию навыков работы с графиками; воспитанию интереса к графическому заданию функции. воспитанию интереса к графическому заданию функции.

4 Удобно ли строить график функции y=x+sin(x) обычным способом? x01 y0 Попробуй заполнить таблицу

5 Графики можно складывать как числа! График функции y=x+sinx можно получить сложением графиков функций y=x и y=sinx. График функции y=x+sinx можно получить сложением графиков функций y=x и y=sinx. Так как ординаты обеих функций при х=0 равны 0, то первая точка искомого графика О(0;0).

6 На графике y=x и y=sinx возьмём соответственно точки А и В так, чтобы абсциссы их были равны. Точку на оси OX с той же абсцисой назовём С. Отложим от т. А вверх расстояние AD равное BC. (т.е. к ординате y=x прибавим y=sin x) Полученная точка D – точка искомого графика. D A B C

7 В характерных точках оси ОХ (x=, x=, x= ) проделаем ту же самую операцию. Получим: D A B C Соединяем полученные точки, получим график искомой функции. Соединяем полученные точки, получим график искомой функции.

9 Построение графика суммы двух функций : 1) строят графики двух функций слагаемых; 2) ординаты второго графика откладывают от соответствующих точек первого графика.

10 Попробуй свои силы на графике функции y=sin x + cos x.

11 Проверь себя ! C

12 Можно ли с помощью « сложения » построить график разности двух функций ? Например, Построим графики функций

13 Возьмём точки: О(0;0) принадлежащую и А(0;1) принадлежащую. От точки Отложим ординату точки А, взятую с противоположным знаком, т. е. -1. Получим точку В. B A

14 Аналогичную операцию проделаем в точках. Соединим точки и получим график искомой функции.

16 Построение графика разности двух функций : Построить графики функций; Построить графики функций; От графика функции уменьшаемого откладывают ординаты функции вычитаемого, взятые с противоположным знаком. От графика функции уменьшаемого откладывают ординаты функции вычитаемого, взятые с противоположным знаком.

17 Второй способ построения графика функции : Построить график функции и. Выполнить сложение графиков.

18 Заметим 1) при сложении и вычитании графиков можно пользоваться циркулем для сложения ординат 2) графики функции также можно строить с помощью умножения и деления

19 Умножение графиков Графики функции y=x и y=sin(x). Графики функции y=x и y=sin(x).

20 Произведение графиков y=x и y=sin(x) выглядит следующим образом :

21 Список использованной литературы 1) «Графики функций»; справочник; Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. – Киев: наук. думка, 1979 г. – 320 с. 2) «Функции и графики» Гельфанд И. М., Шноль Э. Э. – Москва: Наука, – 96 с. 3) «Алгебра и элементарные функции» Качетков Е. С., Качеткова Е. С. – Москва: Просвещение, 1966 – 285 с.

22 Также использовались Function Graphing Standart Edition 2.1 Microsoft PowerPoint (Office 2003) Paint Photoshop CS2 (Build 5021) Microsoft Equation 3.0

Построение графиков с модулем
путём преобразований

Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.

1. Построить график функции y = f(x) .
2. Исключить его часть, расположенную в отрицательной половине оси абсцисс. (Например, просто стереть ластиком, если график был построен карандашом.)
3. Построить левую ветвь графика (при отрицательных x) симметричным отображением его правой ветви относительно оси Oy.

1. Построить график функции y = f(x) .
2. Участок графика, расположенный ниже оси абсцисс (при отрицательных y) развернуть на верхнюю половину координатной сетки преобразованием симметрии относительно оси Ox.

Пример 1.

В этом примере оба графика получены из графика функции y = x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .

Пример 2.

В этом примере оба графика получены из графика функции y = x 2 − 2x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .

Один из способов быстро и точно построить исходную параболу по характерным точкам показан в видео на канале Mathematichka.

III При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.

Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции \(y=\sqrt.\) y = √|x| __ .

1.2.3.4.5.

1. \(y=\sqrt\) √x _ —>

2. \(y=\sqrt<|x|>\) √|x| __ —>

3. \(y=\sqrt<|x-1|>\) y = √|x − 1| _____

4. \(y=\sqrt<|x|-1>\) y = √|x| − 1 _____

5. \(y=|\sqrt-1|.\) y = | √x − 1 _ |

IV Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x) .
Для этого нужно:

1. Построить график функции y = f(x) .
2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.

Эти кривые также получены из графика функции \(y=\sqrt\). y = √x _ .

6.7.8.

6. \(|y|=\sqrt\)

7. \(|y|=|\sqrt-1|\)

8. \(|y|=\sqrt<|x|>.\)

Пример 3.

Задан график функции y = x 2 .
Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x 2 − 2|x| − 5 .

Заметим, что x 2 = |x| 2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1) 2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.

Строим график функции f(x) = (x − 1) 2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

1.2.3.4.
5.6.

1. y = x 2	2. y = (x − 1) 2	3. y = (x − 1) 2 − 6	4. y = (|x| − 1) 2 − 6
5. y = (|x| − 1) 2 − 6, y ≥ 0	6. |y| = (|x| − 1) 2 − 6

Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

Пример 4.

Задан график функции y = x 2 .
Построить график функции y = |x 2 − 2x − 5| .

Сумма модулей

Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.

Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

Пример 5.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| .

Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1| , используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3 . На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

Теперь проверьте себя.

Пример 6.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x| .

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.

Сложение графиков функций

В разработке представлен способ сложения графиков функций и примеры с подробным объяснением.

Просмотр содержимого документа
«Сложение графиков функций»

СЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ

Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух или нескольких простейших функций. Графики простейших функций уже известны и без труда могут быть построены. В этом случае, рассмотрим способ сложения графиков.

Алгоритм. 1) Строим графики функций каждого слагаемого

2) Ординаты второго графика откладывают от соответствующих

ординат первого графика (можно пользоваться измерительным

Пример 1. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций.

Затем, каждую точку графика функции смещаем параллельно оси Оу на расстояние, равное ординате графика функции в соответствующей абсциссе. То есть, при ордината графика функции равна 2, а ордината графика функции равна 0, поэтому ставим точку . Далее, при ордината графика функции равна 0, а ордината графика функции равна 1, поэтому ставим точку . При ордината графика функции равна -2, а ордината графика функции равна 8, поэтому ставим точку . При ордината графика функции равна 4, а ордината графика функции равна -1, поэтому ставим точку . И так далее. Получаем график функции

Для того, чтобы график был как можно точнее, необходимо брать значимые точки, т.е. те, в которых происходит значимое событие для графика (пересечение с осями, точки перегиба, или точки, в которых график меняет своё направление).

Определим свойства функции

1. Область определения:
2. Область значений:
3. Чётность функции:

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

1. Точка пересечения с осью Оу:
2. Найдём точки экстремума:

..

1. Найдём экстремумы функции:

..

1. Функция возрастает при.

Функция убывает при .

Пример 2. Построить график функции
Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где . На одной системе координат строим графики этих функций. Производим аналогичные действия: И так далее… Получаем график функции .

Определим свойства функции

1. Область определения:
2. Область значений:
3. Чётность функции:

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

1. Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:Значит, точки пересечения с осью Ох —

1. Найдём точки экстремума:

..

1. Найдём экстремумы функции:

.

1. Функция убывает при.Функция возрастает при.

Пример 3.Построить график функцииПредставим эту функцию в виде суммы двух функций: , где. На одной системе координат строим графики этих функций. Затем производим сложение.Определим свойства функции

1. Область определения:
2. Область значений:
3. Чётность функции:Значит, функция является чётной, и её график симметричен относительно оси Оу.
4. Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:Значит, точки пересечения с осью Ох —

1. Найдём точки экстремума:

..

1. Найдём экстремумы функции:

.

1. Функция возрастает при.

Функция убывает при .
Пример 4.Построить график функции
Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где. На одной системе координат строим графики этих функций. Затем производим сложение.

Аналогичные вычисления для отрицательного аргумента. Получаем график функции
Определим свойства функции

1. Область определения:
2. Область значений:
3. Чётность функции:Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.
4. Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:. Значит, точки пересечения с осью Ох —

1. Найдём точки экстремума:

..

1. Найдём экстремумы функции:

.

1. Функция возрастает при.

Функция убывает при .
Особый случай представляется при сочетании обратной пропорциональности с каким-нибудь другим графиком. Приведём такой пример.
Пример 5.Построить график функции
Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где. На одной системе координат строим графики этих функций.

Что происходит? Так как график обратной пропорциональности не пересекает оси координат, то он и будет исходным. К его ординатам будем прибавлять ординаты графика функции .

1. Область определения:
2. Область значений:
3. Чётность функции:

1. Точек пересечения с осью Оу нет.

1. Найдём точки экстремума:

1. Функция возрастает при.