Как сложить числа с разными степенями

Степень числа: определения, обозначение, примеры

Степени — это понятие, знакомое всем со времени средней школы. Однако далеко не все до конца понимают, что они означают, как и для чего применяются в алгебре, а также как их можно использовать. Чтобы разобраться детально в этом вопросе, нужно в первую очередь вывести определение понятию, узнать все про свойства степеней, детально проанализировать каждое из них. Далее разобраться со всем алгебраическими действиями, которые можно производить и попробовать совершить каждое из них на практике. Понять, какие есть варианты и нюансы, чтобы не путаться в них при дальнейших вычислениях.

Данная тема начинает изучаться в средней школе и продолжает встречаться плоть до ее окончания, а также после, если ученик поступит в профильное высшее учебное заведение. Не допускать в ней ошибок поможет данная статья, где детально будут разобраны все нюансы.

Понятие

Степенью значения a с натуральным показателем n называют результат, полученный после умножения a самого на себя n количество раз. В виде формулы вышесказанное можно записать так:

Графически степень можно обозначить как an для простоты использования.

В качестве примера можно привести 4 в степени 8, где а=4, а n = 8. Так 4 8 по заданной формуле будет выглядеть как: 4 8 =4*4*4*4*4*4*4*4

Результат в этом случае будет 2304.

Можно привести и ряд других примеров. Так:

2 5 =322.
6 8 =16796163.
5 7 =781254.
9 3 =7295.
3 5 =243 и т.д.

Подбирать примеры можно до бесконечности. Алгебраические действия всегда проводятся по одному и тому же алгоритму.

Однако высчитывать все каждый раз сложно. Особенно в случаях с крупными значениями. Важно понимать, что в an можно возводить не только простые числа, но и любые другие. Для этого существуют специальные таблицы, речь о которых пойдет далее.

Также стоит сделать акцент на второй и третий степени. Обычно в этих случаях говорят «в квадрате» или «в кубе» соответственно. Однако обе формулировки уместны и не будут ошибочными.

Однако не стоит забывать, что функционал степеней гораздо шире, чем может показать при первичном ознакомлении с этой темой.

Свойства

У степеней есть определенные свойства. О них нужно поговорить подробнее, чтобы понять, что они собой представляют.

Всего существует пять свойств. А именно:

произведение;
частное;
возведение степени в степень;
возведение в степень произведения
возведение в степень частного.

При каждой из них выполняется определенный алгоритм действий. О них стоит поговорить подробнее, чтобы понять, что они представляют собой.

Произведение

Если нам нужно перемножить два одинаковых значения с разными степенями, то нужно просто сложить их между собой, а число оставить без изменений.

В виде формулы это можно выразить следующим образом:

Если проиллюстрировать это реальным примером, то получится следующее:

4 2 *4 3 =4 2+3 =4 5 =1024

5 3 *5 5 =5 3+5 =5 8 =390625

В этом случае следует помнить, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

Частное

Это действие прямо противоположное предыдущему. Нам нужно разделить два одинаковых числа с разными степенями. В этой ситуации решение обратное: нужно вычесть один показатель из другого.

Графически это действие можно выразить как:

Если продемонстрировать решение на реальном примере, то получим:

6 4 /6 2 =6 4-2 =6 2 =36

Таким легким способом можно решить поставленную задачу.

Возведение степени в n

Если нам нужно возвести значение в n , а потом полученный результат еще раз в степень, то эту процедуру можно упростить, если перемножить их друг с другом. Само число, как и в предыдущих случаях, остается неизменным.

В виде формулы — это будет выглядеть так:

В качестве реального примера:

(2 3 ) 5 =2 3*5 =2 15 = 32768

Зная формулу и умея применять ее на практике, можно найти верное решение.

Возведение в n произведения

Если нам нужно возвести в n произведение двух разных чисел, то мы должны возвести в указанное значение каждое из них, а затем перемножить между собой.

Это выражается такой формулой:

В виде конкретного примера это будет выглядеть следующим образом:

(2* 3) 4 = 2 4 *3 4 =16*81=1296

Так мы получаем верный ответ.
Возведение в n частного

Аналогичная ситуация происходит, если нужно поделить два значения, а потом возвести их в n. Единственное отличие, как можно понять из предыдущих свойств, будет заключаться в том, что в этот раз числа не складываются между собой, а второе вычитается из первого.

В виде формулы это выглядит так:
(a:b) n = a n :b n
Если подставить в нее конкретные значения, то получим решение примера:
(4:2) 6 = 4 6 :2 6 =4069:64=63,5

Это все базовые свойства, о которых следует помнить. Владение ими облегчит решение различных алгебраических задач.

Таблица

Самостоятельно можно возвести значение в квадрат или в куб. Однако потом возникают сложности. Если высчитывать результат самостоятельно, то это занимает много времени, к тому же легко допустить ошибку. Именно поэтому были созданы специальные таблицы, где все прописано. Достаточно просто заглянуть в одну из них, чтобы получить нужный результат.

Пример одной из таких таблиц:

Таблица квадратов

С ее помощью можно свободно решать поставленные математические задачи и не опасаться допустить элементарную арифметическую ошибку.

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения выглядят следующим образом:

Формулы сокращённого умножения

Чтобы понять, как они работают, нужно разобрать каждую формулу на практике:

4 2 -3 2 = (4-3)*(4+3)=1*7=7

Если пересчитывать этот пример, возводя в квадрат каждый показатель, то получим тот же результат. Так можно себя проверить, если речь идет о несложных примерах. В случае с более серьезными заданиями, формулы сокращенного умножения являются спасением.

Квадрат суммы двух чисел: (2+3) 2 =2 2 +2*2*3+3 2 =4+12+9=25
Квадрат разности: (7-2) 2 =7 2 -2*7*2+2 2 =49-28+4=25
Сумма кубов: 2 3 +3 3 =(2+3)*(2 2 -2*3+3 2 )=5*(4-6+9)=35
Разность кубов: 3 3 -2 3 =(3-2)*(3 2 +2*3+3 2 )=1*(9+6+9)=24
Куб суммы двух чисел: (3+4) 3 =3 3 +3*3 2 *4+3*3*4 2 +4 3 =27+108+144+64=343
Куб разности: (6-3) 3 =6 3 -3*6 2 *3+3*6*3 2 -3 3 =216-324+162-9=27

При знании формул и умении им пользоваться можно сэкономить время.

С целым показателем

В показателях n могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения. Сюда же входят и отрицательные, и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел. Это несколько усложняет задачу, однако важно научиться работать с этими случаями.

Число в нулевой степени всегда обозначает единице. Если нужно умножить показатель в любой n на значение в нулевой (аm*a0), в этом случае возводим первое число в указанную n без излишних математических действий. Как уже выяснили из приведенных выше формул, степени суммируются между собой, а не складываются, поэтому нет никакого смысла прибавлять ноль.

Если же перед нами значение в отрицательной степени, то в этой ситуации все работает по общим правилам.

С рациональным показателем

Во множество рациональных чисел входят как целые, так и дробные, при этом последние можно представить, как обыкновенные дроби (положительные или отрицательные). Чтобы показать работу на примере, нужно найти a с дробным показателем m/n, где n – натуральное, а m – целое.

Представим значение a m/n . Для того чтобы вычислить равенство (a m/n ) n , нужно аm/n*n. Соответственно, в итоге получим аm. Если учесть полученное равенство [a m/n ] n = am и то, как мы определили корень n, то логично принять a n/m = n √am при условии, что при данных m, n и a выражение n √a m имеет смысл.

Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие.

С иррациональным и действительным показателем

Известно, что множество действительных чисел можно рассматривать как объединение множеств рациональных и иррациональных. Поэтому a n с действительным показателем можно будет считать определенной, когда будут определены a n с рациональным и иррациональным показателем.

Степень положительного числа an с иррациональным показателем a записывается как a a . Его значение — это предел последовательности a 0 , a 1 , a 2 , … где a 0 , a 1 , a 2 последовательные десятичные приближения иррационального a. X² с нулевым основанием определяются и для положительных иррациональных показателей, при этом 0 a =0. Это правило иллюстрирует пример:

0 6 =0,0 3√21/3 =0. А для отрицательных чисел этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0 −√5 или 0 −2π 0-5 не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1 √2 или 1 -5 все равно будут равны 1.

Последовательности рациональных чисел a 0 , a 1 , a 2 … соответствует последовательность a a0 , a a1 , a a2 . В качестве примера возьмем 3, a=1,67175331 и a 0 =1.67, a 1 =1,6717, a 2 =1,671753…, тогда a a0 =31,67, a a1 =31,6717, a a2 =31,671753…

Наконец, последовательность aa0, aa1, aa2, … сходится к числу, которое и является значением степени a с иррациональным показателем. Вернемся к нашему примеру: an с иррациональным показателем 3 1,67175331 сходится к результату, который с точностью до сотых равно 6,27.

a n нуля определяется для положительных иррациональных показателей, при этом 0a=0 . А степень 0 с отрицательным иррациональным показателем не определяется. Отдельно стоит сказать про иррациональную степень единицы – она всегда равна 1.

Сложение и вычитание степеней

Основные принципы сложения и вычитание одинаковых чисел, возведенных в n , уже были продемонстрированы выше. Для этого нужно просто вычесть их или сложить, само значение при этом остается неизменным.

Совершенно по-другому обстоит дело, если речь идет о разных числах, которые надо сложить друг с другом или вычесть второе из первого.

В этом случае каждое из них нужно возвести в указанную an и лишь потом совершать заданные арифметические действия.

Чтобы продемонстрировать это, можно привести конкретные примеры:

7 3 -4 2 =343-16=327

Так мы получаем готовые решения. Никакие способы упростить эту задачу не предусмотрены.

Деление и умножение степеней с одинаковыми показателями

Если нужно перемножить два числа, возведенных в одну и ту же n, то это делается следующим образом:

Если приводить пример, то выйдет, что:

4 2 *3 2 =(4*3) 2 =12 2 =144

С делением все обстоит аналогичным образом:

4 2 /2 2 =(4/2) 2 =2 2 =4.

Деление и умножение степеней с разными показателями

Последнее, что затрагивается в этом вопросе — это деление и умножение степеней с разными показателями. Здесь положение вещей обстоит сложнее, чем в предыдущем разделе.

Чтобы решить пример, нужно каждое число поставить в нужную n , а потом поделить их или умножить. Никаких упрощенных формул в этой ситуации нет.

Таким образом получаем:
5 3 *4 2 =125*16=2000
9 2 /3 3 =81/27=3
Таким образом мы получаем полностью решение примеры.

Степени — сложный и многогранный раздел алгебры. Однако если уметь с ним работать и пользоваться вспомогательными материалами, специальными формулами и таблицами, то процесс решения пойдет гораздо быстрее и проще. Важно не путать свойства между собой, внимательно запоминать формулы и перепроверять решение.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Сложение степеней, сложение с разными степенями, сложение степеней с одинаковыми показателями

Сложение степеней — одна из основных операций при решении математических задач. Это первый шаг к овладению математическим аппаратом для решения более сложных задач в области высшей математики.

Для начала давайте разберемся, что такое степень числа. Степень — это произведение числа самого на себя указанное количество раз. Например:

2 3 = 2 * 2 * 2 = 8 (число 2 умножено на себя 3 раза)
5 2 = 5 * 5 = 25 (число 5 умножено на себя 2 раза)

Теперь перейдем непосредственно к сложению степеней. Здесь есть два основных случая.

Сложение степеней с одинаковыми показателями

Если показатели степени (то есть степени) одинаковые, то при сложении просто складываются основания степеней:

2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13
x 5 + y 5 = x 5 + y 5

Студентка, сидящая ночью за столом, решает сложные математические задачи.

Сложение степеней с разными показателями

Если показатели степени разные, то сложить такие степени нельзя:

2 2 + 2 3 — некорректное выражение
x 2 + x 3 — некорректное выражение

Чтобы сложить степени с разными показателями, нужно предварительно привести выражения к одинаковым степеням. Это делается с помощью замены:

2 2 + 2 3 = 2 2 + 2 2 *2 = 4 + 8 = 12
x 2 + x 3 = x 2 + x 2 *x = x 2 + x 3

Как видно из примеров, чтобы привести степени к одинаковым, мы умножаем число с меньшей степенью на основание степени с большим показателем нужное число раз. Таким образом, получаем одинаковые степени и можем их сложить.

Сложение степеней в многочленах

Рассмотренные выше правила сложения степеней работают и при сложении многочленов — выражений, содержащих несколько слагаемых со степенями:

3x 2 + 2x + 5 = 3x 2 + 2*x 1 + 5*x 0
(2x 2 + 3x + 1) + (x 2 — 2x + 7) = 3x 2 + x + 8

Здесь тоже сначала нужно привести слагаемые к одинаковым степеням x, а затем уже складывать.

Солнечный день на территории университетского городка с учащимися, идущими на занятия.

Сложение степеней в решении уравнений

Умение складывать степени необходимо при решении различных уравнений, содержащих степени. Например:

x 2 + 3x = 12
2x 4 — x 3 = 7

Здесь сначала также нужно привести степени к одинаковым, а затем решить уравнение обычными методами.

Таким образом, умение складывать степени — это основа для решения более сложных математических задач, включающих работу с многочленами, уравнениями, неравенствами и другими объектами высшей математики. Поэтому владение правилами сложения степеней является важным навыком для каждого, кто хочет развивать свои математические способности.

Использование сложения степеней в дифференциальном и интегральном исчислении

Дифференциальное и интегральное исчисление — разделы математического анализа, которые также активно используют операции со степенями. Рассмотрим пример дифференцирования функции y = x^n. Производная этой функции вычисляется по формуле: dy/dx = n*x^(n-1) Здесь мы видим, что для нахождения производной нужно вычислить степень x с показателем на 1 меньше, чем в исходной функции. Это и есть пример применения правил работы со степенями. В интегральном исчислении для нахождения неопределенного интеграла от степенной функции также используются степени: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C Здесь опять для вычисления интеграла нужно найти степень x с показателем на 1 больше, чем в подынтегральной функции. Таким образом, в дифференциальном и интегральном исчислении умение выполнять действия со степенями (в том числе находить степени с измененными показателями) является неотъемлемой частью работы с основными объектами этих разделов математического анализа.

Применение сложения степеней в теории чисел

Теория чисел изучает свойства целых чисел. Здесь также встречаются выражения со степенями. Например, при доказательстве теорем о свойствах и признаках делимости чисел используют вычисления по модулю степени простого числа. Также в криптографии, которая базируется на теории чисел, широко применяется возведение в степень по модулю больших простых чисел. Все эти примеры демонстрируют важность умения выполнять действия со степенями в теории чисел.

Применение сложения степеней в физике

В физике также встречается множество формул, содержащих степени. Например, в молекулярной физике используется уравнение Клапейрона-Менделеева, связывающее давление, объем, температуру и количество вещества идеального газа: pV = nRT Здесь показатели степени при переменных также могут меняться в зависимости от процесса, описываемого этим уравнением. В электродинамике используется закон Кулона, описывающий силу взаимодействия точечных зарядов, который содержит степени: F = kq1q2/r^2 И во многих других разделах физики мы встречаем формулы со степенями. Это еще раз подчеркивает важность умения выполнять операции со степенями в физических вычислениях.

Как умножать степень числа разным основанием. Как умножать степени, умножение степеней с разными показателями

В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

Представим это произведение в полном виде:

Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие — что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

(а) х / (а) у = (а) х — у

Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

(а) х / (а) х = (а) (х — х) = (а) 0

С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

Вне зависимости от значения а.

Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0) 0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а) 0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

Решим упражнение. Найдем значение выражения:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Ответ: выражение равно единице.

Если умножаются (или делятся) две степени, у которых разные основания, но одинаковые показатели, то их основания можно перемножить (или поделить), а показатель степени у результата оставить таким же как у множителей (или делимого и делителя).

В общем виде на математическом языке эти правила записываются так:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

При делении b не может быть равно 0, то есть второе правило надо дополнить условием b ≠ 0.

Примеры:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Теперь на этих конкретных примерах докажем, что правила-свойства степеней с одинаковыми показателями верны. Решим данные примеры так, как будто мы не знаем о свойствах степеней:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Как мы видим, ответы совпали с теми, которые были получены, когда использовались правила. Знание этих правил позволяет упростить вычисления.

Обратите внимание, что выражение 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 можно представить в таком виде:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Это выражение в свою очередь есть нечто иное как (2 × 3) 3. то есть 6 3 .

Рассмотренные свойства степеней с одинаковыми показателями могут быть использованы в обратную сторону. Например, сколько будет 18 2 ?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Свойства степеней также используются при решении примеров:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 (100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Правило деления степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Примеры:

Слайд 11 из презентации «Деление и умножение степеней» к урокам алгебры на тему «Степень»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке алгебры, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Деление и умножение степеней.ppt» можно в zip-архиве размером 1313 КБ.

«Деление и умножение степеней» — a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Найдем произведение a2 и a3. 100. 2+3. 5 раз. 64 = 144 = 1 0000 =. Умножение и деление степеней. 3 раза. a2 a3 =.

«Степени двойки» — 1024+. Правила перевода из одной системы счисления в другую. Гусельникова Е.В. Школа №130. Содержание. Таблица степеней двойки. Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Кислых В.Н. 11Э Зинько К.О. 11Э. Преподаватель: Выполнили: Рассмотрим схему преобразования на примере.

«Степень с отрицательным показателем» — Степень с отрицательным показателем. 5 12?3 (27?3). -2. -1. Вычислите: -3.

«Степень с рациональным показателем» — по теме: «Степень с рациональным показателем». Цели урока: I. Организационная часть. Проверка домашнего задания 1.Математический диктант 2. Взаимопроверка III.Самостоятельная работа IV. Обобщающий урок. Ход урока. Подготовка к контрольной работе V. Подведение итогов урока VI. II.

«Степень с целым показателем» — Представьте выражение в виде степени. X-12. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. Вычислите. Упростите.

«Свойства степени» — Обобщение знаний и умений по применению свойств степени с натуральным показателем. Вычислительная пауза. Свойства степени с натуральным показателем. Проверь себя! Применение знаний для решения различных по сложности задач. Тест. Физминутка. Развитие настойчивости, мыслительной активности и творческой деятельности.

Правило деление степеней

1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

(abc…) n = a n b n c n …

Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

Практически более важно обратное преобразование:

a n b n c n … = (abc…) n

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

Пример 5. Пример 6.

Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

Алгебра – 7 класс. Умножение и деление степеней

Урок на тему: «Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Умножение и деление степеней

Цель урока: научится производить действия со степенями числа.

Для начала вспомним понятие «степень числа». Выражение вида $\underbrace_ $ можно представить, как $a^n$.

Справедливо также обратное: $a^n= \underbrace_ $.

Это равенство называется «запись степени в виде произведения». Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.
Запомните:
a – основание степени.
n – показатель степени.
Если n = 1 , значит, число а взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$.
Если n= 0 , то $a^0= 1$.

Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

Правила умножения

a) Если умножаются степени с одинаковым основанием.
Чтобы $a^n * a^m$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
На рисунке видно, что число а взяли n+m раз, тогда $a^n * a^m = a^ $.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем.
Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $\underbrace_ $.

Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила деления

a) Основание степени одинаковое, показатели разные.
Рассмотрим деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.

Запишем степени в виде дроби:

Для удобства деление запишем в виде простой дроби.

Теперь сократим дробь.

Получается: $\underbrace_ = a^ $.
Значит, $\frac =a^ $ .

Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m , тогда $a^0= a^ =\frac =1$.

б) Основания степени разные, показатели одинаковые.
Допустим, необходимо $\frac$. Запишем степени чисел в виде дроби:

Для удобства представим.

Используя свойство дробей, разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим.
$\underbrace* \frac * \ldots * \frac >_ $.
Соответственно: $\frac=(\frac)^n$.

Степени и корни

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

(a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

где a ≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

— любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

0 0 — любое число.

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

Правила техники безопасности при работе утюгом Правила техники безопасности при работе утюгом. 1.Перед включением утюга в электросеть нужно проверить изоляцию шнура и положение утюга на подставке. 2.Включение и […]
Проблемы водного налога Состояние, анализ и проблемы совершенствования водного налога При заборе воды сверх установленных квартальных (годовых) лимитов водопользования налоговые ставки в части такого превышения […]
как составить приказ о переходе с 223фз на 44 фз Сергей Антонов 30 Ответ написан год назад Профессор 455 Ответ написан год назад Например: приказ об отмене применения положения о закупках. Оценка ответа: 0 Добавить […]
Деление отрицательных чисел Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению. Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « […]
Разрешения D1, 960Н, 720Р, 960Р, 1080Р Системы видеонаблюдения получают все большее распространение по всему миру. Оборудование постоянно совершенствуется, и данная сфера постоянно развивается. Как и в любой […]
Конституционное право Российской Федерации. Баглай М.В. 6-е изд., изм. и доп. — М.: Норма, 200 7 . — 7 84 с. Настоящий учебник, представляющий собой шестое, измененное и дополненное, издание, написан известным […]