Как сместить параболу по оси x

Смещение графика квадратичной функции y = (x — b)² + c

Назад Вперёд

Загрузить презентацию (806 кБ)

Образовательная: исследовать смещение графика квадратичной функции, определить положение графика в зависимости от значений коэффициентов b, c.

Воспитательная: умение работать в группе, организованности.

Развивающая: навыки исследовательской работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, систематизировать полученные данные.

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель урока провести исследовательскую работу. Объектом исследования будут квадратичные функции разного вида. Вам предстоит определить, как влияют коэффициенты b, c на график функций вида y=x 2 +с, y=(x-b) 2 , y=(x-b) 2 +c.

Для выполнения задания необходимо разделиться на группы (4 группы по 5 человек, одна группа “эксперты” наиболее подготовленные ученики).

Каждая группа получает план исследования , лист формата А3 для оформления результатов.

2. Исследовательская работа.

Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x 2 +с, одна группа (уровень В) исследует функцию вида y=(x-b) 2 , одна группа (уровень С) исследует функцию y=(x-b) 2 +c. Группа “Экспертов” исследует все функции.

Функция	Результат
1 группа	у=x 2 +3;
2 группа	у=x 2 -5;
3 группа	у=(х-4) 2 ;
4 группа	у=(х-2) 2 +3.

1. Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте предположение, как может выглядеть ваша функция.
2. Постройте график исследуемых функций (определите вершину параболы (х₀, y₀), задайте таблицей 4 точки).
3. Сравните получившийся график с контрольным образцом y=x 2 .
4. Сделайте вывод (как изменилось положение графика вашей функции относительно контрольного образца).
5. Результаты оформите на листе формата А3 и представьте “экспертной” группе.

“Экспертная” группа сверяет результаты свои с результатами остальных групп, систематизирует и обобщает результаты, выступает с выводами. В случае неточностей или ошибок учитель вносит коррекционные замечания.

Сверка полученных результатов со слайдами №2-5.

Любую квадратичную функцию y=ax 2 +bx+c, можно записать в виде y=a(x-x₀) 2 +y_0, где x₀ и y₀ выражаются через коэффициенты a, b, c. Таким образом, ваши коэффициенты b=x₀, c=y₀ являются координатами вершины параболы.

3. Закрепление изученного материала.

Фронтальная работа с классом.

1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).

Смещение параболы

Параболу можно сместить на параметр $c$ по оси y. Общая формула:

Запомни

• Если $c$ > 0, график смещен вверх.
• Если $c$ < 0, график смещен вниз.

Пример

b) вдоль оси x

Параболу можно сместить на параметр $d$ по оси x. Общая формула:

Запомни

• Если $d$ < 0, график смещен вправо.
• Если $d$ > 0, график смещен влево.

Сдвиги графиков функций

Изменение значения k влияет на вид графика (степень крутизны в случае параболы), расположение ветвей в координатных четвертях и др. Однако точкой, через которую можно провести ось симметрии графиков, является точка O с координатами (0; 0).

Если же рассматривать функций, подобные перечисленным выше, у которых к переменной x или ко всей исходной функции прибавляется (или вычитается) какое-либо число, то графики этих функций остаются такими же как у исходных, однако смещаются относительно точки (0; 0).

Если обозначить исходные функции как y = f(x), то прибавление к x числа дает функции вида y = f(x+l), а прибавление ко всей исходной функции значения дает вид y = f(x) + m.

Например, если исходная функция y = 2x 2 , то примером первого типа будет функция y = 2(x+5) 2 , а второго — y = 2x 2 + 5.

Для функций вида y = f(x+l) график смещается влево на l единиц, если l прибавляется. Если же l вычитается, то график смещается вправо. Действительно, представим параболу функции y = x 2 и сравним ее с функцией y = (x+1) 2 . Когда x = 1, то для первой функции y = 1, а для второй — y = 4. Когда x = 0, для первой y = 0, для второй y = 1. Когда x = –1, для первой y = 1, для второй y = 0.

То есть график второй функции касается оси x в точке (–1; 0). Это значит, что график смещен влево по сравнению с исходным на 1.

Для функций вида y = f(x) + m график соответствующей функции y = f(x) смещается на m единиц, но уже по вертикальной оси (ось y). Здесь если m прибавляется, то график сдвигается вверх. Если m вычитается, то график сдвигается вниз.

Рассмотрим ту же параболу y = x 2 и функцию y = x 2 + 1. Когда x = 0, первая принимает значение 0, а у второй y = 1. Получить у второй функции значение y, которое равно 0, вообще невозможно. Это значит, что парабола имеет точку симметрии с координатами (0; 1), т. е. сдвинута от исходной вверх на 1.

«Смешанные» функции вида y = f(x + l) + m сдвигаются вдоль оси x и y. Вдоль оси x они сдвигаются на l, а вдоль y — на значение m.

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :

Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо.

Построить график функции

Берём параболу и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:

«Опознавательным маячком» служит значение , именно здесь находится вершина параболы .

Теперь, думаю, ни у кого не возникнет трудностей с построением графика (демонстрационный пример начала урока) – кубическую параболу нужно сдвинуть на 2 единицы влево.

Вот ещё один характерный случай:

Построить график функции

Гиперболу (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на 2 единицы влево:

Перемещение гиперболы «выдаёт» значение, которое не входит в область определения функции. В данном примере , и уравнение прямой задаёт вертикальную асимптоту (красный пунктир) графика функции (красная сплошная линия). Таким образом, при параллельном переносе асимптота графика тоже сдвигается (что очевидно).

Вернёмся к тригонометрическим функциям:

Построить график функции

График синуса (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на влево:

Внимательно присмотримся к полученному красному графику …. Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции. График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций). Аналогично можно убедиться в справедливости любой другой формулы приведения.

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: , при этом параметр «ка» не равен нулю или единице, параметр «бэ» – не равен нулю. Как построить график такой функции? Из школьного курса мы знаем, что умножение имеет приоритет перед сложением, поэтому, казалось бы, сначала график сжимаем/растягиваем/отображаем в зависимости от значения , а потом сдвигаем на единиц. Но здесь есть подводный камень, и корректный алгоритм таков:

Аргумент функции необходимо представить в виде и последовательно выполнить следующие преобразования:

1) График функции сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: (если , то график дополнительно следует отобразить симметрично относительно оси ).

2) График полученной функции сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на (. ) единиц, в результате чего будет построен искомый график .

Построить график функции

Представим функцию в виде и выполним следующие преобразования: синусоиду (чёрный цвет):

1) сожмём к оси в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на (. ) влево: (красный цвет):

Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .

Продолжаем расправляться с функциями начала урока:

Построить график функции

Представим функцию в виде . В данном случае: Построение проведём в три шага. График натурального логарифма :

1) сожмём к оси в 2 раза: ;
2) отобразим симметрично относительно оси : ;
3) сдвинем вдоль оси на (. ) вправо: :

Для самоконтроля в итоговую функцию можно подставить пару значений «икс», например, и свериться с полученным графиком.

В рассмотренных параграфах события происходили «горизонтально» – гармонь играет, ноги пляшут влево/вправо. Но похожие преобразования происходят и в «вертикальном» направлении – вдоль оси . Принципиальное отличие состоит в том, что связаны они не с АРГУМЕНТОМ, а с САМОЙ ФУНКЦИЕЙ.

Воспользуйтесь поиском по сайту:

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с) .

Похожие публикации:

1. Proxmox machine i440fx q35 что это
2. Ridoc что это за программа
3. Как запретить человеку писать в дискорде
4. Как синхронизировать календари в outlook