1.6 Вычисление пределов показательно-степенной функции.
Показательно степенной функцией называется функция вида . Чаще всего при вычислении пределов от показательно степенной функции получаются неопределенности . Так как о поведении такой функции в общем случае ничего сказать нельзя (а предел описывает поведение функции вблизи заданной точки), то при вычислении предела от такой функции рекомендуется ее представить иначе, при помощи основного логарифмического тожества: . Мы будем использовать частный случай этой формулы , здесь -это константа, приближенно равная 2,71, а и называется натуральным логарифмом. Используя такое представление, получим (последнее равенство справедливо в силу свойства логарифмов ), а это уже показательная функция. Теперь достаточно знать к чему стремится ее показатель, и будем знать, к чему стремится сама функция. При этом могут возникнуть следующие ситуации:
1) если конечен, то в силу непрерывности показательной функции предел с самой функции можно переносить на ее аргумент. Тогда ;
2) если , то получим ситуацию, которую символически можно записать так: . Учитывая поведение показательной функции, при условии, что ее показатель стремится к +∞, получим ;
3) если , то символически этот случай можно записать следующим образом: . Учитывая поведение показательной функции, получим .
Пример 1.13. Вычислить .
Решение. При дробь , так как . Тогда мы имеем неопределенность и показательно степенную функцию по условию. Прежде всего представим ее в виде степенной на основании основного логарифмического тождества, получим
Вычислим предел от показателя отдельно. Заметим, что в числителе и знаменателе дроби, стоящей в аргументе логарифма стоят многочлены первой степени, а, значит такая дробь неправильная (неправильной рациональной дробью называется дробь, у которой числитель и знаменатель — многочлены, причем старшая степень числителя не меньше старшей степени знаменателя). Из неправильной рациональной дроби можно выделить целую часть: (здесь мы использовали свойство почленного деления дроби ). Тогда . Заметим, что , тогда аргумент логарифма представлен в виде: единица плюс бесконечно малая функция, а тогда логарифм имеет эквивалентную функцию , то есть . В нашем пределе мы имеем право переходить к эквивалентным, так как имеем дело с произведением. Тогда получим .
Пример 1.14. Вычислить
Решение. Как и в предыдущем примере, мы имеем дело с показательно-степенной функцией и неопределенностью . Перейдем снова к показательной функции, применив основное логарифмическое тождество:
Вычислим предел от показателя отдельно. Выясним: можно ли заменить логарифм эквивалентной функцией. Это возможно тогда, когда аргумент логарифма может быть представлен в виде единица плюс бесконечно малая функция. . Так как при , то аргумент логарифма представлен в нужном виде , и, значит . Тогда
Пределы функций. Примеры решений
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!
На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Спасибо за внимание.
Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Предел показательно степенной функции, примеры нахождения
В процессе нахождения предела показательно-степенной функции типа lim x → x 0 ( f ( x ) ) g ( x ) часто работаем с такими степенными неопределенностями, как 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 .
Для их раскрытия необходимо задействовать логарифмирование a = e ln ( a ) , свойство логарифма a · ln ( b ) = ln ( b a ) и применение его предела заданной непрерывной функции, причем ее знак разрешено менять местами.
Для этого производятся преобразования вида:
lim x → x 0 ( f ( x ) ) g ( x ) = e ln lim x → x 0 f ( x ) ) g ( x ) = e lim x → x 0 ( ln ( f ( x ) ) g ( x ) = e lim x → x 0 ( g ( x ) ln ( f ( x ) ) ) = = e lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) 1 g ( x )
Отсюда видно, что задание приводится к нахождению предела заданной функции вида e lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) 1 g ( x ) = ∞ ∞ или 0 0 .
Данный случай рассматривает методы:
- непосредственного вычисления;
- использования правила Лопиталя;
- с заменой эквивалентных бесконечно малых функций;
- применение первого замечательного предела.
Для того, чтобы неопределенность была раскрыта, необходимо применять второй замечательный предел, при наличии 1 ∞ .
Рассмотрим теорию на элементарных примерах заданий.
Найти предел заданной функции lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 x 3 + x .
Для решения необходимо произвести подстановку. Получаем :
lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = ( 0 3 + 2 · 0 + 1 ) 3 2 ( 0 3 + 0 ) = 1 ∞
Получение единицы в степени бесконечность называют неопределенностью, значит, необходимо решить другим методом.
Следует произвести преобразования данного предела. Получаем:
lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e ln lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = = e lim x → 0 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 2 ( x 3 + x )
Видим, что преобразование сводится к пределу вида lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 2 ( x 3 + x ) .
lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 2 ( x 3 + x ) = 0 0 = 3 2 lim x → 0 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) x 3 + x = = 3 2 lim x → 0 x 3 + 2 x x 3 + x = 3 2 lim x → 0 x 2 + 2 x 2 + 1 = 3 2 · 0 2 + 2 0 2 + 1 = 3
Данные преобразования были выполнены при помощи применения замены логарифма на эквивалентную бесконечно малую функцию.
Тогда исходный предел принимает вид lim x → 0 ( x 2 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e 3 .
Вычисление данного предела возможно с применением второго замечательного предела. Тогда получаем:
lim x → 0 ( x 2 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) 1 x 3 + 2 x ( x 3 + 2 x ) 3 2 ( x 3 + x ) = = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) ) 1 x 3 + 2 x 3 ( x 3 + 2 x ) 2 ( x 3 + x ) = lim x → 0 1 + ( x 3 + 2 x ) ) 1 x 3 + 2 x 3 ( x 2 + 2 ) 2 ( x 2 + 1 ) = = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) 1 x 3 + 2 x 3 = e 3
Найти и вычислить предел lim x → π 2 ( t g x ) 2 c o s x
Если произведем подстановку, в результате получим ответ в виде бесконечности в степени ноль, а это является знаком, что необходимо применить другой метод для преобразования. Получаем:
lim x → π 2 ( t g x ) 2 c o s x = ∞ 0 = e ln lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = = e 2 lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = e lim x → π 2 ( 2 cos x · ln · ( t g x ) ) = = e 2 lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x
Отсюда видно, что решение сводится к переделу lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x = ∞ ∞ .
Для дальнейшего преобразования применим правило Лопиталя, так как получили неопределенность в виде частного бесконечностей. Видим, что
lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x = ∞ ∞ = lim x → π 2 = ln ( t g x ) ‘ 1 cos ( x ) ‘ = = lim x → π 2 1 t g ( x ) · 1 cos 2 ( x ) sin ( x ) cos 2 ( x ) = lim x → π 2 cos ( x ) sin 2 ( x ) = cos π 2 sin 2 π 2 = 0 1 2 = 0
Отсюда следует, что пределом показательно-степенной функции является результат, полученный при вычислении. Имеем вы предел вида lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = e 2 · 0 = e 0 = 1 .
Как вычислить предел функции с помощью ряда?
Этот коротенький урок посвящён ещё одному приложению степенных рядов, название которого вы видите в заголовке. Для решения примеров нам опять потребуется таблица разложений (откройте на соседней вкладке или распечатайте), и я предлагаю вам улучшить своё настроение! Потому что задание будет простое, приятное и его краткая суть такова: в некоторых пределах для устранения неопределённости оказывается эффективной замена функции(й) степенными рядами. Когда слова излишни:
И сразу обратите внимание на одну важную особенность: многие приложения степенных рядов посвящены приближённым вычислениям, однако в данном случае мы имеем дело с точным методом – поскольку меняем функцию на ВЕСЬ ряд. Если вам всё же не понятна суть этого действия, то, пожалуйста, обратитесь к статье о разложении функций.
Аналогичным способом можно доказать некоторые другие замечательные пределы:
Задание: используя таблицу разложений, проверьте, что . Задание, в общем-то, устное.
Очевидно, что предельное значение «икс» должно обязательно лежать в интервале сходимости ряда, и теоретически это может быть любое число данного интервала. Но практически оно, как правило, равно нулю, что избавляет нас от проблем с «хвостом» ряда.
Пройдёмся по «местам боевой славы»:
Вычислить предел с помощью разложения функции в ряд
Это предел из Примера 4 статьи Замечательный пределы.
Используем разложение – много членов записывать не нужно, обычно хватает трёх-четырёх. В данном случае :
Не забываем проставлять троеточия и указывать, что остаток ряда стремится к нулю!
Вычислить предел с помощью степенных рядов
Краткое решение в конце урока. Сверьтесь с Примером 6 урока Правила Лопиталя.
И особо интересный предел (см. Пример 4 того же урока), в котором мы использовали правило Лопиталя дважды:
Вычислить предел с помощью степенных рядов
Вполне возможно, кому-то такое решение придётся больше по вкусу:
Используем разложение для и , и чтобы не запутаться, сразу упростим числитель:
Со знаменателем всё проще:
Рассматриваемый способ решения не является какой-то «проформой» и бывает действительно выгоден – когда в «начинке» предела находятся «разношёрстные» функции, особенно их суммы или разности:
Пользуясь известными разложениями функций в ряд Маклорена, вычислить следующий предел:
И даже в такой коротенькой статье не могу не порадовать вас новым и познавательным материалом!
Разложение тангенса в ряд Маклорена
, где – так называемые числа Бернулли. Данный ряд сходится при .
Вы спросите, почему разложения тангенса нет в таблице? Почти не требуется. ПризнАюсь, что данная «таблица» – это вообще не какая-то стандартная справка, а конспект, составленный на основе своего личного опыта. Так, например, во многих аналогичных «таблицах» вы не встретите разложения арктангенса и арксинуса (они выводятся – см. урок о сумме степенного ряда). Я же счёл нужным добавить их в pdf-ку, чтобы «далеко не ходить» – часто нужны на практике
Но вернёмся к теме:
Да, конечно, здесь можно воспользоваться тригонометрической формулой , избавиться от трёхэтажности дроби и разобраться с двумя синусами и косинусом. Но к чему такие трудности? – если есть прямое разложение для :
Ради шутки можете вычислить предел из Примера 3 урока Замечательные пределы. А кроме шуток, разложение функций в ряд используется для устранения не только неопределённости (как можно было бы подумать):
Вычислить предел с помощью степенного ряда
И при такой формулировке задания правила хорошего тона предписывают разложить экспоненту в ряд как можно скорее – ещё в знаменателе. Далее алгоритм работает стандартно: приводим выражение к общему знаменателю, после чего что-нибудь должно сократиться:
И заключительный предел для самостоятельного решения:
Вычислить предел, разложив функции в ряд Маклорена
Не знаете, что делать с квадратом синуса? Ай-яй-яй =)
Решения и ответы:
Пример 2:
Используем ряд и разложение для :
Пример 4:
Используем разложения и :
Пример 7:
Используем тригонометрическую формулу и разложение для :
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено