2. Коллинеарные, равные, противоположные векторы
Два отличных от нуля вектора, которые находятся на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными векторами .
Если два вектора a → и b → коллинеарны, то это записывается так: a → ∥ b → .
Два коллинеарных вектора могут быть направлены в одном направлении или в противоположных направлениях. В первом случае коллинеарные векторы называются сонаправленными, а во втором — противоположно направленными векторами (см. иллюстрацию ниже).
Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео
Сонаправленные векторы записываются a → ↑ ↑ b → или b → ↑ ↑ a → ;
противоположно направленные векторы записываются
a → ↑ ↓ d → или d → ↑ ↓ a → .
Векторы с равными модулями и одинаковыми направлениями называются равными векторами .
Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео
Равные векторы a → и b → записываются так: a → = b → или b → = a → .
Векторы с равными модулями и противоположными направлениями называются противоположными векторами .
Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео
Противоположные векторы a → и b → записываются так: a → = − b → или b → = − a → .
Меняя направление какого-либо вектора на противоположное, получаем вектор, противоположный данному: AB → = − BA → .
Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = <1; 2>, b = , c = коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Пример 2. Доказать что вектора a = <0; 3>и b = <0; 6>коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = <3; 2>и b = коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| 3 | = | 2 | . |
| 9 | n |
Решим это уравнение:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = <1; 2; 3>, b = , c = коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Пример 5. Доказать что вектора a = <0; 3; 1>и b = <0; 6; 2>коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = <3; 2; m >и b = коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
| 3 | = | m |
| 9 | 12 |
Решим эти уравнения:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
| m = | 3 · 12 | = 4 |
| 9 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
1.8.2. Как определить коллинеарность векторов плоскости?
Ортогональность векторов мы проверяли с помощью скалярного произведения, и вот теперь коллинеарность.
Для того чтобы два вектора плоскости были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны: , где – константа.
По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения .
Задача 37
а) Проверить, коллинеарны ли векторы .
б) Образуют ли базис векторы ?
Решение:
а) Выясним, существует ли для векторов коэффициент пропорциональности , такой, чтобы выполнялись равенства :
– из обоих уравнений следует, что , значит, данные векторы коллинеарны.
И обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне работает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной:
сокращаем обе части:
– в результате получено верное равенство, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно, .
Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант:
– верное равенство.
Для проверки можно использовать тот факт, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют место равенства , и их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами:
б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему:
Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения следует, что , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.
Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис.
Упрощённая версия решения выглядит так:
Составим пропорцию из соответствующих координат векторов :
, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.
Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но он не применим в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю: . Или так: . Или так: . Как тут действовать через пропорцию? (на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским».
Ответ: а) , б) образуют.
Небольшое творческое задание для самостоятельного решения:
Задача 38
При каком значении параметра векторы будут коллинеарны?
В образце решения параметр найден через пропорцию .
Но это ещё не всё. Помимо рассмотренных, существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность, систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим этот способ:
Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
– далее нам потребуются некоторые алгебраические навыки, и по ходу изложения
я буду проставлять гиперссылки на соответствующие статьи mathprofi.ru.
и, соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения:
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.
! Проконтролируйте , всё ли вам понятно в терминах и утверждениях?
Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вы уже эльфы 4-го уровня 🙂
Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости , коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .
Решим Задачу 37 вторым способом:
а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны.
б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны. Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис.
Ответ: а) , б) образуют.
Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями.
С помощью рассмотренных методов можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Разберём пару задач с конкретными геометрическими фигурами:
Задача 39
Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является параллелограммом.
Перед доказательством вспомним, что это за геометрическая фигура: параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Приложение Школьные Материалы).Таким образом, нужно доказать:
1) параллельность противоположных сторон и ;
2) параллельность противоположных сторон и .
Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, откуда следует параллельность соответствующих сторон: .
2) Найдём векторы:
Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы), но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .
Вывод: противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению, что и требовалось доказать.
Обратите внимание, что чертёж здесь не нужен – решение чисто аналитическое.
Больше фигур хороших и разных:
Задача 40
Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является трапецией.
Это задание для самостоятельного решения.
А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство:
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Как доказать, что векторы коллинеарны? Даны два вектора : а (-5; 3;-1) и в (6;-10;-2) . Я знаю, что они коллинеарны,
Два вектора A(xa,ya,za) и B(xb,yb,zb) коллинеарны, если xa/xb = ya/yb = za/zb. Указанные вами вектора неколлинеарны.
Остальные ответы
Неправильно знаеш. Они неколинеарны, так как (-5/6) не равно (-3/-10) не равно (-1/-2)
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.