Среднеквадратическое отклонение (Mean square deviation)
Среднеквадратическое отклонение — статистическая характеристика распределения случайной величины, показывающая среднюю степень разброса значений величины относительно математического ожидания. Обозначается греческой σ (сигма) или буквой S .
Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.
Определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины. Стандартное отклонение на основании смещённой оценки дисперсии (иногда называемой просто выборочной дисперсией):
S = √ 1 n n ∑ i = 1 ( x i − ¯ x ) 2 .
Стандартное отклонение на основании несмещённой оценки дисперсии:
S 0 = √ n n − 1 S 2 = √ 1 n − 1 n ∑ i = 1 ( x i − ¯ x ) 2 ,
где S 2 — выборочная дисперсия; x i — i-й элемент выборки; n — объём выборки; ¯ x — среднее арифметическое выборки (выборочное среднее):
¯ x = 1 n n ∑ i = 1 x i = 1 n ( x 1 + … + x n ) .
Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс наблюдаемых значений признака относительно среднего; меньшее значение, соответственно, показывает, что величины в множестве сгруппированы вокруг среднего.
Наряду с дисперсией среднеквадратическое отклонение является одним из параметров нормального распределения. Чем оно выше, тем длиннее «хвосты» распределения.
В анализе данных среднеквадратическое отклонение может использоваться в качестве меры изменчивости значений признаков, степени отклонения желаемых показателей от наблюдаемых, а также для обнаружения выбросов и аномальных значений в данных c помощью правила трёх сигм.
Разбираем формулы среднеквадратического отклонения и дисперсии в Excel
Цель данной статьи показать, как математические формулы, с которыми вы можете столкнуться в книгах и статьях, разложить на элементарные функции в Excel.
В данной статье мы разберем формулы среднеквадратического отклонения и дисперсии и рассчитаем их в Excel.
Перед тем как переходить к расчету среднеквадратического отклонения и разбирать формулу, желательно разобраться в элементарных статистических показателях и обозначениях.
Рассматривая формулы моделей прогнозирования, мы встретимся со следующими показателями:
Например, у нас есть временной ряд — продажи по неделям в шт.
Для этого временного ряда i=1, n=10 , ,
Рассмотрим формулу среднего значения:
Для нашего временного ряда определим среднее значение
Также для выявления тенденций помимо среднего значения представляет интерес и то, насколько наблюдения разбросаны относительно среднего. Среднеквадратическое отклонение показывает меру отклонения наблюдений относительно среднего.
Формула расчета среднеквадратического отклонение для выборки следующая:
Разложим формулу на составные части и рассчитаем среднеквадратическое отклонение в Excel на примере нашего временного ряда.
1. Рассчитаем среднее значение для этого воспользуемся формулой Excel =СРЗНАЧ(B11:K11)
= СРЗНАЧ(ссылка на диапазон) = 100/10=10
2. Определим отклонение каждого значения ряда относительно среднего
для первой недели = 6-10=-4
для второй недели = 10-10=0
для третей = 7-1=-3 и т.д.
3. Для каждого значения ряда определим квадрат разницы отклонения значений ряда относительно среднего
для первой недели = (-4)^2=16
для второй недели = 0^2=0
для третей = (-3)^2=9 и т.д.
4. Рассчитаем сумму квадратов отклонений значений относительно среднего с помощью формулы =СУММ(ссылка на диапазон (ссылка на диапазон с )
=16+0+9+4+16+16+4+9+0+16=90
5. , для этого сумму квадратов отклонений значений относительно среднего разделим на количество значений минус единица (Сумма((Xi-Xср)^2))/(n-1)
= 90/(10-1)=10
6. Среднеквадратическое отклонение равно = корень(10)=3,2
Итак, в 6 шагов мы разложили сложную математическую формулу, надеюсь вам удалось разобраться со всеми частями формулы и вы сможете самостоятельно разобраться в других формулах.
Рассмотрим еще один показатель, который в будущем нам понадобятся — дисперсия.
Как рассчитать дисперсию в Excel?
Дисперсия — квадрат среднеквадратического отклонения и отражает разброс данных относительно среднего.
Рассчитаем дисперсию:
Итак, теперь мы умеем рассчитывать среднеквадратическое отклонение и дисперсию в Excel. Надеемся, полученные знания пригодятся вам в работе.
Точных вам прогнозов!
Присоединяйтесь к нам!
Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:
- Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel .
- 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
- Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.
Тестируйте возможности платных решений:
- Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.
Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.
Среднее линейное и среднее квадратическое отклонение
Среднее квадратичное отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, т.е. корень из дисперсии и может быть найдена так:
1. Для первичного ряда:
2. Для вариационного ряда:
Преобразование формулы среднего квадратичного отклонени приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:
Среднее квадратичное отклонение определяет на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется.
Примеры нахождения cреднего квадратического отклонения: Пример 1, Пример 2
Для альтернативных признаков формула среднего квадратичного отклонения выглядит так:
где р — доля единиц в совокупности, обладающих определенным признаком;
q — доля единиц, не обладающих этим признаком.
Понятие среднего линейного отклонения
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средних арифметических.
1. Для первичного ряда:
2. Для вариационного ряда:
где сумма n — сумма частот вариационного ряда.
Пример нахождения cреднего линейного отклонения: Пример 1
Преимущество среднего абсолютного отклонения как меры рассеивания перед размахом вариации, очевидно, так как эта мера основана на учете всех возможных отклонений. Но этот показатель имеет существенные недостатки. Произвольные отбрасывания алгебраических знаков отклонений могут привести к тому, что математические свойства этого показателя являются далеко не элементарными. Это сильно затрудняет использование среднего абсолютного отклонения при решении задач, связанных с вероятностными расчетами.
Поэтому среднее линейное отклонение как мера вариации признака применяется в статистической практике редко, а именно тогда, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется оборот внешней торговли, состав работающих, ритмичность производства и т. д.
Среднее квадратическое
Среднее квадратическое применяется, например, для вычисления средней величины сторон n квадратных участков, средних диаметров стволов, труб и т. д. Она подразделяется на два вида.
Средняя квадратичная простая. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратичной средней величиной.
Она является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
Средняя квадратичная взвешенная вычисляется по формуле:
где f — признак веса.
Средняя кубическая
Средняя кубическая применяется, например, при определении средней длины стороны и кубов. Она подразделяется на два вида.
Средняя кубическая простая:
Средняя кубическая взвешенная:
При расчете средних величин и дисперсии в интервальных рядах распределения истинные значения признака заменяются центральными значениями интервалов, которые отличны от средней арифметической значений, включенных в интервал. Это приводит к возникновению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф. Шеппард определил, что погрешность в расчете дисперсии, вызванная применением сгруппированных данных, составляет 1/12 квадрата величины интервала как в сторону повышения, так и в сторону понижения величины дисперсии.
Поправка Шеппарда должна применяться, если распределение близко к нормальному, относится к признаку с непрерывным характером вариации, построено по значительному количеству исходных данных (n > 500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в разных направлениях компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.
Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина.
В практике статистики часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для таких сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.
Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разными средним арифметическим используется относительный показатель вариации — коэффициент вариации.
Структурные средние
Для характеристики центральной тенденции в статистических распределениях не редко рационально вместе со средней арифметической использовать некоторое значение признака X, которое в силу определенных особенностей расположения в ряду распределения может характеризовать его уровень.
Это особенно важно тогда, когда в ряду распределения крайние значения признака имеют нечеткие границы. В связи с этим точное определение средней арифметической, как правило, невозможно, либо очень сложно. В таких случаях средний уровень можно определить, взяв, например, значение признака, которое расположено в середине ряда частот или которое чаще всего встречается в текущем ряду.
Такие значения зависят только от характера частот т. е. от структуры распределения. Они типичны по месту расположения в ряду частот, поэтому такие значения рассматриваются в качестве характеристик центра распределения и поэтому получили определение структурных средних. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.
Среднеквадратическое отклонение
Предлагаемая здесь программа, помимо расчета среднеквадратического отклонения, умеет еще и приводить исходные данные к стандартному виду, а так же упорядочивать их по возрастанию или убыванию.
Содержание:
- Определение среднеквадратического отклонения
- Расчет среднеквадратического отклонения
- Свойства среднеквадратического отклонения
- Прикладное значение среднеквадратического отклонения
Среднеквадратическое отклонение σ в строгом смысле является частным случаем стандартного отклонения S0 (стандартной ошибки), хотя зачастую их уравнивают как синонимы, но в случае среднеквадратического отклонения мы имеем дело с отклонением от среднего арифметического [1] значения конечного набора величин, а в случае стандартного отклонения — с отклонением от математического ожидания некой (чаще всего случайной) величины.
Среднеквадратическое отклонение значений множества заданных чисел от среднего арифметического определяется как число равное квадратному корню от суммы квадратов разности этих чисел и среднего арифметического, делённой на количество этих чисел:
(a 1 — a cp ) 2 + (a 2 — a cp ) 2 + …+ (a n — a cp ) 2 n
В другом варианте определения можно сказать, что среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) равно квадратному корню от дисперсии случайной величины [2] как меры разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
Расчет среднеквадратического отклонения
Для начала расчета среднеквадратического отклонения введите исходные числа в одно из полей ввода-вывода данных.
В первое поле можно ввести последовательность чисел, разделенных точкой с запятой (программа попытается так же преобразовать к стандартному виду, например, вставленную копию последовательности чисел с плавающей точкой, разделенных пробелами, запятой или точкой с запятой).
Во второе поле можно вводить числа по одному — они автоматически будут добавляться к данным первого поля, если расчет не запустился автоматически, кликните по зеленой кнопке, показывающей количество чисел в исследуемом массиве:
Введите исходные данные
Что-то пошло не так. Прямое восхождение не может быть больше 24 часов, минуты и секунды больше 60, а склонение по абсолютной величине не должно быть больше 90°
Среднеквадратическое отклонение, σ
Дисперсия [2] , σ 2
Среднее арифметическое [1] , aср
Среднее линейное отклонение [3] , δ
Коэффициент вариации [4] , V
Размах вариации [5] , R
Design by Sergey Ov for abc2home.ru
ВНИМАНИЕ! При перезагрузке страницы введенная информация не сохраняется, если Вы не сгенерировали код для записи результатов работы в командной строке:
Сохранить расчет среднеквадратического отклонения в истории браузера
Адресную строку с кодом из Ваших данных Вы можете можете переслать на любое устройство и воспроизвести на нем результаты расчетов
После того как будут введены хотя бы два исходных числа цвет квадратной кнопки на поле ввода данных должен поменяться с оранжевого на зеленый и автоматически начнется расчет среднеквадратического отклонения и сопутствующих параметров, если это не произошло, то кликните по зеленому полю кнопки.
Страницы по теме «Расчет средних значений»
- Среднее арифметическое — расчет онлайн, определение, формула
- Среднеквадратическое отклонение — расчет онлайн, определение, формула
- Среднее геометрическое — расчет онлайн, определение, формула
- Среднее гармоническое и среднее степенное — расчет онлайн, определения, формулы
- Среднее квадратическое — расчет онлайн, определение, формула
Свойства среднеквадратического отклонения
1. Среднее квадратическое отклонение имеет всегда положительную или равную нулю величину:
2. Среднее квадратическое отклонение для заданного множества неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным значением линейного отклонения от среднего значения этого множества.
3. Кроме того квадратическое отклонение подчиняется неравенству о средних, то есть для любого множества чисел оно не меньше среднего линейного отклонения:
Прикладное значение среднеквадратического отклонения
Среднеквадратическое отклонение от отклонений значений исследуемых данных находит широкое прикладное применение в метрологии, экспериментальной физике и статистике. При обработке результатов измерений во многих случаях их окончательные значения определяются как среднее арифметическое от значений, полученных в результате эксперимента, при этом среднеквадратическое отклонение [3], [4] величин будет являться оценкой ошибки измерений.
В свою очередь на основе минимизации среднеквадратических отклонений в 19 веке был разработан метод наименьших квадратов, который нашел широкое применение в таких областях как статистический, регрессионный анализ, обработка экспериментальных данных и вычислительная математика.
P.S. На этой странице используется Бета версия программы расчета среднеквадратического отклонения, об обнаруженных недочетах, а так же возможных пожеланиях просьба сообщить на форум сайта (окно для входа на форум находится в нижней части страницы).
1. Среднее арифметическое значение (чаще используется термин, просто, «среднее арифметическое» или «среднее») множества заданных чисел определяется как число равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество:
a 1 + a 2 + …+ a n n
2. Если вычислено арифметическое среднее заданного множества чисел, то во многих случаях, становится желательной оценка рассеяния значений этих чисел относительно среднего. Оценка расходимости квадратов значений этих чисел от среднего и является оценкой дисперсии.
Вообще термин дисперсия появился в рамках теорий вероятностей. Одной из ее основополагающих характеристик является дисперсия случайной величины как мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
Не углубляясь в дебри Тер-Вера, здесь приводим только используемую для наших расчетов формулу дисперсии:
(a 1 — a cp ) 2 + (a 2 — a cp ) 2 + …+ (a n — a cp ) 2 n
3. Среднее линейное отклонение определяется как среднее от абсолютных значений отклонений каждого из ряда чисел от их среднего арифметического:
|a 1 — a cp | + |a 2 — a cp | + …+ |a n — a cp | n
4. Коэффициент вариации ряда чисел — мера относительного разброса их значений; показывает, какую долю от среднего значения этой величины составляет её средний разброс. Исчисляется в процентах:
5. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Таким образом, размах вариации может быть представлен следующей формулой: