Какое условие задает круг на координатной плоскости

3. Числовая окружность на координатной плоскости

Расположим числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.

Начальная точка числовой окружности \(A\) совмещена с точкой \((1;0)\).

Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.

Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.

Точка M π 4 — середина \(I\) четверти.
Опустим перпендикуляр \(MP\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OMP\).
Так как дуга \(AM\) составляет половину дуги \(AB\), то ∡ MOP = 45 ° .

Значит, треугольник \( OMP \) — равнобедренный прямоугольный треугольник и \(OP = MP\), т. е. у точки \(M\) абсцисса и ордината равны: \(x = y\).

Координаты точки \(M(x;y)\) удовлетворяют уравнению числовой окружности x 2 + y 2 = 1 ,
Поэтому их найдём из системы уравнений:
x 2 + y 2 = 1 x = y
Заменим в первом уравнении \(y\) на \(x\):
x 2 + x 2 = 1 ; 2 x 2 = 1 ; x 2 = 1 2 ; x = 1 2 = 2 2 ; y = x = 2 2 .
Мы выбрали положительный корень уравнения, так как абсцисса точки \(M\) больше нуля.
Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π 4 , будут M π 4 = M 2 2 ; 2 2 .

Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу.
Точка окружности
Абсцисса \(x\)
Ордината \(y\)
Рассуждаем аналогично для точки \(M\), если теперь она соответствует числу π 6 .

Треугольник \(MOP\) прямоугольный. Так как дуга \(AM\) составляет третью часть дуги \(AB\), то ∡ MOP = 30 ° .

Катет \(MP\) лежит против угла \(30\) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки \(M\) равна

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат

Будем считать, что точка принадлежит кругу, если находится внутри его или на его окружности.

Из любой точки координатной плоскости можно провести отрезок к началу координат. Если длина этого отрезка больше радиуса круга, то точка лежит за пределами круга и, следовательно, не принадлежит ему. Если же отрезок, соединяющий точку и начало координат, меньше радиуса круга с центром в начале координат или равен ему, то точка будет принадлежать кругу.

Отрезок между любой точкой и нулевой точкой (началом координат) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны значениям x и y координаты данной точки.

Таким образом задача сводится по-сути к двум действия:

1. Нахождение длины отрезка между точкой и началом координат по теореме Пифагора (квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов).
2. Сравнению полученного значения с радиусом круга.

Pascal

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат паскаль

 
var x,y,r,h: real; 
begin 
write('координаты точки: '); 
readln(x,y); 
write('радиус круга: '); 
readln(r); 
h := sqrt(x*x + y*y); 
if h > r then writeln('Точка не принадлежит кругу') 
else writeln('Точка принадлежит кругу'); 
end. 

 
 
координаты точки: -1 -2 
радиус круга: 5 
Точка принадлежит кругу 

Язык Си

 
#include  
#include  
main() float x,y,r,h; 
printf("Координаты точки: "); 
scanf("%f%f", &x,&y); 
printf("Радиус круга: "); 
scanf("%f", &r); 
h = sqrt(x*x + y*y); 
printf("Гипотенуза равна %.2f. ", h); 
if (h > r) printf("Точка не принадлежит кругу.\n"); 
else printf("Точка принадлежит кругу.\n"); 
> 

 
 
Координаты точки: 4 5 
Радиус круга: 10 
Гипотенуза равна 6.40. Точка принадлежит кругу. 

Для gcc компилировать с ключом -lm.

Python

Определение принадлежности точки кругу с центром в начале координат Python

 
from math import sqrt 
 
x = float(input("x y r Расстояние до точки от начала координат равно %.2f" % h) 
if h > r: 
print("точка находится за пределами круга") 
else: 
print("точка принадлежит кругу") 

 
 
x=10 
y=-3 
r=5 
Расстояние до точки от начала координат равно 10.44 
точка находится за пределами круга 

КуМир

 
алг точка_круг 
нач 
вещ x,y,r,h 
вывод "Координаты точки: " 
ввод x,y 
вывод "Радиус круга: " 
ввод r 
h := sqrt(x**2 + y**2) 
если h > r то вывод "Не принадлежит" 
иначе вывод "Принадлежит" 
все 
кон 

 
 
Координаты точки: 1.6 -2.1 
Радиус круга: 4 
Принадлежит 

Basic-256

 
input "x y r Не принадлежит" 
else 
print "Принадлежит" 
endif 

Принадлежит ли точка кругу?

Определить, принадлежит ли точка с координатами ( x ; y ) кругу радиуса R с центром в начале координат. Пользователь вводит координаты точки и радиус круга.

Решение задачи на языке программирования Python

Если выбрать точку на координатной плоскости, то можно увидеть, что проекции ее координат на оси x и y являются катетами прямоугольного треугольника. А гипотенуза этого прямоугольного треугольника как раз показывает расстояние от начала координат до точки.

Таким образом, если длина гипотенузы будет не больше радиуса круга, то точка будет принадлежать кругу; иначе она будет находится за его пределами.

Длину гипотенузы вычисляется по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Откуда гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов.

import math print("Введите координаты точки и радиус круга") x_point = float(input("x = ")) y_point = float(input("y = ")) r_circle = float(input("R = ")) hypotenuse = math.sqrt(x_point ** 2 + y_point ** 2) if hypotenuse  r_circle: print("Точка принадлежит кругу") else: print("Точка НЕ принадлежит кругу")

Пример выполнения программы:

x = 1 y = -1 R = 3 Точка принадлежит кругу

Обратите внимание, можно вводить отрицательные координаты. При возведении в квадрат все-равно будет получено положительное число.

X Скрыть Наверх

Решение задач на Python

Как найти радиус и центр окружности

Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.

Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:

Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:

Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
Это уравнение можно записать в виде:

Если уравнение помножить на любое число A, то получим

Примечание
Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.

Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:

3. Если выполняется неравенство

Как найти радиус и центр окружности

Уравнение Ax 2 +Bx+Ay 2 +Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:

Пример 1
Уравнение 5x 2 -10x+5y 2 +20y-20=0
Здесь
A=5, B=-10, C=20, D=-20
Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство

Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3

Анимационный график окружности

Пример 2
Уравнение второй степени x 2 +4xy+y 2 =1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.

Пример 3
Уравнение второй степени 4x 2 +9y 2 =36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x 2 и y 2 не равны.

10127