Математическое описание случайных явлений (часть 1)
1 слайд Математическое описание случайных явлений
Часть 1
пункт 26.
Элементарные события
Решения задач
Проект учащихся 8А класса
ГОУ СОШ №420 ЮАО г. Москвы
Руководитель: учитель математики Афанасьева Светлана Викторовна
2 слайд пункт 26. Элементарные события
3 слайд Пункт 26 №1.
Андрей и Борис решили купить мороженое и встали в очередь. Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите эти способы.
Обозначим:
Андрея- буквой А, а Бориса- Б.
Друг за другом они могут расположиться только двумя способами
АБ или БА.
4 слайд Вопрос :
Сколько всего получилось элементарных событий?
Условие
В киоске продаётся три сорта мороженого: сливочное, шоколадное и клубничное. Андрей и Борис покупают по одной порции мороженого.
Пункт 26 №2.
5 слайд Решение
Рассмотрим все варианты событий какой вкус могут купить Борис и Андрей.
Борис
Андрей
Предположим, что Борис любит только шоколадное мороженное, тогда Андрей может купить любое из трех видов.
Если Борис любит клубничное, то Андрей снова может купить все три вкуса.
То же произойдет и с ванильным мороженным для Бориса.
Но если предположить, что Андрей любит только шоколадное мороженное, то тогда Борис может попробовать все три вкуса. Но это уже есть в нашей таблице.
Ответ: всего получилось 9 элементарных событий.
6 слайд Пункт 26 №3.
Андрей, Борис и Владимир решили купить мороженое и встали в очередь за покупкой. Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите все эти способы.
Первый способ решения
Обозначим :
Андрея- буквой А,
Бориса- буквой Б,
Владимира- буквой В.
Следовательно, получается :
АБВ,АВБ, БАВ,БВА,ВАБ,ВБА.
Итого 6 способов.
7 слайд Пункт 26 №3.
Андрей, Борис и Владимир решили купить мороженое и встали в очередь за покупкой. Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите все эти способы.
Второй способ решения
Первым может стоять
любой из 3 мальчиков,
следующим любой из 2, оставшийся мальчик будет последним( 1 вариант)
Итого 6 способов.
8 слайд Пункт 26 №4.
В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, аЬсd, саd и т. д.
cdab не является элементарным событием,
так как все бракованные детали обнаружили
после второго извлечения.
а) Является ли сdаЬ элементарным событием в этом опыте?
б) Какими буквами может заканчиваться запись элементарного события?
запись элементарного события может заканчиваться буквами c или d.
9 слайд Пункт 26 №4.
В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, аЬсd, саd и т. д.
г) Сколько различных элементарных событий записывается тремя буквами?
в) Выпишите все элементарные события этого опыта.
Мы знаем, что запись элементарного события должна заканчиваться буквами c или d. Сначала запишем все события (элементарные и неэлементарные), а потом вычеркнем те, которые заканчиваются на буквы a и b.
Abcd badc cabd dabc
Abdc bacd cadb dacb
Adbс bdca cbad dbac
Adсb bdac cbda dbca
Acbd bcad cdab dcab
Acdb bcda cdba dcba
Посчитаем оставшиеся события : abcd, bdac, cabd, dabc, abdc, bacd, adbc, cbad, dbac, bdac, acbd,bcad, acdb.
10 слайд Пункт 26 №4.
В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, аЬсd, саd и т. д.
г) Сколько различных элементарных событий записывается тремя буквами?
Сначала составим все события:
Вычеркнем неэлементарные:
abc abd acd bcd
acb adb adc bdc
bac bad cad cbd
bca bda cda cdb
cab dba dac dbc
cba dab dca dcb
Остались события: acd, adc, cad, dac, bcd, bdc, cbd, dbc.
Всего: 8
11 слайд Пункт 26 №5.
Игральную кость подбрасывают дважды. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий этого эксперимента. Выделите в таблице элементарные события, при которых в сумме выпало:
г) четное число очков.
а) менее 4 очков
б) ровно 7 очков
в) ровно 11 очков
12 слайд Подбросим монету два раза. Появление двух орлов записывается как ОО. Это одно из элементарных событий этого опыта.
Подбросим монету три раза. Выпишите все элементарные события этого опыта.
Во сколько раз больше число элементарных событий при трёх бросаниях монеты, чем при двух бросаниях монеты?
Пункт 26 №6. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки.
Опыт 1:
Элементарные события: ОО, РР,ОР, РО.
Опыт 2:
Элементарные события:
ООО,ООР, ОРО, ОРР, РРР, РОО, РОР, РРО.
Опыт 3:
В 2 раза.
13 слайд * Сколько элементарных событий при четырех бросаниях монеты?
Опыт 4*:
16, т.к. при подбрасывании выпадает 16
разных комбинаций:
2 варианта на первое подбрасывание (О или Р)
2 варианта на второе подбрасывание (О или Р)
2 варианта на третье подбрасывание (О или Р)
2 варианта на четвертое подбрасывание (О или Р) Всего: 2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2=16
* Сколько элементарных событий при десяти бросаниях монеты?
Пункт 26 №6. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки.
Опыт 5*:
1024, т.к. при подбрасывании выпадает 1024 различных
комбинаций. Это можно узнать, возведя 2 в 10 степень.
14 слайд Пункт 26 №7.
Из закрепленного ружья стреляют по мишени, изображенной на рисунке. Выстрелить мимо мишени невозможно. Элементарным событием при одном выстреле будет выбивание определенного числа очков.
Сколько элементарных событий в этом опыте:
а) при двух выстрелах;
б) при трех выстрелах?
15 слайд А) При двух выстрелах, элементарных событий 10х10=100, к каждому из десяти возможных элементарных событий при первом выстреле может присоединиться любое из десяти событий при втором выстреле. Все эти 100 элементарных событий записаны в таблице.
Б) При трёх выстрелах, элементарных событий 10х10х10=1000, к каждому из десяти возможных элементарных событий при первом выстреле может присоединиться любое из десяти событий при втором выстреле и может присоединиться любое из десяти событий при третьем выстреле.
а) При двух выстрелах 100 элементарных событий
б) При трёх выстрелах 1000 элементарных событий.
16 слайд Пункт 26 №8. Спортивная команда «Математик» проводит товарищескую встречу по волейболу с командой «Физик». Ничья невозможна. Встреча проводится до двух побед одной из команд. Победу «Математика» обозначим буквой М, а победу «Физика»— буквой Ф. Одним из элементарных событий является ММ.
а) Запишите все возможные элементарные события.
б) Запишите все элементарные события, при которых встречу выигрывает команда «Физик».
Элементарные события :
ММ,ФФ,МФМ, ФММ, ФМФ,МФФ
ФФ,ФМФ,МФФ
Две буквы Ф, одна из которых является последней
17 слайд Пункт 26 №8. Спортивная команда «Математик» проводит товарищескую встречу по волейболу с командой «Физик». Ничья невозможна. Встреча проводится до двух побед одной из команд. Победу «Математика» обозначим буквой М, а победу «Физика»— буквой Ф. Одним из элементарных событий является ММ.
в) Предположим, что во встрече победила команда «Математик». Какой буквой оканчивается запись соответствующих элементарных событий?
г) Какое наибольшее количество матчей может состояться?
Запись оканчивается буквой М
3 матча
Если после первых двух игр победитель не определился,
то победитель третьего матча станет победителем встречи
18 слайд Пункт 26 №9. Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке. Каждая дорожка обозначена буквой. Например, один из возможных путей записывается как ах, другой — как bz. Перечислите все возможные пути Красной Шапочки в домик бабушки. Сколько получилось таких путей?
19 слайд Пункт 26 №10. Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке. Каждая дорожка обозначена буквой. Сколько элементарных событий в этом опыте записывается одной, двумя, тремя буквами?
1) Одной буквой может быть записано 2 элементарных события: d и w.
2) Двумя буквами может быть записано 2 элементарных события: ax и bx.
3) Тремя буквами может быть записано 4 элементарных события: auw, buw, avw, bvw
20 слайд Пункт 26 №11. Игральную кость подбрасывают трижды. Сколько элементарных событий в этом эксперименте?
У кости 6 граней, следовательно
количество элементарных событий равно
6·6·6=216
21 слайд Пункт 26 №12. Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало: а) 2 очка; б) З очка; в) 4 очка.
а) 0, т.к это невозможное событие.
б)1, при выпадении 111
в)3, при выпадении 112,121,211
22 слайд Пункт 26 №13. Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало более: а) 17 очков; б) 16 очков; в) 15 очков.
а) «выпало более17 очков»
элементарное событие: 6+6+6
Всего 1 элементарное событие.
б) «выпало более16 очков»
элементарные события: 5+6+6, 6+6+5, 6+5+6, 6+6+6.
Всего 4 элементарных события.
в) «выпало более15 очков».
элементарные события:
4+6+6, 6+6+4, 6+4+6,
5+5+6, 5+6+5, 6+5+5,
5+6+6, 6+5+6, 6+6+5,
6+6+6. Всего 10 элементарных событий.
23 слайд Авторы решения задач
№1 Носовкина Лиза
№2 Александров Лев
№3 Низамова Наташа
№4 Соколова Даша
№5 Зюбан Полина
№6 Жучкова Мария
№7 Синицын Дима
№8 Русин Илья
№9 Колягин Влад
№10 Носовкина Лиза
№11 Носовкина Лиза №12 Корякина Таня
№13 Корякина Таня
На фотографиях учащиеся нашего класса на уроке компьютерного эксперимента по теории вероятностей
Рабочие листы
к вашим урокам
Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности
На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей — задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например «Симметричную монету бросают дважды. » или «Бросают 3 монеты . «, но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.
Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).
Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один — по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй — по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.
Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
- Классическая вероятность (перебор)
- Классическая вероятность (комбинаторный подход)
- Формула Бернулли
- Полезные ссылки
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
1. Классическое определение вероятности
Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О — выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию «орел выпадет ровно один раз», это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$. Готово!
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.
Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию «оба раза выпала одна сторона» удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$.
Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.
Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ — число бросков монеты).
Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.
Взяли разгон и переходим к 4 монетам.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Приступаем к вычислению. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.
Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO, их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.
Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.
2. Комбинаторика + классическая вероятность
Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет — 32, для 6 монет — 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.
Один из способов решения этой проблемы — остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.
Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем $C_4^2$ способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза — $C_4^3$ способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций: $$ m=C_4^2+C_4^3=\frac+\frac=\frac+4=6+4=10. $$ Итого получаем такое же значение вероятности: $P=m/n=10/16=0.625$.
Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.
Например, если рассмотреть подобную задачу:
Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза
Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (. ), просто по аналогии с примером выше: $$ n=2^8=256;\\ m=C_8^4=\frac=\frac=70;\\ P=\frac=\frac=0.273. $$
Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).
Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.
Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).
Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек — 6-2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 — РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.
Способ 3. Формула Бернулли
Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.
Так как броски монет — события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=1/2=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли: $$ P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ = C_n^k \cdot \left(1/2\right)^k \cdot \left(1-1/2\right)^=C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n. $$
То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос «какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$» (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя): $$ P=C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n=\frac=C_n^k \cdot 0.5^n, \quad C_n^k=\frac. $$
А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 \cdot \left(1/2\right)^2=2 \cdot \frac=\frac=0.5.$
Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.
Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем $$P=C_4^2 \cdot \left(1/2\right)^4+C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^4=(6+4) \cdot \frac=\frac=0.625.$$
Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 \cdot \left(1/2\right)^3=1 \cdot \frac=\frac=0.125.$
Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.
Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем $$P=C_8^8 \cdot \left(1/2\right)^8+ C_8^7 \cdot \left(1/2\right)^8=(1+8) \cdot \frac=\frac=0.035.$$
Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Полезные ссылки
Решебник по вероятности
А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):
Сколько элементарных событий при шести бросаниях монеты
Монета брошена шесть раз.
В результате одного броска выпадет О или Р (Орел или Решка) с равной вероятностью 0,5.
Если записать результат 6 бросков, то получим цепочку, состоящую из 6 символов О или Р.
Например, исход — цепочка ООРОРО означает, что первый раз выпал Орел,
второй раз — Орел, третий раз — Решка и т.д..
Так как при каждом броске имеем 2 варианта (О или Р), а бросков 6,
то всего исходов (цепочек) имеем 2 6 = 64. (В общем случае при n бросках имеем 2 n исходов).
Пусть событие А = «Орел выпадет не менее трех раз» (3 или больше 3-х раз).
Противоположное событие (не А) = «Орел выпадет 1 раз, 2 раза или ни разу».
Подсчитаем количество исходов, при которых в цепочке
Орел будет встречаться 0, 1 или 2 раза.
ОООООО — 1 исход (Орел не выпал ни разу)
РООООО, ОРОООО, ООРООО, ОООРОО, ООООРО, ОООООР. 6 исходов (Орел выпал 1 раз).
С6 2 = 6!/(2!*4!) = 6*5/2=15 исходов, (Орел выпал 2 раза).
Всего благоприятных исходов (орел выпал более двух раз, т.е. не менее трех)
64 — (1+6+15) = 42.
Р = 42/64 = 0,65625
Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 2)
В теории вероятностей существует группа задач, для решения которых достаточно знать классическое определение вероятности и наглядно представлять предлагаемую ситуацию. Такими задачами является большинство задач с подбрасыванием монеты и задачи с бросанием игрального кубика. Напомним классическое определение вероятности.
Вероятность события А (объективная возможность наступления события в числовом выражении) равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов: Р(А)=m/n, где:
- m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
- n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.
Число возможных элементарных исходов испытания и число благоприятных исходов в рассматриваемых задачах удобно определять перебором всех возможных вариантов (комбинаций) и непосредственным подсчетом.
Определение вероятности в задачах про монету
Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз.
Решение.
Возможные варианты двух бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок |
| 1 | Орел | Орел |
| 2 | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = соответствуют варианту №2 и №3 эксперимента, таких вариантов два m=2.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=2/4=0,5
Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение. Поскольку монету бросают дважды, то, как и в задаче 1, число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = соответствуют варианту №4 эксперимента (см. таблицу в задаче 1). Такой вариант один, значит m=1.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=1/4=0,25
Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
Решение. Возможные варианты трех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок |
| 1 | Орел | Орел | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка |
| 4 | Решка | Решка | Орел |
| 5 | Орел | Орел | Решка |
| 6 | Орел | Решка | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=8. Благоприятные исходы события А = соответствуют вариантам №5, 6 и 7 эксперимента. Таких вариантов три, значит m=3.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=3/8=0,375
Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.
Решение. Возможные варианты четырех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
| № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 4-й бросок | № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 4-й бросок |
| 1 | Орел | Орел | Орел | Орел | 9 | Решка | Орел | Решка | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка | Решка | 10 | Орел | Решка | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка | Решка | 11 | Орел | Решка | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка | Орел | Решка | 12 | Орел | Орел | Орел | Решка |
| 5 | Решка | Решка | Решка | Орел | 13 | Решка | Орел | Орел | Орел |
| 6 | Орел | Орел | Решка | Решка | 14 | Орел | Решка | Орел | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел | Решка | 15 | Орел | Орел | Решка | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Орел | Орел | 16 | Решка | Решка | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=16. Благоприятные исходы события А = соответствуют вариантам №12, 13, 14 и 15 эксперимента, значит m=4.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=4/16=0,25
Определение вероятности в задачах про игральную кость
Задача 5. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.
Решение. При бросании игрального кубика (правильной кости) может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий — выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = означает, что выпало 4, 5 или 6 точек (очков). Значит число благоприятных исходов m=3.
Вероятность события Р(А)=m/n=3/6=0,5
Задача 6. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число очков, не большее 4. Результат округлите до тысячных.
Решение. При бросании игрального кубика может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий — выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = означает, что выпало 4, 3, 2 или 1 точка (очко). Значит число благоприятных исходов m=4.
Вероятность события Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Задача 7. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.
Решение. Так как игральную кость (игральный кубик) бросают дважды, то будем рассуждать следующим образом: если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получаем пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи представим в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = (они выделены жирным) подсчитаем и получим m=9.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=9/36=0,25
Задача 8. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до тысячных.
Решение. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = (они выделены жирным) подсчитаем и получим m=8.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Задача 9. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.
Решение. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Фраза «хотя бы раз выпало число, меньшее 4» означает «число меньшее 4 выпало один раз или два раза», тогда число благоприятных исходов события А = (они выделены жирным) m=27.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=27/36=0,75
Другие статьи по данной теме:
- назад:Элементы комбинаторики. События и их вероятности. Примеры решения задач (Часть 1)
- далее:Операции над событиями. Правила сложения и умножения вероятностей
Список использованных источников
- Алимов А.Ш., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни / Учебник. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2016;
- Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. — «Высшая школа», 2004;
- Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
- Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
- Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ — Екатеринбург, 2008;
- Яковлев И. В. Комбинаторика-олимпиаднику — MathUs.ru.