Сколько существует семизначных чисел палиндромов

Сколько существует семизначных чисел палиндромов

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких как 54345, 17071)?

Подсказка

Достаточно задать три первые цифры такого числа – остальные восстановятся однозначно.

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	1
Название	Сложить или умножить?
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	02.012

Проект осуществляется при поддержке и .

Решу ЕГЭ и Незнайка объединились,

чтобы запустить свои курсы ЕГЭ в Тик-Ток формате. Никаких скучных вебинаров, только залипательный контент!

Готовься к ЕГЭ в Тик-Ток формате

«Незнайка» и «Решу ЕГЭ» запускают свои курсы подготовки. Короткие видео, много практики и нереальная польза!

‘; $pop_rand = mt_rand(1,3); $pop_rand_code = $; echo $pop_rand_code; //> ?—>
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Незнайка → ЕГЭ → Математика → Профильная → Вариант 11 → Задание 19

Задание № 7900

Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).

а) Сколько существует пятизначных палиндромов?

б) Существует ли 2015-значное число, квадрат которого является палиндромом?

в) Сколько существует палиндромов, квадраты которых не превышают 100000 и так же являются палиндромами?

Решать другие задания по теме: Числа и их свойства
Показать ответ
Комментарий:

а) Пятизначный палиндром имеет вид [math]xyzyx[/math], где [math]y,z[/math] — любые цифры, [math]x[/math] — любая цифра, кроме 0. Значит всего существует [math]9\times10\times10=900[/math] пятизначных палиндромов.

б) Да, приведем пример. Пусть [math]x=10^+1[/math] — 2015-значное число, тогда [math]x^2=10^+2\times10^+1=1\underbrace2\underbrace1[/math] — палиндром.

в)Обозначим исходный палиндром [math]A[/math]. Ясно, что [math]A[/math] — не более, чем трехзначное натуральное число, причем [math]A<317[/math] .

[math]317^2=100489>100000[/math]. Рассмотрим 3 случая.

1) [math]A[/math] — однозначное число. Перебором чисел от 1 до 9 определим, что лишь квадраты чисел 1;2 и 3 являлются палиндромами

2) Двузначные палиндромы: 11,22,33,44,55,66,77,88,99. Непосредственно убедимся, что только [math]11^2[/math] и [math]22^2[/math] являются палиндромами

3) Пусть A трехзначное число, меньшее 317, и [math]A=xyx[/math], тогда [math]1\leq x\leq3[/math] и [math]A^2=(100x+10y+x)^2=x^2\times10^4+2xy\times10^3+(2x^2+y^2)\times10^2\;+2xy\times10+x^2[/math]. Так как [math]1\leq x^2\leq9[/math] , то [math]x^2[/math] является первой и последней цифрой числа [math]A^2[/math]

Если [math]2xy\geq10[/math] , то вторая цифра [math]A^2[/math] ,будет больше [math]x^2[/math] и [math]A^2[/math] палиндромом не является. Поэтому [math]2xy<10[/math], если [math]A^2[/math] является палиндромом, у которого вторая и четверная цифры равны [math]2xy[/math].

Если [math]2x^2+y^2\geq10[/math], то вторая цифра [math]A^2[/math] ,будет больше [math]2xy[/math], поэтому [math]2x^2+y^2<10[/math].

Получаем следующие числа: 101,11,121,202,212,222. Число 222 не удовлетворяет условию [math]2x^2+y^2<10[/math].

В этом случае 5 вариантов (101,111,121,202,212). Всего 10 возможных значений [math]A[/math]

Ответ: a) 900; б) да; в) 10.

Задание 19. Тренировочный вариант ЕГЭ № 221 Ларина.

Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадает первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д. Например, числа 121 и 123321 являются палиндромами.

А) Приведите пример числа‐палиндрома, которое делится на 15.
Б) Сколько существует пятизначных чисел‐палиндромов, делящихся на 15?
В) Найдите 37‐е по величине число‐палиндром, которое делится 15.
Ответ: а) 525; 585; б) 33; в) 59295

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Чтобы делилось на 15, то должно делиться и на 5, и на 3 $$\Rightarrow$$ оканчивается на 0 или 5 (на 0 не может $$\Rightarrow$$ на 5) и сумма цифр делится на 3.

Например: $$5a5$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac\in N$$

б) Пусть $$5aba5$$ — число $$\Rightarrow$$

$$\Rightarrow$$ $$10+2a+b\in[10. 37]$$.

Выберем все кратные 3 из этого диапазона: $$12;15;18;21;24;27;30;33;36$$

$$2a+b=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1;b=0$$ или $$a=0;b=2$$

Сколько существует пятизначных чисел которые читаются слева на право с право на лево

Первая цифра не может быть 0 (Иначе число не будет пятизначным). Значит на первом месте может быть любое число от 1 до 9. (9 возможных вариантов). На втором месте может быть любая цифра от 0 до 9. (10 возможных вариантов). На третьем месте также может быть любая цифра от 0 до 9. (10 возможных вариантов). Четвертая и пятая цифры должны в точности совпадать со второй и первой соответственно. Поэтому мы их не учитываем. Согласно основной формуле комбинаторики общее число сочетаний будет: 9*10*10=900.

Остальные ответы