Тема 8. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием. Примеры: сдача экзамена, наблюдение за дорожно-транспортными происшествиями, выстрел из винтовки, бросание игрального кубика, педагогический эксперимент.
Результат, исход испытания называется событием. Примеры: успешная сдача экзамена, дорожно-транспортные происшествия со смертельным исходом, попадание в цель, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости, получение результата при проведении педагогического эксперимента.
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Примеры: совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное; несовместные события: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное.
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Примеры: если сейчас день, то сейчас не ночь; если человек спит, то в данный момент он не читает; если число иррациональное, то оно не является четным.
Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом. Событие называется невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Примеры: если в урне все шары белые, то достать белый шар является достоверным событием, а достать черный шар является невозможным событием; если человек прыгнул в воду, то выйти мокрым является достоверным событием, а выйти сухим является невозможным событием.
Событие называется случайным, если его наступление или ненаступление в некотором испытании (эксперименте) зависит от ряда случайных факторов. Примеры: успешная сдача экзамена; выигрыш в лотерее; рождения мальчика или девочки; всхожесть семян; попадание в цель и т. д.
8.2. Определение вероятности
Совокупность образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них. Например, при сдаче зачета возможны следующие исходы: «зачтено», «не зачтено», «не явился»; при подбрасывании монеты — «орел», «решка»; при подбрасывании игральной кости — 1, 2, 3, 4, 5, 6.
События, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.
Классическое определение вероятности
Вероятностью P(A) события A называется отношение числа элементарных событий m, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий n:
Вероятность достоверного события равна 1.
Вероятность невозможного события равна 0.
Вероятность случайного события больше 0 и меньше 1.
Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Например, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. В таких случаях используется статистическое определение вероятности. Пусть проводится n опытов, событие A наступило m раз, тогда
где m — абсолютная частота события A; P(A) — относительная частота события A.
Вероятностью события А для испытания в данном опыте называется число P(A), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.
Геометрическое определение вероятности
Если в результате проведения испытаний наблюдается произвольный исход из некоторого бесконечного множества, то можно сказать, что пространство элементарных исходов может быть некоторой областью G, а под событием А можно понимать исходы, входящие в область g. Пусть на область G наугад брошена «точка»; приняв равновозможность вариантов, естественно считать, что вероятность попадания в область g можно найти по формуле, называемой геометрической вероятностью:
Области могут быть различной размерности (одно-, двух- или трехмерного измерения) и, в зависимости от выбора размерности меры, могут принимать значения либо длины, либо площади, либо объема. Для конкретного испытания размерность мер g и G должна быть одна.
8.3. Свойства вероятности
Суммой событий A и B называется событие C = A + B, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий — A или B.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P(A) + P(B).
Примеры: пусть А — идет дождь, а В — идет снег, то (А + В) — либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; А — пошли на дискотеку; В — пошли в библиотеку, то А + В — пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:
Вероятность суммы полной группы событий равна 1.
Примеры: если А — число четное, то — число нечетное; если А — зима, то — не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А — сдал экзамен, то — не сдал экзамен.
Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.
Примеры: пусть А — из урны вытянули белый шар, В — из урны вытянули белый шар, то АВ — из урны вытянули два белых шара; А — идет дождь, В — идет снег, то АВ — дождь со снегом; А — число четное, В — число кратное 3, то АВ — число кратное 6.
Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.
Чаще всего зависимые испытания происходят тогда, когда тянут из одной колоды, не возвращая карты в колоду, вытаскивают из одной урны и т. д.
Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению их вероятностей:
Пусть А и В — зависимые. Условной вероятностью PA (B) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения
Теорема (формула полной вероятности). Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместных событий B1, B2,…, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:
Теорема (формула Байеса). Если существуют n попарно несовместных событий B 1 , B 2 , …, B n , образующих полную группу, и известны условные вероятности события А, то можно найти вероятности того, что событие А произошло при условии появления некоторого события B k по формуле:
Вопросы
1. Может ли событие быть одновременно и невозможным и достоверным?
2. Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?
3. Приведите пример полной группы событий для выбранного Вами испытания.
4. Исходя из формулы определения вероятности, объясните, почему значение вероятности находится в пределах от 0 до 1.
5. Часто ли случается, что наступление какого-либо события зависит от ряда причин? Приведите пример.
6. С помощью какой формулы можно выяснить наиболее вероятную причину уже наступившего события?
Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу
Учебное пособие по дисциплине «Математика и информатика» для студентов гуманитарных и педагогических специальностей очной формы обучения.
/сост. Егорова Э.В.– Тольятти: ТГУ, 2008.
В учебном пособии рассмотрены вопросы по математике: аксиоматический метод, теория множеств, основы теории вероятностей и математической статистики, а также вопросы по информатике: алгоримизация и программирование.
Изложено содержание теоретических вопросов по разделам математики и основам информатики в соответствии со стандартом. Рассмотрены примеры и даны вопросы для контроля по каждой теме.
Рекомендовано для студентов всех форм обучения гуманитарных направлений.
Научный редактор: к.т.н. Д.И. Панюков
Утверждено редакционно-издательской секцией методического совета института.
© Тольяттинский государственный университет, 2008
1. Классическое определение вероятности
Когда неизвестно, произойдёт в ходе испытания данное событие или нет, то говорят, что это случайное событие .
Например, случайное событие — выпадение решки при бросании монеты.
Достоверное событие — событие, которое в ходе испытания обязательно наступит.
Невозможное событие — событие, которое в ходе испытания точно не произойдёт.
Если при проведении испытаний наступает исход, который влечёт за собой появление события \(A\), то этот исход назовём благоприятствующим событию \(A\).
Дадим классическое определение вероятности.
Вероятность события \(A\) — отношение количества благоприятствующих событию \(A\) исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.
P ( A ) = m n , где
\(m\) — количество исходов испытания, в которых наступает событие \(A\),
\(n\) — количество всех равновозможных исходов.
Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет \(3\) очка?
Решение. Количество элементарных исходов \(n=6\). Событие \(A\) — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятствующих событию \(A\) равно \(m=1\). Получаем:
P ( A ) = m n = 1 6 .
Существует связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Соответствия заключаются в следующем:
- испытание с N исходами — множество из N элементов;
- отдельный исход испытания — элемент множества;
- случайное событие — подмножество;
- невозможное событие — пустое множество;
- достоверное событие — подмножество, которое совпадает со всем множеством;
- вероятность события — доля (часть) элементов подмножества среди всех элементов множества.
Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Теорема
Если события \(A\) и \(B\) не совместны, то вероятность того, что наступит или \(A\), или \(B\), равна \(P(A) + P(B)\).
Теорема
Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: \(P(B) = 1-P(A)\).
Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима. В таком случае применяют правило нахождения геометрической вероятности .
Пусть фигура \(X\) является частью фигуры \(Y\). Тогда вероятность того, что случайно выбранная из фигуры \(Y\) точка будет принадлежать фигуре \(X\), равна P = S ( X ) S ( Y ) , где \(S(X)\) — площадь фигуры \(X\), \(S(Y)\) — площадь фигуры \(Y\).
Аналогично поступают с множествами на числовой прямой (тогда площади заменяем на длину числовых множеств) и с пространственными телами (тогда площади заменяем на объёмы пространственных тел).
в прямоугольник \(5×4\) cm 2 помещён круг радиуса \(1,5\) \(cm\). В прямоугольник случайным образом поставили одну точку. Какова вероятность того, что эта точка будет находиться внутри круга?
Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е. P = S круга S прямоугольника = π ⋅ 1,5 2 5 ⋅ 4 = 0,353 .
Рис. 1. Прямоугольник и круг
Рис. 1. Прямоугольник и круг. © ЯКласс.
Вероятность того что событие не произойдет
Пусть производится n независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых случайное событие А может либо произойти, либо не произойти. Результат каждого испытания — случайное событие, вероятность которого естественно считать независящей от результатов других бросаний. Вероятность того, что событие А состоится в каждом испытании одна и та же и равна p . Следовательно, вероятность того, что событие А не произойдет, равна 1–р. Обозначим эту величину через q =1–р. Зададимся вопросом, какова будет вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит в k из них и, соответственно, в n — k испытаниях не наступит?
Для подсчета вероятности пронумеруем испытания. Для начала найдем вероятность наступления события А в испытаниях с определенными k номерами, и ненаступления в остальных n — k испытаниях. Так как испытания независимы, то по теореме умножения вероятностей получим вероятность такого сложного события равной . Наше искомое событие, состоящее в наступлении А в любых k испытаниях из общего числа n испытаний, разбивается на вышеупомянутые сложные несовместные события, количество которых . Например, если n =4, а k =2, то такие события: AA , А А , А А, A А, АА , АА . В этих записях А обозначает наступление события, а — ненаступление . Так AA означает, что интересующее нас событие наступило в 1 и 2 испытании, а в 3 и 4 – не наступило.
По теореме сложения вероятностей для несовместных событий вероятность наступления события А в k из n испытаниях (сумма одинаковых слагаемых, каждое из которых равно ).
( 0 £ k £ n ). (5.7)
Полученная формула носит название формулы Бернулли.
Ясно, что несовместные сложные события, состоящие в появлении события А 0 раз, 1 раз, 2 раза, …, n раз в n испытаниях образуют полную группу событий. Поэтому сумма вероятностей этих событий для 0 £ k £ n равна единице:
Это соотношение можно получить, непосредственно вычислив сумму , применив формулу бинома Ньютона ( ):
Пример 5.27. Производится 6 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,7. Какова вероятность, что после этого в мишени окажется 4 пробоины? Какова вероятность поражения мишени хотя бы одним выстрелом?
Решение. Для расчета вероятности 4 попаданий из 6 выстрелов воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность попадания при одном выстреле p =0,7. q = 1– р = 0,3.
Вероятность попадания в мишень хотя бы один раз по теореме сложения равна сумме вероятностей попадания в мишень одни раз, два раза, три раза, четыре раза, пять раз и шесть раз, т.к. эти события несовместны. Каждую из этих вероятностей можно вычислить по формуле Бернулли. Но значительно проще найти искомую вероятность через вероятность противоположного события – непопадания в мишень ни разу.
Таким образом, вероятность поражения мишени хотя бы одним выстрелом 1– 0,0007 = 0,9993.
В заключение этой главы проведем аналогии между основными понятиями и операциями теории множеств, математической логики и теории вероятностей.
Теория множеств
Основной объект – множество
Математическая логика
высказывание
Теория вероятностей