Что такое невязка в математике

Численный анализ метода поточечной невязки Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕУСТОЙЧИВЫЕ ЗАДАЧИ / СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ / ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА I РОДА / НЕУСТОЙЧИВЫЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ / ILL-POSED PROBLEM / SYSTEM OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS AND INEQUALITIES WITH APPROXIMATE DATA / TYPE 1 FREDHOLM INTEGRAL EQUATIONS / ILL-POSED ELECTROTECHNICAL PROBLEMS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Иваницкий Александр Юрьевич, Урусов Андрей Михайлович

В статье рассматривается метод поточечной невязки для численного решения неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений и неравенств с приближенными данными, заданными в поточечной форме, интегральных уравнений Фредгольма I рода на классе неотрицательных искомых решений. Предлагаются эффективный алгоритм и программный продукт для численного решения некоторых неустойчивых электротехнических задач, которые могут быть сведены к указанным выше задачам.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Иваницкий Александр Юрьевич, Урусов Андрей Михайлович

Численный анализ метода поточечной невязки для решения прямой и двойственной неустойчивой задачи линейного программирования с приближёнными данными

Об одном методе регуляризации прямой и двойственной задачи линейного программирования с приближенными данными

Метод поточечной невязки для решения задач гибкого линейного программирования с приближенными данными

Об оценке константы в лемме Хоффмана
Численное решение системы интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в среде Maple
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE NUMERICAL ANALYSES OF THE POINTWISE RESIDUAL METHOD

In the article the pointwise residual method for numerical solving ill-posed systems of linear algebraic equations and inequalities with approximate data given in interval form, type 1 Fredholm integral equations for class of non-negative unknown functions is considered. The effective algorithm and software product for numerical solving some ill-posed electrotechnical problems that can be reduced to above mentioned problems are proposed.

Текст научной работы на тему «Численный анализ метода поточечной невязки»

УДК 519.6:519.852] :621.3.011.71 ББК В192.1: З211.04

А.Ю. ИВАНИЦКИЙ, А.М. УРУСОВ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДА ПОТОЧЕЧНОЙ НЕВЯЗКИ

Ключевые слова: неустойчивые задачи, система линейных алгебраических уравнений и неравенств с приближенными данными, интегральные уравнения Фредгольма Iрода, неустойчивые электротехнические задачи.

В статье рассматривается метод поточечной невязки для численного решения неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений и неравенств с приближенными данными, заданными в поточечной форме, интегральных уравнений Фредгольма Iрода на классе неотрицательных искомых решений. Предлагаются эффективный алгоритм и программный продукт для численного решения некоторых неустойчивых электротехнических задач, которые могут быть сведены к указанным выше задачам.

1. Во многих прикладных задачах, в том числе в электротехнических, естественное стремление исследователя наиболее полно отобразить в математической модели существенные моменты изучаемого процесса часто приводят к математическим задачам, в которых искомое решение должно удовлетворять априорно заданным условиям. Базой для задания таких условий служат некоторые общие представления о поведении изучаемого физического процесса, что в конечном итоге в математической постановке задачи приводит к описанию допустимого множества решений путём выделения характерных точек (экстремальных, перемен знака, кривизны и т.п.) и областей (знакоопределён-ных и т.п.). Так, например, при решении задач линейного программирования обычно в качестве множества допустимых решений рассматривают множество О = Я1″ = 0,] = 1,п>или при нахождении монотонно возрастающих решений дискретных аппроксимаций интегрального уравнения Фредгольма I рода возникает необходимость получения решений систем линейных алгебраический уравнений, принадлежащих априорно заданному множеству О = . Задание априорных условий можно характеризовать как неявное формирование модели «каркаса» этого решения, а сам метод — как математическую реконструкцию этого каркаса. Наиболее полный учёт априорной информации приводит к качественному воспроизведению искомого точного решения, а в некоторых случаях может облегчить и ускорить получение конечного решения.

Обозначим через О замкнутое множество, учитывающее априорную информацию об искомом решении. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений и неравенств

где и = [и1,и2. ип ]т £ О с Я» — искомый вектор,

f = [ff . fm]T e Ят, g = [g1,g2. gp]T e Я

К»» и К?х» — линейные пространства вещественных матриц порядка т*п и рхп, соответственно; К, К», К — вещественные линейные пространства векторов размерности п, т ир, соответственно.

Предположим, что система (1) разрешима, но, возможно, неоднозначно. Обозначим через иБ множество её решений.

Пусть вместо точных данных А ,В,/, £ известны их приближения

/ = [/1/2,./т]Т е К»,~ = [~ь~2. ~р]т е К

такие, что выполнены соотношения

где Д у, 5г-, Л у, X 5 — заданные поточечные уровни погрешностей входных данных

может оказаться неразрешимой, а в случае её разрешимости решения могут не обладать свойством устойчивости (см. примеры модельных задач в п. 3). Поэтому для решения таких задач необходимо использовать методы регуляризации [1-10]. Одним из таких методов является метод поточечной невязки, представленный ниже.

2. А.Н. Тихонов в работе [8] предложил рассматривать приближенные системы, задаваемые с помощью индивидуальной приближенной системы (3) и класса систем, эквивалентных ей по точности. В этих работах точность задания входных данных оценивается в среднеквадратической форме. Такой подход приводит к методу регуляризации, при использовании которого необходимо многократно решать нелинейную оптимизационную задачу. Рассмотренные в работе [3] методы приводят к более простым методам регуляризации, в которых надо лишь однократно решать задачу оптимизации и в некоторых случаях при соответствующем выборе множества Б — линейную оптимизационную задачу.

Определим классы матриц:

В дальнейшем считаем, что А е А, В еВ, / е Г, £ еО. Вместо индивидуальной приближенной системы (3) рассмотрим совокупность систем:

Аналогично [8] допустимым решением класса систем (5) назовём любой вектор и такой, что

и е Б: А и = /, Ви < §, ЗА е А, ЗВ е В, 3>? е Е, 3§ е С. Множество допустимых значений обозначим через иБ . Очевидно, что иБ £ иБ . Аналогично [1] можно доказать теорему:

Теорема 1. Множество иБ эквивалентно множеству

Множество иБ имеет более конструктивный вид, чем множество иБ, с точки зрения численных расчётов. Вообще говоря, множество иБ (или иБ ) имеет диаметр, стремящийся к бесконечности. Тем не менее оно может быть положено в основу метода определения устойчивых решений системы (1). Этот метод основан на решении следующей задачи минимизации [3, 4]:

где Ь е Я9*» — заданная матрица порядка дхп, ||-|| 1 — какая-либо норма в пространстве Я9. При надлежащем выборе матрицы Ь любое решение задачи (6) можно взять в качестве приближенных решений задачи (1), причем множество и. решений задачи (6) будет сходиться в определенном смысле к непустому множеству и * решений задачи

\\Ьи\\ 1 ^ ш£, и еиБ. (7)

Способ (6) отбора приближенных решений задачи (1) при поточечном задании погрешностей (2) назовём методом поточечной невязки.

Пусть выполнено условие дополнительности: существуют константы

у > 0,ai > 0,/ = 1,3,а! +а2 +а3 > 0 такие, что

где ЦУЦ1,111ц ,||| 111 — произвольные векторные нормы в пространствах Я», Я9, Я» и К, соответственно; г += (2+,2+. 2+ )т, ъ += тах, I = 1,р — срезка вектора г = [21,22. гп]т . В [3] показано, что условие дополнительности (8) эквивалентно условию

кегА п кегЬ п п КБ = , (9)

где кегА = , кегЬ = — ядра матриц А и Ь, соответственно; КБ = — замкнутый выпуклый конус с вершиной в нуле, натянутый на множество Б. Из условия (9) (или (8)) следует, что если кег Ь = 0 , то условие дополнительности выполнено всегда для произвольных матриц А, В и любого замкнутого множества Б £ Я». Например, при нахождении нормальных решений системы (1) имеем

и, следовательно, кегЬ = кегЕ = , и матрицы А и В могут быть вырожденными. В этом случае функция ||Ьи||я является стабилизатором как и в классических методах регуляризации [9]. Однако при выполнении условия (8) в поточечном методе невязки необязательно требование, чтобы \Lu\j был стабилизатором. Приведем пример.

Пример. Пусть Б = , Аи = [иь0,0]т Ьи = [0,и2,0]УиеК3. Тогда условие (8) (или (9)) выполнено при любой матрице В е Крх3. В этом случае множество Лебега Ьу = неограниченно и, следовательно, ||Ьи|| 2 не является стабилизатором.

Условие дополнительности (8) (или (9)) связывает матрицы А,В,Ь и множество Б и заключает в себе идею компенсации «плохих» сторон некоторых из этих объектов «хорошими» свойствами других. Это позволяет рассматривать широкий класс задач и методов их регуляризации с более ослабленными требованиям к матрицам А,В,Ь и множеству Б, чем в традиционных случаях, когда априорно подразумевается, что ||Ьи|> — стабилизатор.

При численной реализации метода поточечной невязки (6) достаточно определить вектор и = и(в, с) из условия

где = т£||Ьи|| о = — набор погрешностей входных данных

из (2). Пусть и,У — непустые множества и р(и, V) = 8ирт^ |и — у| |.

Сходимость метода поточечной невязки устанавливает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполнены условие дополнительности и иБ Ф 0. Тогда множество и. (в, с) векторов, удовлетворяющих условию (10), непусто и

при с —> 0, в —> 0, где и* — множество решений задачи (7).

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Эта теорема позволяет рассматривать в качестве приближённых решений задачи (7) векторы, полученные из условия (10). В следующем пункте мы рассмотрим численные реализации метода поточечной невязки (6) на модельных задачах.

3. Рассмотрим примеры неустойчивых задач, в которых стандартные методы приводят к численно неустойчивым решениям. В качестве первой модельной задачи возьмем простую задачу определения нормального решения системы двух линейных алгебраических уравнений. На этом примере легко понять суть проблемы неустойчивости и то, как «преодолевает» её метод поточечной невязки.

Модельная задача 1. Найти вектор и = [ubu2]T е Rl из условий

\4lu1 + Vl8u2 =412.

Эта система вырожденная, так как второе уравнение получается из первого умножением на число V2. Множество её решений непусто: U = Ф 0 .

Рассмотрим нормальное решение этой системы

Нетрудно проверить, если взять евклидову норму ||u|| = ||u||2 =у/uf + u|, то

нормальным решением будет вектор u* =[0.6,1.8]T, ||u,2|| = л/3.6 ; если окта-

эдрическую норму ||u|| = \u\|j = |w11 + \u2 \, то u1 = [0,2]T , ||u^| = 2 ; если чебышёв-

скую, то ||u|| = ||u|L = max и uT = [1.5,1.5]T, ||uT|| = 1.5.

Пусть k — число удерживаемых цифр после десятичной точки в л/2 = 1.41421356. VIS = 4.24264068. л/72 = 8.48528137. При этом ошибка округления не превышает величины А = 0.5 • 10 k . Попытаемся решить задачу (12)

Численное решение методом Гаусса при различных к

решение 0 1 2 3 4 5

ui 0.6 0 — — 3.000 — 0.00000

u2 1.8 2 — — 1.000 — 2.00000

с помощью стандартного математического обеспечения «GaussianEli-mination» в среде Maple2015 при различных k, например, взяв

||u||2 u2 + u2. Результаты вычислений приведены в табл. 1.

Как видно из табл. 1, при k = 1, 2, 4 задача (1) не имеет решения, а при k = 0, 3, 5 решения носят неустойчивый характер и не являются хорошим приближением к u2 =[0.6,1.8] . Округление иррациональных чисел V2,VÏ8,V72 можно интерпретировать как внесение возмущений. При этом очень мало отличающиеся друг от друга возмущения приводят к системам, решения которых существенно отличаются, или к несовместным системам. Это типичная некорректно поставленная задача. Причина такого поведения решений задачи (12) при различных k легко объясняется. Говоря геометрическим языком, каждое уравнение системы (11) представляет прямую линию на плоскости, причем эти линии совпадают.

Если же во втором уравнении (11) заменить числа и л/72

на их приближенные значения, то эти прямые могут пересекаться в одной точке, как, например, на рис. 2 при k = 0, тогда нормальным решение будет вектор и> =[ 0,2]Т , или Рис. 1. Прямые совпадают.

Нормальное решение u * = [0.6,1.8]

Рис. 2. Прямые пересекаются в одной точке и,2 = [0,2]Т

не пересекаться, как, например, на рис. 3 при к = 1, тогда задача (12) не имеет решения.

Множество решений системы (11) слишком «тонкое» (прямые линии совпадают) и при замене чисел и 772 на их приближения, т.е. при внесении ошибок округления, каким бы малым оно ни было, эта «тонкость» нарушается, и прямые пересекаются в одной точке или вовсе не пересекаются при различных к.

Теперь решим задачу (12), используя метод поточечной невязки (6) или (10), при различных к в среде Мар1е2015. Пусть в задаче (12) Б = Щ+ тогда задача (6) сводится

Рис. 3. Прямые не пересекаются

к задаче квадратичного программирования. и? + м| ^ т£, и е иБ, (13)

где иБ — множество векторов из и = [и1;и2]Т е Б, удовлетворяющих неравенствам:

(а„ — Д„ )и1 + (¿~12 -Д12 )и2 < / +-61,

(- ~11 -Д11 )И1 +(- ~12 -Д12 )и2

(~21 — Д 21 )И1 + (¿?22 — Д 22 )И2 < /2+5 2,

Численное решение задачи методом поточечной невязки

к Относительная ошибка округления элементов м*1 м*2 N12 ||м* -м*||2 |Н|2 — ||м*||2|

матрицы А вектора(

0 22% 8% 1 2 4 0 0

1 1.8% 0.7% 0.6 1.8 3.5 0.01 0.1

2 0.18% 0.07% 0.61 1.79 3.59 0.001 0.01

3 0.018% 0.007% 0.599 1.799 3.598 0.0001 0.002

4 0.0018% 0.0007% 0.6 1.7999 3.5999 0.00001 0.0001

5 0.00018% 0.0007% 0.6 1.79999 3.59999 0.000001 0.00001

6 0.000018% 0.00007% 0.6 1.799999 3.599999 0.0000001 0.000001

Пусть в задаче (13) Б = Щ+ и ||м|| = Цм^ = \щ\ + \и2\, тогда задача (6) сводится к задаче линейного программирования

м12 + м| ^ т£, и е и0, (15)

где иБ определяется системой неравенств (14). В табл. 3 приводится численное решение задачи (15) симплекс-методом в среде Мар1е2015 при различных к.

Численное решение задачи методом поточечной невязки при D = Ä+,| lull = I

к округления элементов u*1 u*2 IH^ ||u* — u* Ц1 IIM1 — ||u* Ц11

матрицы A вектора f

0 16% 8% 0 2 2 0 0

1 1.4% 0.7% 0 1.9 1.9 0.1 0.1

2 0.13% 0.07% 0 1.99 1.99 0.01 0.01

3 0.013% 0.007% 0 1.999 1.999 0.001 0.001

4 0.0014% 0.0007% 0 1.9999 1.9999 0.0001 0.0001

5 0.00014% 0.00007% 0 1.99999 1.99999 0.00001 0.00001

6 0.000015% 0.000007% 0 1.999999 1.999999 0.000001 0.000001

Из табл. 2 и 3 видно, что ~ являются хорошими приближениями к точному решению ш при увеличении числа к удерживаемых цифр после десятичной точки. При этом \\ш — и*|| = 0(10 к), т.е. метод поточечной невязки позволяет получать приближённые решения с точностью до порядка задания погрешностей входных данных системы (11): Ац = 0, Д12 = 0,5] = 0 (так как первое уравнение в системе задано точно) и А21 < 0.5 -10—к, А22 < 0.5 -10—к, 52 < 0.5 -10—к .

Заметим, что в задачах (13) и (15) допустимое множество ив (или ив ) не такое «тонкое», как в исходной задаче (12) (см. рис. 1). Так, например, при к = 0 и к = 1 множества ив изображены на рис. 4. и 5, соответственно.

Рис. 4. Допустимое множество при к =0

Рис. 5. Допустимое множество при к = 1

В методе поточечной невязки допустимое множество содержит решение

задачи (12) и2 =[0.6,1.8]т (при ||и|| = ||и||2) или Ш =[0,2]т (при ||и|| =||м|| 1), при

любом к как, например, на рис. 4 и 5, а при использовании стандартной подпрограммы «Оаш81апБНтта1;юп» множество допустимых решений может и не содержать решение задачи (12), как, например, на рис. 2 и 3.

В методе поточечной невязки устойчивость достигается за счёт поэлементного (поточечного) согласования компонент вектора невязки Ли — / с поэлементными погрешностями входных данных.

Таким образом, на этом простом примере показана проблема неустойчивости и то, как достигается устойчивость в методе поточечной невязки.

Модельная задача 2. Решить интегральное уравнение Фредгольма I рода

| K (х, s)u(s)ds = f (x), c < x < d,

/ (х) = (2 — х2) • [агс§(1 — х) + агс^(1 + х)] — 2 — х • 1п

1 + (1 — х)2 1 + (1 + х)2

Точное решение уравнения (16) — функция и (5) = 1 — 52. Подобного рода задачи относятся к «сильно» неустойчивым задачам, так как число обусловленности матрицы системы уравнений, аппроксимирующей интегральное уравнение (16), очень большое (порядка несколько тысяч) [5]. Аппроксимируем уравнение (16) на равномерных сетках х,+1 = хг + к,

хх =—2, г = 1,41, к = 0.1 и Sj+l = + кj, 5 =—1, j = 1,41, к = 0.05, используя

для интеграла формулу Симпсона. В итоге мы получим систему линейных алгебраических уравнений

где А = К • N, К = [ку > = К(xi, ) е Я41×41, N е Я41×41 — диагональная матрица квадратурной формулы с элементами Ц на диагонали или, подробнее,

/ = /[/( х ), / ( х2). /( х4,)]Т где Ц — квадратурные коэффициенты формулы Симпсона.

Если решать систему (17) методом Гаусса в среде Мар1е2015, то мы получим её приближенное решение, которое очень сильно отличается от точного решения. Результаты вычислений представлены на рис. 6. и табл. 4.

Рис. 6. Решение системы (17) методом Гаусса Решение системы (17) методом Гаусса

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Норма Погрешность решения Невязка

||и—4 2 1746.703847 2.28357990278258

||« — 41 6911.6993266410008 12.9239639973000

На рис. 6. непрерывная линия на отрезке [-1, 1] — точное решение и (5) = 1 — 52 и пилообразная кривая, полученная методом Гаусса. Пилообраз-ность приближенного решения настолько велика, что точное решение в данном масштабе выглядит как вертикальный отрезок О1О2. Из табл. 4 видно, что погрешность аппроксимации точного решения приближённым очень велика — порядка 0(103).

Далее приведём численное решение уравнения (16), точнее его дискретного аналога (17), методом поточечной невязки (6) для двух случаев:

1) на классе неотрицательных функций и(5) > 0;

2) на классе неотрицательных (и (5) > 0), монотонных (— > 0,5 е [—1;0] и

Поскольку в методе поточечной невязки матрицу Ь мы выбираем сами, в задаче (6) возьмем Ь = Е (Е — единичная матрица). Как отмечалось ранее, тогда условие дополнительности (8) выполнено. В первом случае метод приводит к оптимизационной задаче:

ся по формулам (18)). Во втором случае получим следующую задачу:

где иБ = и+ о Б, и+ такое же множество, что и в задаче (19), а Б определяется дискретными аналогами монотонности

и>-+! — и у > 0, у = 1, 20,

иу + ] — иу и у — и у — ]

Погрешности А у и 8г определим следующим образом:

Лгу = %у\ «10—к , 5г = |Пг | «10—к ,

где и цг, г = 1,41, у = 1,41 — равномерно распределенные случайные числа на отрезке [-1; 1], полученные с помощью стандартной программы «Яап-ёотТоо^ишйэгт)» в среде Мар1е2015, к = 1,6.

Численные расчеты приведены для различных норм Ци|| 1. В задачах (19) и (20) ограничения в множестве иБ являются линейными алгебраическими неравенствами. Следовательно, при норме ||и|| 1 = ||и|| 1 = + |и2| +.. + |и41|, и е Я+1 мы вместо (19) имеем задачу линейного программирования

их + и2 +.. + и41 ^ т^ и е и+, (21)

u1 + u 2 +.. + u 41 ^ inf, u е UD. (22)

Если lUHj =||u||2 = д/u\ + u2 +.. + , то будем иметь задачу квадратичного программирования.

Ниже приведена программа для численного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода в среде Maple2015.

Формируется матрица A и вектор f

N — матрица коэффициентов квадратурной формулы. f = f ()

MatrixK[i,j] ■■= evalf(K(x[г ], y[j])) end do end do: MatrixN ■= Matri:c(41,41) : VectorF ■= Vector[A\) :

for i from 1 to 41 do VectorF[ i] := evalf

Формируется множество U* MnewPL ■■= evalm(multiply(MatrK, MatrN) — Д) : MnewPR ■= evalm(VectF + 8) : MnewML := evalm( — multiply (MatrK, MatrN) — A) : MnewMR ■= evalm (- VectF + 5) : newPlusLeft ■= evalm

Неотрицательность (как опция пакета «Optimization»), монотонность и выпуклость множества U* MatrB := Matrix

for г from 1 to 40 do for j from 1 to 41 do

iff + 1 =j > 20 then MatrB[i,j] ■■= 1 end if end do end do; for i from 1 to 40 do for j from 1 to 40 do

if г = / > 19 then MatrB\i, /1 :=-1 end if end do end do;

MatrA3 ■= Matrix(4l -2+ (41 — 1), 41) :

for г from 1 to 2-41 + (41 — 1) do forj from 1 to 41 do

if; < 41 tbenMatrA3[i,j] ■= MnewPL[i,j] elif2-41 >i > 41 thenMatrA3[i,j] ■= MnewML[i-A\,j] elif i > 2-41 then MatrA3[i,j] ~ MatrB[i — 2-41, j] end if end do end do;

if г < 41 then Vect3[ i] ■= MnewPR[ i] elif i >41 then Vect3[ j] := MnewMR[ i — 41 ] end if end do;

MatrBdop ■= Matrix(Ъ9, 41) :

for г from 1 to 39 do for j from 1 to 41 do

if i =j then MatrBdop [ i, j] ■■= 1 elif / j then MatrBdop [ i, j] ■■= 0 end if end do end do; for 2 from 1 to 39 do for j from 1 to 41 do

if г + 1 =j then MatrBdop [i,j] -=-2 end if end do end do; for г from 1 to 39 do for j from 1 to 41 do

if г + 2 =j then MatrBdop [ i,j] •■= 1 end if end do end do;

MatrA4 ~Matrix(41-2 + (41 — 1) + (41 -2), 41) :

for г from 1 to 2-41 + (41 — 1) + (41 -2) do for j from 1 to 41 do

if / < 41 then MatrA4[i,j] := MnewPL[i,j] elif 2-41 >г > 41 then MatrA4[i,j] := MnewML[i — 41, j] elif41 -2 + (41 — 1) > г > 2-41 thenMatrA4[i, j] := MatrB[i — 2-41, j] eUf г > 41 -2 + (41 — 1) then MatrA4[i,j] ■= MatrBdop[i — (41-2 + (41 — 1))J] end if end do end do;

if 2 < 41 then Vect4[ г] := MnewPR[ 2] elif г >41 then Vect4[ 2] := MnewMR[ 2 — 41 ] end if end do;

Формируется целевая функция

Решение оптимизационной задачи симплекс-методом: c:=Vector( 41, 1) : Ъ ■= Vect2 : А ■= MatrA2;

Решение оптимизационной задачи методом квадратичной интерполяции: H-=Matrix< 41,41) : for 2 from 1 to 41 do for j from 1 to 41 do

if2=ythen#[2,y’] := 2 elif г =tj then H[ г, j] ■= 0 end if end do end do;

Resh21Evkl •= QPSolve(H, [A, b], assume = nonnegative) QPSolve

Из табл. 5 и 6 видно, что метод поточечной невязки с априорными условиями неотрицательности, монотонности и выпуклости для норм

||и11/ =[£к/|к 1 при к =1, 2, 3, 6 (23)

даёт достаточно хорошо приближения, лучше получаются результаты, если в (23) взять к > 3. Если же использовать только условие неотрицательности искомого решения, то сходимость метода поточечной невязки медленнее, а для случая Щ/ =||| 1 и использования симплекс-метода для решения задачи

(21) процесс сходимости нестабилен. Хотя во всех случаях и для всех указанных норм невязки одного порядка.

Метод поточечной невязки для решения интегрального уравнения Фредгольма I рода на классе неотрицательных функций

Погрешность, невязка к

||и — Щ 1 28.3 28.28 30.730 29.8527 28.43555 31.487009

||и — Щ |2 2.9 1.72 1.517 1.4663 1.46029 1.460577

||и — Щ |3 1.7 0.99 0.544 0.4784 0.47227 0.470788

||и — Щ |6 1.0 0.69 0.294 0.2313 0.38314 0.125339

\\А ~ — Д 15.3 2.57 0.358 0.0362 0.00382 0.000366

А — А 2.7 0.30 0.056 0.0058 0.00061 0.000063

И ~ — А|3 1.6 0.19 0.033 0.0031 0.00029 0.000037

0.9 0.13 0.021 0.0019 0.00020 0.000021

Таблица 6 Метод поточечной невязки для решения интегрального уравнения Фредгольма I рода на классе неотрицательных, монотонных и выпуклых функций

Погрешность, невязка к

||и — Щ 1 14.8 3.87 1.200 1.1085 1.07635 0.533931

||~ — Щ|2 2.8 1.12 0.527 0.1851 0.04483 0.015261

||и — Щ |3 1.7 0.88 0.291 0.0411 0.02543 0.016688

||и — Щ |6 1.0 0.68 0.205 0.08909 0.03801 0.029991

11-5« — / II J 1 16.3 2.97 0.411 0.0424 0.00316 0.0004005

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

A — 4 2.7 0.33 0.063 0.0064 0.00068 0.000070

A -/|3 1.6 0.20 0.035 0.0034 0.00035 0.000036

— /| L 0.9 0.14 0.021 0.0021 0.00022 0.000021

Далее на рис. 7-10 представлены графики точного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода и приближенного решения с условием только неотрицательность искомого решения (задача (19)) и с условиями неотрицательности, монотонности и выпуклости (задача (20)) искомого решения при различных нормах.

С условием неотрицательности, С условием неотрицательности монотонности и выпуклости

\\ЛИ — /|[ = 15.3 ||и — иI = 28.4

Рис. 7. Решение задачи (19) и (20) при ^ = Е, А у =|У-10-1,8, =|л -10-1.

Рис. 9. Решение задачи (19) и (20) при Ь = Е, Ау =У-10-3,8 у =|л -10-

||Ли -/12 = 0.000063 ||Ли — /12 = 0.00007

||и — й\\2 = 1.460577 ||и — й\\2 = 0.015261

Рис. 10. Решение задачи (19) и (20) при Ь = Е, А у =% у\-10 -6,8 у =|Л у|-10 -6.

Таким образом, анализ результатов расчётов показывает, что учёт дополнительной информации позволяет получать вполне удовлетворительные приближённые решения.

1. Алексеев Б.В., Иваницкий А.Ю. О реализующей системе // Численный анализ: методы, алгоритмы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. С. 135-143.

2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 415 с.

3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю., Морозов В.А. Метод поточечной невязки для некоторых задач линейной алгебры и линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 7. С. 1140-1152.

4. Иваницкий А.Ю. Устойчивые методы решения систем линейных уравнений и неравенств с интервальными коэффициентами: дис. . канд. физ.-матем. наук. М., 1988. 133 с.

5. ЛеоновА.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. М.: URSS, 2009. 326 c.

6. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. Алгоритмический аспект. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.

7. Морозов В.А.. Медведев Н.В.. Иваницкий А.Ю. Регуляризация задач алгебры и анализа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 80 с.

8. Тихонов А.Н. О приближенных системах линейных алгебраических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980, Т. 20, № 6, С. 1373-1383.

9. ТихоновА.Н.. АрсенинВ.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 284 с.

10. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-Depth Analyses of Linear Programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2001, 312 p.

ИВАНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ — кандидат физико-математических наук, профессор, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (ivanitskiy@hotmail.com).

УРУСОВ АНДРЕЙ МИХАИЛОВИЧ — бакалавр кафедры прикладной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (tapwi93@gmail.com).

A. IVANITSKIY, A. URUSOV

THE NUMERICAL ANALYSES OF THE POINTWISE RESIDUAL METHOD

Key words: ill-posed problem, system of linear algebraic equations and inequalities with approximate data, type 1 Fredholm integral equations, ill-posed electrotechnical problems.

In the article the pointwise residual method for numerical solving ill-posed systems of linear algebraic equations and inequalities with approximate data given in interval form, type 1 Fredholm integral equations for class of non-negative unknown functions is considered. The effective algorithm and software product for numerical solving some ill-posed electrotech-nical problems that can be reduced to above mentioned problems are proposed.

1. Alekse’ev B.V., Ivanitskiy A.Yu. O realizu’ushchey sisteme [About a realizing system]. In: Chislennyi analiz: metody, algoritmy i prilozheniya [Numerical analyses: methods, algorithms and applications]. Moscow, Moscow University Publ., 1985, pp. 135-143.

2. Vasil’ev F.P. Metody optimizatsii [Methods for Optimizations]. Moscow, Faktorial Press Publ., 2002, 415 p.

3. Vasil’ev F.P., Ivanitskiy A.Yu., Morozov V.A. Metodpotochechnoi nevyazki dlya nekotorykh za-dach lineinoi algebry i lineinogo programmirovaniya [Pointwise Residual Method for Solving Some Problems of Linear Algebra and Linear Programming]. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1998, vol. 38, no. 7, pp. 1140-1152.

4. Ivanitskiy A.Yu. Ustoichivye metody resheniya system lineynykh uravneniy i neravenstv s in-terval’nymi koeffitsi’entami: dis. . kand. fiz.-matem. nauk [Stable methods for solving systems of linear equations and inequalities with interval coefficients. Doct. Diss.]. Moscow, Moscow University Publ., 1988, 133 p.

5. Leonov A.S. Resheniye nekorrectno postavlennykh obratnykh zadach [Solving of Ill-Posed Inverse Problems]. Moscow, URSS Publ., 2009, 326 p.

6. Morozov V.A., Grebennikov A.I. Metody resheniya nekorrektno postavlennych zadach. Al-goritmicheskiy aspect [Methods for solving ill-posed problems. Algorithmic aspect]. Moscow, Moscow University Publ., 1992.

7. Morozov V.A., Medvedev N.V., Ivanitskiy A.Yu. Regulyarizatsiya zadach algebry i analiza [Regularization of Algebra and Analysis Problems]. Moscow, Moscow University Publ., 1987, 80 p.

8. Tikhonov A.N. Oproblizhennych sistemakh lineynykh algebraicheskikh uravneniy [About approximate systems of linear algebraic equations]. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1980, vol. 20, no. 6, pp. 1373-1383.

9. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for Solving Ill-Posed Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 284 p.

10. Vasilyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-Depth Analyses of Linear Programming. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2001, 312 p.

IVANITSKIY ALEXANDER — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Applied Mathematics, Physics and Information Technology, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

URUSOV ANDREY — Bachelor Student of Department of Applied Mathematics and Informatics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

Ссылка на статью: Иваницкий А.Ю., Урусов А.М. Численный анализ метода поточечной невязки // Вестник Чувашского университета. — 2016. — № 1. — С. 127-144.

Значение слова «невязка»

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

• Невязка — ошибка (погрешность) вычислений.

Пусть требуется найти такое x, что значение функции:

Подставив приближенное значение x0 вместо x, получается невязка

а ошибка в этом случае равна

• НЕВЯ’ЗКА, и, ж.1. Несхождение линий в чертеже вследствие допущенных ошибок (спец.). 2. Отсутствие связи, согласованности в чем-н. Н. в работе. У Руссо много предрассудков, много внутренней невязки, внутренних противоречий. Лнчрскй.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

невя́зка

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: калориферный — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Нейтральное
Положительное
Отрицательное

Синонимы к слову «невязка&raquo

Предложения со словом «невязка&raquo

• Навигационная невязка составила 34 мили.

Понятия, связанные со словом «невязка»

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

В математике индекс точки или порядок точки относительно замкнутой кривой на плоскости — это целое число, представляющее число полных оборотов, которое делает кривая вокруг заданной точки против часовой стрелки. Иногда говорят о порядке кривой относительно точки. Индекс зависит от ориентации кривой и принимает отрицательное значение, если обход кривой происходит по часовой стрелке.

Алгоритм Гаусса — Ньютона используется для решения задач нелинейным методом наименьших квадратов. Алгоритм является модификацией метода Ньютона для нахождения минимума функции. В отличие от метода Ньютона, алгоритм Гаусса — Ньютона может быть использован только для минимизации суммы квадратов, но его преимущество в том, что метод не требует вычисления вторых производных, что может оказаться существенной трудностью.

Обобщённые координаты — параметры, описывающие конфигурацию динамической системы относительно некоторой эталонной конфигурации в аналитической механике, а конкретно исследовании динамики твёрдых тел в системе многих тел. Эти параметры должны однозначно определять конфигурацию системы относительно эталонной конфигурации. Обобщённые скорости — производные по времени обобщённых координат системы.

Отправить комментарий

Дополнительно

• Как правильно пишется слово «невязка»
• Склонение существительного «невязка» (изменение по числам и падежам)
• Разбор по составу слова «невязка» (морфемный разбор)
• Definition of «discrepancy&raquo at WordTools.ai (английский язык)