Как решать систему уравнений
При помощи уравнений можно описать любые процессы — даже те, что происходят в природе. Метод не самый легкий, но зато универсальный: щелкать с ними задачки можно на раз, два.
· Обновлено 8 августа 2023
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
- Дать переменной �� конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
- Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
- Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
- Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
- Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
- Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
- Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
- Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
- Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Решим систему уравнений методом подстановки
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
- Решите систему уравнений: x − y = 4
x + 2y = 10 - Выразим x из первого уравнения: x − y = 4
x = 4 + y - Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x: x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10 - Решим второе уравнение относительно переменной y: 4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2 - Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение: x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
- Решите систему линейных уравнений: x + 5y = 7
3x = 4 + 2y - Сначала выразим переменную x из первого уравнения: x + 5y = 7
x = 7 − 5y - Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение: 3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y - Решим второе линейное уравнение в системе: 3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1 - Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x: x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
- Решите систему линейных уравнений: x − 2y = 3
5x + y = 4 - Из первого уравнения выразим x: x − 2y = 3
x = 3 + 2y - Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его: 5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1 - Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его: x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
- При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
- Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
- Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
- Находим соответствующие значения второй переменной.
- Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Пример.
Домножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:
Сложим уравнения, получим
Отсюда y = -3, а, значит, x = 2
Ответ: (2; -3).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
- ax + by + cz = d
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
- 5x − 8y = 4x − 9y + 3
- 5x − 8y − 4x + 9y = 3
- x + y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
- Выразить у из первого уравнения:
- Подставить полученное выражение во второе уравнение:
- Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.
В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.
Решить дифференциальное уравнение
Решение: что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь нужно проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.
В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т. д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .
Возникает вопрос – как же решить этот диффур?
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем:
Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным.
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:
Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
и обе части делим на эту самую лямбду:
В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.
Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:
, почти всегда пишут коротко:
Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:
Подставляем и в исходное уравнение :
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, .
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.
Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: .
Таким образом:
Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:
Переменные разделены, интегрируем:
Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка, константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае:
В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.
Ответ: общий интеграл:
Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?
В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и корявым.
Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла:
– ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато.
Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка, но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!):
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:
Полученный ответ можно проверить. Для этого его нужно продифференцировать, то есть найти производную от функции, заданной неявно:
Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.
Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!
Следующий пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий:
Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл.
Ответ записать в виде , выполнить проверку.
. Тут тоже получилась довольно простенькая проверка.
А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы,
выделю жирными чёрными буквами:
Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель с переменной в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения!
И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т. к. не удовлетворяет исходному диффуру.
Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при .
И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто 😉 «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью.
Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примерах 1-2 «сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть и , а посему сразу понятно, что не может быть решением. Кроме того, в Примере 2 в знаменателе оказался , и здесь мы рисковали потерять функцию , которая, очевидно, удовлетворяет уравнению . Однако, и тут «пронесло», т. к. она вошла в общий интеграл при нулевом значении константы.
Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они:
Решить дифференциальное уравнение
Не правда ли простой пример? 😉
Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные. Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие!
После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции:
Первая функция, очевидно, является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную в наш диффур:
– получено верное равенство, значит, функция тоже является решением.
И эти решения мы рискуем потерять.
Кроме того, в знаменателе оказался «икс», и поэтому обязательно проверяем, не является ли решением исходного дифференциального уравнения. Нет, не является.
Берём всё это на заметку и продолжаем:
Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Перед обратной заменой максимально упрощаем общий интеграл. Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2:
Константу я переобозначу через :
(если этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные уравнения первого порядка)
Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы:
И вот только теперь обратная замена :
Умножим все слагаемые на :
Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе:
Проверка. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:)
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Для самостоятельного решения:
Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
Общий интеграл проверить дифференцированием.
Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим ещё пару типовых примеров:
Решить дифференциальное уравнение
Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется). Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …».
. замену , и идём проторенной дорогой:
С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители: , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:
Упрощать тут нечего, а посему обратная замена :
Ответ: общий интеграл:
Следующий пример для самостоятельного решения:
Решить дифференциальное уравнение
. Казалось бы похожие уравнения, ан нет – Большая разница 😉
И сейчас начинается самое интересное! Сначала разберёмся, как быть, если однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами:
Решить дифференциальное уравнение
Это очень интересный пример, прямо целый триллер!
Решение: если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой:
Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на :
И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение:
Данное равенство справедливо, если , то есть при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению .
Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили».
Продолжаем решение стандартной заменой :
:
После подстановки максимально упрощаем уравнение:
И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как , то это функции:
Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную :
– получено верное равенство, значит, функция тоже является решением дифференциального уравнения.
И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти
Берём это на заметку и интегрируем обе части:
Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов:
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
– так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.
Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить:
И обратная замена :
Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т. к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу.
Ответ: общий интеграл: . Ещё решения:
Здесь не так трудно выразить общее решение:
, но это уже понты.
Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:
и подставим в левую часть уравнения:
– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.
Теперь квест с корнями, это тоже распространенный и очень коварный случай:
Решить дифференциальное уравнение
Решение: устно убеждаемся, что уравнение однородно и подставляем первую любовь , в исходное уравнение:
И опасность нас поджидает уже тут. Дело в том, что , и этот факт очень легко упустить из виду:
Теперь раскрываем модуль, в результате чего получаются две ветки решения:
, если , и
, если .
Обе ветки удобно записать единым уравнением, при этом возможны следующие варианты оформления:
, где «сигнум икс» – специальная функция, которая возвращает знак «икс»: , пользуйтесь смело, это известная функция.
Второй способ более привычен, выберу его в качестве рабочего варианта:
, но здесь ОБЯЗАТЕЛЬНО нужен комментарий о том, что знак «+» соответствует случаю , а знак «–» – случаю .
Внимание! Функцию или знаки «отрывать» от корня нельзя! Это может закончиться фатальной ошибкой. Поэтому при разделении переменных знаки мигрируют вместе с корнем в левую часть:
(контролируем, что – не решение)
навешиваем интегралы:
и сейчас вторая новинка, на этот раз по теме «Интегралы». Интеграл , как многие помнят, равен табличному «длинному» логарифму , а интеграл от не только тому же логарифму со знаком «минус», но и его «собрату»: . Желающие могут проверить этот факт дифференцированием.
И в нашем случае общий интеграл удобно записать так:
Упаковываем логарифмы правой части:
…возможно, у некоторых возник вопрос, почему я иногда вдруг убираю модуль под логарифмом? Причина проста – выражение под знаком логарифма, в данном случае , положительно, а значит, модуль записывать не обязательно.
и вот только теперь обратная замена :
Под корнем приведём слагаемые к общему знаменателю:
и небольшое чудо: поскольку , то в результате раскрытия модуля у нас появляются те же два случая со знаками :
после чего «минусы» сокращаются:
Таким образом, потеря второй ветки решения () нам бы здесь тоже «сошла с рук», но так, разумеется, бывает не всегда, и эту ветку можно реально потерять.
И заключительный штрих, сбрасываем на нижний этаж левой части:
Ответ: общий интеграл:
Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придете к такому маньяку. Да, попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся.
И в заключение урока своего рода экзаменационный пример:
Решить дифференциальное уравнение
Проконтролируйте, всё ли вы правильно поняли, всё ли учли.
Итак:
при неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то, деление на что-то, вынесение из-под корня / внесение под корень. Так, например, при делении на нужно проверить, не являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на надобность такой проверки отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.
Если проводится замена и есть квадратный корень, то легче лёгкого потерять одну из веток решения, поэтому не забываем про модуль: , и далее сохраняем знаки при корне, несоблюдение этого правила может привести к ошибочному ответу.
Вот ещё одна опасная ситуация:
Здесь, избавляясь от , следует проверить, не является ли решением исходного ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и сокращая на них, мы теряем функции , которые могут оказаться решениями.
С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении можно не беспокоиться о функции , так как она изначально «заявлена» в знаменателе.
Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда, задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко (уж не знаю, почему). Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным, которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения.
Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) ещё успею вас замучить я хочу вас видеть свежими и оптимистичными!
Решения и ответы:
Пример 2. Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо подставим , а вместо подставим :
В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Проведем замену:
Подставим и в исходное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Перед обратной заменой результат целесообразно упростить:
Ответ: общий интеграл:
Проверка: дифференцируем ответ:
умножаем обе части на :
и делим на :
– получено исходное ДУ, значит, общий интеграл найден верно.
Пример 4. Решение: проверим уравнение на однородность:
Таким образом, данное уравнение является однородным.
Проведем замену:
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Разделяем переменные и интегрируем:
Контроль:
– не является решением уравнения ,
а вот , очевидно, является.
Интегрируем:
и перед обратной заменой записываем уравнение как можно компактнее:
Проведём обратную замену :
Решение в общий интеграл не вошло, и поэтому его следует дополнительно прописать в ответе:
общий интеграл: . Ещё одно решение:
Проверка:
– в результате получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Пример 6. Решение: данное ДУ является однородным, проведем замену :
Контроль: не является решением, а вот трёхчлен раскладывается на множители: , и поэтому в поле нашего пристального внимания попадают две функции:
Обе функции являются корнями ДУ (проверьте самостоятельно), и в результате деления мы рискуем потерять эти решения!
Берём их на заметку и продолжаем:
Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:
Получившийся общий интеграл упрощаем:
И после упрощений выполняем обратную замену :
На последнем рубеже вспоминаем о «потеряшках»: функция вошла в общий интеграл (при ), однако – НЕ вошла, и поэтому её необходимо приписать дополнительно:
Ответ: общий интеграл: . Еще одно решение:
Пример 9. Решение: разделим обе части на :
! является решением исходного уравнения.
Данное уравнение является однородным, проведем замену :
Разделяем переменные, при этом функцию следует обязательно оставить при корне:
(поскольку , если )
Контроль: оказался в знаменателе, а значит, проверке подлежит функция . Подставляем её вместе с её производной в исходное уравнение:
– получено верное равенство, значит, – это одно из решений ДУ.
Решение не вошло в общий интеграл, и поэтому его следует дополнительно указать в ответе.
Ответ: общий интеграл: , ещё решения: .
Примечание: если по условию требуется найти частное решение, например, с начальным условием , то следует выбрать нужную ветку: (т. к. «икс» равно ) и выполнить подстановку: – искомый частный интеграл.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Выберите уравнения при решении которых используется деление
Расскажем, почему тема даётся сложно и как её понять
Время чтения:
Алёна Хромова
Учитель начальных классов, дефектолог
Уравнение — это математическое равенство, в котором одно или несколько неизвестных.
Уравнения — это одна из сложных тем в начальной школе, обычно их изучают во втором классе. Дети не понимают, зачем число заменять буквой и как искать её значение. Ребятам будет проще освоить эту тему, если они:
- хорошо разбираются в составе чисел;
- знают все обратные действия (сложение — вычитание, умножение — деление);
- помнят компоненты всех математических операций.
Виды уравнений
Уравнения можно разделить на два вида: алгебраические и трансцендентные. В основной школе изучают только алгебраические, где используются четыре основные математические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. В вузе или школе с углублённым изучением математики рассматривают трансцендентные с неалгебраическими функциями, например тригонометрическими, логарифмическими.
Алгебраические уравнения разделяют на три подвида:
- целые,
- дробные,
- иррациональные с корнями.
Корень уравнения — число, которое при подстановке вместо неизвестного, то есть х, обращает уравнение в верное числовое равенство. Корень — это и есть решение.
Лайфхак для понимания уравнений
Ребёнку кажутся сложными уравнения, но, если использовать простые числа, можно облегчить задачу. Например, 933 : х = 311.
Ребёнок теряется и не понимает, как искать неизвестное. Тогда можно подставить простые числа: 6 : 2 = 3. Закрываем пальцем 2, потому что в исходном уравнении неизвестен делитель. Уточняем у школьника, как найти закрытое число. На однозначных числах он легко сообразит, что 6 нужно разделить на 3. Тогда и в исходном уравнении станет очевидно, что 933 нужно разделить на 311, так ребёнок узнает, что х = 3.
Памятка для решения простых уравнений
- Прочитать уравнение.
Например, 10 + х = 14.
- Назвать, что известно, а что нет.
Например, известны первое слагаемое 10 и сумма 14, неизвестно второе слагаемое.
- Вспомнить правило нахождения неизвестного числа.
Например, чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. х = 14 – 10.
- Сделать проверку.
Дети, которые хорошо разбираются в составе числа, легче понимают уравнения на сложение и вычитание. Они раскладывают 14 на 10 и неизвестное число и понимают, что не хватает 4.
Памятка для решения сложных уравнений
Чтобы объяснить ребёнку уравнение со скобками, понадобится несколько добавочных действий.
- Прочитать уравнение.
Например, 7 × 9 = (23 – 20)х
- Упростить уравнение
Например, 63 = 3 × х
- Назвать, что известно, а что нет.
Например, известны произведение и множитель, нужно найти второй множитель.
- Вспомнить правило нахождения неизвестного числа.
Например, чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. 63 : 3 = 21.
- Сделать проверку.
7 × 9 = (23 – 20)х
63 = 3 × 21
63 = 63
Игры
Ребёнку проще усваивать сложные темы в игре.
Прятки
Нужно распечатать множество уравнений, на обратной стороне которых написан верный ответ. Задача ребёнка — решить уравнение, а потом проверить себя.
Палитра уравнений
На палитре каждый кружок — это уравнение, а цвета — ответы. Задача ребёнка — решить все уравнения и собрать полноценную палитру. Такую палитру можно распечатать или нарисовать, а цвета вырезать.
Бесплатный доступ к занятиям в Домашней школе
Вы получите записи уроков по нескольким предметам, познакомитесь с учителями и попробуете решить домашнее задание
Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений
Предпраздничные новогодние дни предвещают зачеты и экзамены, поэтому в срочном порядке я решил порадовать читателей еще одним уроком по теме Дифференциальные уравнения первого порядка. Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт решения дифференциальных уравнений первого порядка, в особенности, следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях вида .
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:
Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.
Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»: .
Если или , то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать.
Целая степень может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того, может быть обыкновенной дробью, например .
Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах. Волком:
Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж , который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень.
Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если ) является решение: . Действительно, если найти и подставить в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Как отмечалось в статье об однородных уравнениях, если по условию требуется найти только частное решение, то функция по понятной причине нас не морозит, но вот когда требуется найти общее решение/интеграл, то необходимо проследить, чтобы эту функцию не потерять!
Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой.
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
,
Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе с задачей Коши. Это не случайность. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в двух уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае.
Решение: данный диффур имеет вид , а значит, является уравнением Бернулли
Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?
Алгоритм достаточно прост и незамысловат.
На первом шаге нужно избавиться от «игрека» в правой части. Для этого сбрасываем в низ левой части и проводим почленное деление:
Далее необходимо избавиться от игрека вот в этом слагаемом:
Для этого проводим замену: , то есть меняем дробь с «игреком» на букву «зет».
Находим производную:
.
Если данное действие не понятно, пожалуйста, посмотрите первый параграф урока Производные неявной и параметрически заданной функций.
Смотрим на первое слагаемое:
И что-то подсказывает, что нужно заменить .
Это легко: если , то
Таким образом, в результате проведенной замены уравнение превращается в уравнение:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. С той лишь разницей, что вместо привычного «игрека» у нас буква «зет».
Вывод: уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка
Я сменю у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли:
Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим найденную функцию во второе уравнение системы:
Подобные интегралы я ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать.
Данный интеграл берётся по частям:
Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала.
Но это ещё не всё, выполняем обратную замену:
Если изначально было , то обратно будет
В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли:
Тривиальное решение потерялось (это произошло в самом начале при делении на ) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и общее решение, то его следовало бы дополнить функцией ). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию :
Ответ: частное решение:
Для мастодонтов дифференциального исчисления вкратце напоминаю алгоритм проверки дифференциального уравнения:
1) проверяем, выполнено ли начальное условие;
2) берём ответ и находим производную ;
3) подставляем ответ и найденную производную в исходное ДУ – должно получиться верное равенство.
Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку.
Когда я подбирал первый пример для этой статьи, то очень хотелось разобрать распространенное уравнение Бернулли в духе , однако сразу же после замены оно становится до неприличия похоже на Пример 8 урока неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Поэтому пусть лучше будет что-нибудь необычное.
Но, вы не расстраивайтесь, вот пара более простых примеров для самостоятельного решения:
Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию
Найти решение задачи Коши
,
Полные решения и ответы в конце урока.
В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде: .
Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например:
Как говорится, сиди студент и разгадывай ребус – какого хрена типа этот диффур. То ли уравнение с разделяющимися переменными, то ли уравнение в полных дифференциалах, то ли еще какое-нибудь уравнение.
Интереснейшая задача и новая информация, о которой я до сих пор не рассказывал:
Найти решение ДУ , соответствующее начальному условию
Корни, куда же без них.
Решение: пожалуйста, классический вид уравнения Бернулли.
По условию требуется решить только задачу Коши, поэтому ось абсцисс снова идёт лесом.
Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на :
Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом:
Из вышесказанного следует замена:
Найдем производную:
, откуда выразим:
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
Составим и решим систему: .
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом: и в результате обратной замены получаем общий интеграл , из которого легко выразить общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию :
…Вот тебе и раз! Уравнение имеет два корня и в результате получаются… два частных решения? Нет. Когда мы выражали общее решение, то выполнили возведение в квадрат, из-за чего у нас появился посторонний корень. Поэтому начальное условие лучше подставить непосредственно в общий интеграл :
– и помещаем этот ноль уже в общее решение :
Легко видеть, что значению соответствует частный интеграл , и он не удовлетворяет начальному условию .
Вот так-то оно бывает! – в статье об однородных уравнениях мы рассмотрели случаи потери решений, а оказывается, «решение» можно ещё и «приобрести».
Ответ: частное решение – проверку выполните самостоятельно, она тут устная.
И сейчас ещё один любопытный факт. Семейство кривых (общий интеграл ДУ) располагается в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в каждой её точке. Образно говоря, множество графиков (при всех действительных значениях константы) своими точками касания порождает решение , которое, как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло.
Такое необычное решение называют особым решением дифференциального уравнения.
В общем случае особое решение тоже представляет собой кривую, которая огибает «основное семейство», но в рассмотренном примере оно – есть прямая, которая ассоциируется с «подставкой» под графики функций .
Конец факта. И начало следующих 🙂
Возможно, некоторые удивились, почему я ничего не рассказал про математика Бернулли. Забыл. Не будем нарушать традиций. Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на пяти языках. В семье Бернулли 9 (!) математиков, причём у некоторых представителей династии есть серьёзные достижения и в области физики. …Пожалуй, этой информации будет достаточно, а то мне в голову стал приходить крайне неэтичный юмор в духе «Якоб, Иоганн – какая студенту разница?» =) …Походил немного по комнате, посмеялся, продолжаю:
Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.
Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только общее решение. Полное решение и ответ в конце урока.
Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с «игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: данное ДУ является уравнением Бернулли.
Очевидно, что является решением этого уравнения.
И только после этой оговорки делим обе части на :
Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем замену:
Получено линейное уравнение, проведем замену:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Проведём обратную замену: если изначально , то обратно:
В принципе, здесь можно выразить общее решение в виде:
, но, согласитесь, смотрится не очень…, словно Дедушка Мороз подсунул в подарок гнилую мандаринку. Эта фишка уже рассматривалась мной на уроке Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Нет-нет, испорченные продукты питания никому не предлагал =)
Лично я в похожей ситуации почти всегда склоняюсь к тому, чтобы оставить ответ в виде общего интеграла (заодно париться не нужно).
Ответ: общий интеграл: . Ещё одно решение:
Перед кремлёвским салютом рассмотрим заключительный пример с отрицательной степенью.
Найти частное решение дифференциального уравнения
,
Это пример для самостоятельного решения.
Ну вот, мешок с подарками пуст, надеюсь все остались довольны. Хотя, честно, Новый Год не люблю, сегодня вычитал на Анекдоте.ру меткий афоризм: 10 дней праздников обычно проводишь либо без всякой пользы либо с большим вредом.
Отличной вам сессии!
Решения и ответы:
Пример 2. Решение: данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение.
Проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, замена: .
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Красиво.
Пример 3. Решение:
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли, разделим обе части на :
Проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Пример 5. Решение: данное уравнение является уравнением Бернулли.
Очевидно, что является решением данного уравнения.
Замена:
В полученном линейном неоднородном уравнении, проведем замену:
Решим систему: .
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Общее решение:
Обратная замена:
Ответ: общее решение ; ещё одно решение:
Пример 7. Решение:
Данное ДУ является уравнением Бернулли.
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Частное решение, соответствующее начальному условию , можно найти прямо из общего интеграла . Для этого вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» – единицу:
Таким образом, частное решение:
Частное решение также выясняется и более «привычным» способом через общее решение .
Ответ: частное решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено