1.6.2. Зависимые и независимые события
События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления / непоявления остальных событий рассматриваемого множества событий (во всех возможных комбинациях).
Так, например, при подбрасывании двух или бОльшего количества монет вероятность выпадения орла или решки на любой монете не зависит от того, что выпадет на других монетах. Вероятности выпадения граней кубика во 2-м испытании не зависят от того, какая грань выпала в 1-м испытании.
Теперь более любопытная ситуация. Событие называют зависимым, если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли.
Например: – из неполной колоды игроку будет сдана карта червовой масти. Вероятность этого события зависит от того, какие карты уже были извлечены из колоды.
И, конечно, близкий многим пример:
– на экзамене студенту достанется простой билет.
Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность зависит от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.
Как определить зависимость / независимость событий?
Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.
Чтобы не валить всё в одну кучу, начнём с независимых событий:
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.
1. Независимые события. Умножение вероятностей
События \(A\) и \(B\) являются независимыми , если вероятность наступления одного из них не изменяется при наступлении другого.
Событие \(A\) является зависимым от события \(B\), если наступление события \(B\) изменяет вероятность наступления события \(A\).
бросают игральный кубик. Пусть событие \(A\) — «выпало \(2\) очка», событие \(B\) — «выпало чётное число очков». Если нам не известно, наступило событие \(B\) или нет. то вероятность наступления события \(A\) равна 1 6 . Если нам известно, что событие \(B\) наступило (то есть выпало чётное число очков), то вероятность наступления события \(A\) уже будет равной 1 3 . Делаем вывод, что событие \(A\) зависит от события \(B\).
В случае независимых испытаний (например, кубик бросается несколько раз) можно говорить о независимых событиях. В общем случае независимость событий можно проверить с помощью следующей формулы.
Если выполняется формула P ( AB ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) , то события \(A\) и \(B\) являются независимыми .
Пусть бросают одновременно два игральных кубика. Пусть событие \(A\) — «первый кубик показывает \(3\) очка», событие \(B\) — «второй кубик показывает \(2\) очка». Количество очков на одном кубике не зависит от количества очков на другом кубике. Подтвердим независимость событий \(A\) и \(B\) с помощью формулы.
Найдём отдельно вероятность каждого события:
P ( A ) = 1 6 и P ( B ) = 1 6 .
Найдём вероятность наступления события \(AB\) (то есть события \(A\) и \(B\) наступили одновременно). Всего может быть 6 ⋅ 6 = 36 исходов:
1 и 1 2 и 1 3 и 1 4 и 1 5 и 1 6 и 1 1 и 2 2 и 2 3 и 2 ¯ 4 и 2 5 и 2 6 и 2 1 и 3 2 и 3 3 и 3 4 и 3 5 и 3 6 и 3 1 и 4 2 и 4 3 и 4 4 и 4 5 и 4 6 и 4 1 и 5 2 и 5 3 и 5 4 и 5 5 и 5 6 и 5 1 и 6 2 и 6 3 и 6 4 и 6 5 и 6 6 и 6
Из них только исход \(3\) и \(2\) очка является благоприятным. Получаем,
P ( AB ) = 1 36 = 1 6 ⋅ 1 6 = P ( A ) ⋅ P ( B ) , т. е. события \(A\) и \(B\) независимые.
Независимые события
Несовместные события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.
Если несовместные события являются независимыми, то выполняется [math] p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) [/math] . Также для несовместных событий выполняется [math] A \cap B = \emptyset [/math] . Следовательно [math] p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) [/math] . А это выполняется тогда и только тогда когда [math] p(A) = 0 [/math] или [math] p(B) = 0 [/math] .
[math] \Leftarrow [/math] :
Примеры
Игральная кость
[math] A = \\ p(A)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения чётной цифры
[math] B=\\ p(B)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения одной из первых трёх цифр
[math] A \cap B = \ \neq \emptyset [/math] , значит эти события не несовместны.
Получаем, что [math]p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)[/math] , значит эти события не независимы.
Карты
[math] A = \\ p(A)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения карты заданной масти
[math] B=\\ p(B)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения карты заданного достоинства
[math] A \cap B = \ \neq \emptyset [/math] , значит эти события не несовместны.
[math] p(A \cap B)=p(\)=\dfrac[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
Получаем, что [math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math] , значит эти события независимы.
Честная монета
[math] A = \\ [/math] — выпадение орла
[math] B=\\ [/math] — выпадение решки
[math] A \cap B = \emptyset [/math] , значит эти события несовместны.
Тетраэдр Бернштейна
Попарно независимые события и события, независимые в совокупности — это не одно и то же.
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.
[math] A [/math] — выпадение грани, содержащей красный цвет
[math] B [/math] — выпадение грани, содержащей синий цвет
[math] C [/math] — выпадение грани, содержащей зеленый цвет
Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:
Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные — по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна: [math]p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac [/math]
[math]p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac\cdot\dfrac=\dfrac[/math]
Все события попарно независимы, так как:
[math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math]
[math]p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)[/math]
[math]p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)[/math]
Вероятность пересечения всех трёх равна: [math]p(A \cap B \cap C)=\dfrac[/math]
[math]p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac\cdot\dfrac\cdot\dfrac=\dfrac[/math]
Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: [math]p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)[/math]
Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия — не одно и то же, что мы и хотели показать.
См. также
- Вероятностное пространство, элементарный исход, событие
- Дискретная случайная величина
Источники информации
- НГУ — Независимость
- Википедия — Независимость (теория вероятностей)
- Романовский И. В. Дискретный анализ
теория-вероятностей — Доказать, что события A и B независимы
Доказать, что события A и B независимы, то также независимы события а) А и ¯B; б) ¯A и B; ¯A и ¯B.
задан 5 Апр ’19 9:46
Это сразу выводится из определений. Для примера: AB’UAB=A, и объединяемые множества не пересекаются. Отсюда P(AB’)=P(A)-P(AB)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B’). Остальное аналогично.
(5 Апр ’19 12:41) falcao
1 ответ
Для доказательства независимости и воспользуемся тем, что события АВ, В, А, не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют все пространство элементарных событий. Следовательно, Р(АВ) + Р(В) + Р(А) + Р() = 1. Воспользовавшись ранее доказанными соотношениями, получаем, что Р(В)= 1 — Р(АВ) — Р(В)(1 — Р(А)) — Р(А)(1 — Р(В))= (1 – Р(А))(1 – Р(В)) = Р()Р(), что и требовалось доказать.
отвечен 26 Ноя ’21 8:09
события АВ, В, А, не имеют попарно общих элементов — как это так? Посмотрите на кругах Эйлера — это заведомо неверно. И что такое P()?
(26 Ноя ’21 8:31) falcao
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
задан
5 Апр ’19 9:46
показан
3155 раз
обновлен
26 Ноя ’21 8:31