Как доказать что точка лежит на прямой

Лежит ли точка на прямой

Напоминаю закрывающим, что простые вопросы не запрещены даже в том случае когда автор вопроса явно прогулял школьную математику.

3 мар 2018 в 7:05

1 ответ 1

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

Уравнение прямой, проходящей через точки (x1;y1) и (x2;y2), обычно записывается как

x - x1 y - y1 ------- = ------- x2 - x1 y2 - y1

Чтобы избавиться от деления, можно преобразовать уравнение:

(x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0

Осталось сюда подставить точку (x3, y3).

Отслеживать
ответ дан 3 мар 2018 в 6:17
Pavel Mayorov Pavel Mayorov
58.3k 7 7 золотых знаков 72 72 серебряных знака 146 146 бронзовых знаков

«обычно записывается как» — первый раз вижу такую форму. Каноническое уравнение выглядит по другому: (x — x1) / (x2 — x1) = (y — y1) / (y2 — y1) . Хотя, конечно, они эквивалентны, но в канонической записи точки не пропадают

3 мар 2018 в 7:53

@АндрейNOP этот вариант не обобщается на три и более точек. Впрочем, он тоже существует и объективно лучше. Спасибо за напоминание.

3 мар 2018 в 8:03

математика
геометрия

Важное на Мете

Подписаться на ленту

Лента вопроса

Для подписки на ленту скопируйте и вставьте эту ссылку в вашу программу для чтения RSS.

Нажимая «Принять все файлы cookie» вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.

как узнать точка лежит на прямой или нет?

есть линия с координатами X1 Y1 X2 Y2 и точка X3 Y3
как узнать точка лежит на этой линии или нет?

Лучший ответ

Уравнение прямой, походящей через две данных точки, выеглядит так: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1). Просто подставьте в это уравнение координаты третьей точки. Если оно обратится в верное равенство — значит, точка принадлежит прямой.

Харламов АлексейУченик (248) 7 лет назад

формула не правильная

Остальные ответы

подставь в уравнение прямой, если совпало тогда принадлежит

построить прямую и посмотреть

Меруерт КитабановаУченик (172) 3 года назад

ты, наверное, никогда графики не строил, что так отвечаешь

построить прямую и посмотреть

Илья БутовЗнаток (455) 1 год назад

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

1. так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α .

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) — точку \(A\).

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (\(2\) аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Доказательство:
1. через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость α .

2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство:

рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость α в точке \(M\) (1 рис.).

Из \(1\)-й теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость β .

Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости β (2 рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (\(4\) аксиома).

Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости β .

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).

Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).

Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости α .

Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость α в точке \(K\).
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Дано: a ∥ c и b ∥ c .
Доказать: a ∥ b .
Доказательство:
выберем точку \(M\) на прямой \(b\).

Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:
1) прямая \(b\) пересекает плоскость α ; или 2) прямая \(b\) находится в плоскости α .
Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость α .

Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость α . Так как a ∥ c , то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α . Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость α , является неверным.

Значит, прямая \(b\) находится в плоскости α .
Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).

Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.

Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости α , и у них нет общих точек, то они параллельны.

Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых .

Выводы:
1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.

2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: если a ∥ b и b ∥ c , то a ∥ c .

одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость α в точке \(K\).

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(BC\), тоже пересекает плоскость α .

2. Параллельность прямой и плоскости
Существуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
1) прямая лежит (находится) в плоскости;
2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);
3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
доказательство проведём от противного. Пусть \(a\) не параллельна плоскости α , тогда прямая \(a\) пересекает плоскость в некоторой точке \(A\). Причём \(A\) не находится на \(b\), так как a ∥ b . Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a ∥ b , они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости α .

Обрати внимание!
Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.

Теорема 6.
Если плоскость β проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то b ∥ a .

геометрия — Доказать, что точки лежат на одной прямой

Поместим начало системы в точку F. Направим ось ОХ по стороне АВ, координаты точек А и В обозначим соответственно (-а;0) и (b;0). Ось OY по высоте FC, координаты точки C (0;c). Обозначим основания высот из точки F соответственно K, M, N, L Находим:

Уравнения сторон АС у=сх/а +с ВС у=-cх/b +c

Уравнения высот треугольника BE у=-а(х-b)/c AD у=b(х+a)/c

Уравнения высот FK y=-ax/c FM y=-cx/b FN y=cx/a FL y=bx/c

Решаем системы и находим координаты точек пересечения

К ( -ас^2/( а^2 + с^2 ) ; а^2c/( а^2 + с^2 ) )

L ( bс^2/( b^2 + с^2 ) ; b^2c/( b^2 + с^2 ) )

M ( а^2b/( а^2 + с^2 ) ; аbc/( а^2 + с^2 ) )

Осталось найти координаты векторов KL и KM, затем установить пропорциональность их координат. Это действительно так.

отвечен 8 Фев ’16 6:18