Как найти a b c по графику

Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b,c квадратичной функции (9 класс)
материал по алгебре (9 класс) по теме

В материалах учебника «Алгебра-9» под редакцией С.А. Теляковского нет заданий на нахождение коэффициентов квадратичной функции с помощью графика параболы, однако такое задание есть в модуле «Алгебра» ГИА-2013. Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b,c квадратичной функции позволяет ученику научиться определять эти коэффициенты.

Скачать:

Вложение	Размер
algoritm_nahozhdeniya_koefficientov_kvadratichnoy_funkcii.zip	18.63 КБ

Предварительный просмотр:

нахождения значения коэффициентов a,b,c

по графику квадратичной функции

Автор: Давыдова Галина Анатольевна

МКОУ «Кукуйская ООШ №25»

Источники : алгебра 9 класс, под редакцией А.С.Теляковского,

Москва «Просвещение», 2011г.

I . Нахождение коэффициента a :

1) по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2) по графику параболы определяем координаты любой точки А (х 1 ;у 1 )

3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b :

1. Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)
2. В формулу для абсциссы параболы m= -b/2a подставляем значения m и a
3. Вычисляем значение коэффициента b .

III. нахождение коэффициента с:

1. Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу.
2. Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II (находим коэффициенты a,b )
3. Подставляем найденные значения a, b ,А(х 1 ; у 1 ) в уравнение у=ax 2 +bx+c и находим с.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

ЦОР «Построение графиков квадратичной функции».8 класс

ЦОР представляет собой интерактивную модель для демонстрации движения графика. Исходя, из информационного содержательного обеспечения цифровой об.

Зачётный лист по теме «Квадратичная функция» 8 класс

Материал для проведенияобобщающего урока по теме «Квадратичная функция».

План-конспект урока с использованием ЭОР «Построение графика квадратичной функции» 8 класс

План-конспект урока включает в себя ЭОР, размещенные в федеральных коллекциях: ФЦИОР http://www.fcior.edu.ru и ЕК ЦОР http://school-collection.edu.ru.

Итоговый урок по теме «Квадратичная функция». 9 класс. Алгебра

План урока. Презентация к уроку по теме Квадратичная функция. Итоговый тест по теме Квадратичная функция Лист самоконтроля.

Презентация к уроку: «Квадратичная функция», 9 класс

Урок введения нового материала, с использованием ЦОР.

Работа по теме «График квадратичной функции» 8 класс

Работы для обобщения материала «График квадратичной функции» 8 класс. Можно использовать и для работы на уроке, иля индивидуального домашнего задания (10 вариантов).

План-конспект урока по алгебре «Квадратичная функция» 9 класс

Одним из разделов содержания математического образования в основной школе является раздел «Функции». Содержание этого раздела нацелено на получение школьниками конкретных знаний о функции как важнейше.

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов: — Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a
— Если \(a>1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

— Аналогично с \(a
— Если \(a∈(0;1)\), то график сжат в \(a\) раз (по сравнению с «базовым» графиком с \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте.
— Аналогично \(a∈(-1;0)\), только ветви направлены вниз.

Парабола пересекает ось y в точке \(c\).

\(b\) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью \(x_в\) — абсциссы (икса) вершины параболы: \(x_в=-\frac\)
\(b=-x_в\cdot 2a\)

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут \(f(x)\), а где \(g(x)\). По коэффициенту \(c\) видно, что \(f(x)\) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке \(4\).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент \(c\) у неё равен \(1\).
Ветви параболы направлены вниз – значит \(a

Получается \(g(x)=-x^2-4x+1\). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений . Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:
2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями. Пример: \(A(-4;5)\), \(B(-5;5)\), \(C(-6;3)\). \(\begin5=a(-4)^2+b(-4)+c\\5=a(-5)^2+b(-5)+c\\3=a(-6)^2+b(-6)+c \end\)
3. Решаем систему.
   Пример: \(\begin5=16a-4b+c\\5=25a-5b+c\\3=36a-6b+c \end\) Вычтем из второго уравнения первое: \(0=9a-b\)
   \(b=9a\) Подставим \(9a\) вместо \(b\): \(\begin5=16a-36a+c\\5=25a-45a+c\\3=36a-54a+c \end\)
   \(\begin5=-20a+c\\5=-20a+c\\3=-18a+c \end\) Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье: \(2=-2a\)
   \(a=-1\) Найдем \(b\): \(b=-9\) Подставим в первое уравнение \(a\): \(5=20+c\)
   \(c=-15\). Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).
2. – Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
   – Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
3. – График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
   — График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.
4. График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
   График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

1. Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).
2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).
3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).
4. Получается \(y=-2(x^2-4x+4)+4=\)\(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4\).
5. \(f(6)=-2\cdot 6^2+8\cdot 6-4=-72+48-4=-28\)

Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b,c квадратичной функции (9 класс)

3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) решаем полученное уравнение.

II . нахождение коэффициента b :

1) Сначала находим значение коэффициента a (шаг I , смотри выше)

2) В формулу для абсциссы параболы m = — b /2 a подставляем значения m и a

3) Вычисляем значение коэффициента b .

III . нахождение коэффициента с:

1) Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;с)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2) Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I , II (находим коэффициенты a , b )

3) Подставляем найденные значения a , b ,А(х_{1 ;}у₁) в уравнение у= ax 2 + bx + c и находим с.

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции , нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение

И эти же соотношения справедливы для уравнения

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента — если ветви параболы направлены вверх, то , а если вниз, то .

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то .

Если оба корня отрицательны, то .

Если корень с большим модулем положителен, то .

Если корень с большим модулем отрицателен, то .

Если корни имеют одинаковые знаки, то .

Если корни имеют разные знаки, то .

Во всех случаях, определив знак коэффициента по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов и

1 . Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена , если график функции имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, .

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: . Так как , следовательно, .

3. Оба корня отрицательны, следовательно, их сумма отрицательна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

2 . Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена , если график функции имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, .

2. Корни имеют разные знаки, следовательно, их произведение отрицательно: . Так как , следовательно, .

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно, сумма корней положительна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

Замечание: — ордината точки пересечения параболы с осью , поэтому знак можно определить сразу.

Для вас другие записи этой рубрики:

• Точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции
• Линейная функция и ее график
• Видеолекция «Построение графика функции, содержащей модуль»
• Преобразование графиков функций
• Ответы
• Домашнее задание по теме «Построение графиков функций, содержащих модуль»