Геометрия для средней школы/Построение правильного треугольника
В этой главе мы покажем как построить равносторонний треугольник. Что значит «Равносторонний»? Это просто значит, что все три стороны треугольника имеют одинаковую длину.
Любой треугольник, вершинами которого являются точки A, B и C записывается как △ A B C .
И если он равносторонний, то выглядит как показано на рисунке снизу:
Построение [ править ]
Построение (метод, которым мы нарисуем △ A B C ) основано на Book I, proposition 1.
- Используя вашу линейку, начертите линию любой длины. Это будет одна из сторон вашего треугольника.
Назовем один конец отрезка — A другой — B.
Теперь мы имеем отрезок с названием A B ¯ >> .
Он должен выглядеть как на рисунке ниже.
- Используя ваш циркуль, нарисуйте окружность ∘ A , центр которого будет в точке A, а радиус будет A B ¯ >> .
- Снова используя ваш циркуль, нарисуйте окружность ∘ A , центр которого будет в точке B, а радиус будет A B ¯ >> .
- Вы можете увидеть как круги пересекаются (накладываются друг на друга) в двух точках.
Точки отмечены красным цветом на картинке снизу.
- Выберите одну из этих точек и назовем её C.
Мы выбрали верхнюю точку, но вы можете выбрать нижнюю если вам так больше нравится. Если вы выберите нижнюю точку, ваш треугольник будет выглядеть «вверх тормашками», но он всё равно будет правильным.
- Начертите линию между A и C и получите отрезок A C ¯ >> .
- Начертите линию между B и C и получите отрезок B C ¯ >> .
- Построение △ A B C завершено.
Утверждение [ править ]
Доказательство [ править ]
Не вставлено в связи с отсутствием перевода от последнего редактора в 2016 году.
Ссылки [ править ]
Как нарисовать в круге треугольник
Нарисовать треугольник в круге: способы и инструкции
Нарисовать треугольник внутри круга может показаться легкой задачей, но на самом деле это требует некоторых навыков и знаний. В данной статье мы рассмотрим несколько способов изображения треугольника в круге.
Способ первый: правильный треугольник
Если вы хотите нарисовать в окружности правильный треугольник, то это задание не представляет особых трудностей. Для этого нужно провести 3 отрезка из центра окружности под углом 120 градусов друг к другу. Точка центра окружности совпадает с точкой О, а точки В, С и М будут лежать на самой окружности. Соединив эти точки, вы получите равносторонний треугольник ВСМ.
Способ второй: известны две стороны
Если известны только две стороны треугольника, можно использовать следующий способ. Выберите на окружности точку О, которая будет вершиной треугольника АОС. Измерьте отрезок ОА так, чтобы точка А лежала на окружности. Аналогично измерьте отрезок ОС. Соединив точки А и С, вы получите требуемый треугольник.
Способ третий: известна сторона и прилегающий угол
Если известна одна сторона треугольника и угол, прилегающий к этой стороне, можно использовать следующий способ. Предположим, в треугольнике АВС известна сторона АВ и угол ВАС. Начертите отрезок АВ так, чтобы точки А и В находились на окружности. Затем измерьте угол ВАС и проведите отрезок АС так, чтобы точка С также лежала на окружности. Соедините точки С и В, чтобы завершить построение треугольника.
Способ четвертый: окружность, вписанная в треугольник
Если у вас уже есть треугольник ТМР и вы хотите нарисовать окружность вокруг него, то следуйте этому методу. Проведите перпендикуляры из середины каждой стороны треугольника. Точка пересечения этих перпендикуляров, обозначим ее О, будет центром окружности. Соедините точку О с любой вершиной треугольника ТМР, получившийся отрезок будет радиусом окружности.
Важное замечание
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, всегда будет лежать на середине его гипотенузы. Интересно, что центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности, только если треугольник является правильным.
Теперь, с помощью этих инструкций и способов, вы сможете легко нарисовать треугольник в круге. Это может быть полезным для геометрических задач или просто для красивых и интересных рисунков.
Узнать ещё
Как нарисовать равносторонний треугольник, используя только линейку и карандаш? Этот способ позволяет быстро сделать рисунок правильного или равнобедренного треугольника.
Как нарисовать равнобедренный треугольник
Рисунок начинаем с основания. Длину основания подбираем такой, чтобы ее удобно было делить пополам (берем четное количество клеточек). Вершину треугольника отмечаем ровно над серединой основания:
Если нужен равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона больше основания, вершину ставим повыше:
Если требуется треугольник, основание которого больше боковой стороны, то вершину отмечаем ниже:
Как нарисовать равносторонний треугольник
От конца основания откладываем отрезок равной ему длины так, чтобы второй конец этого отрезка расположился ровно над серединой основания. Соединяем вершину треугольника с другим концом основания:
Если в задаче о равнобедренном треугольнике речь идет о высоте, биссектрисе и медиане, проведенным к основанию, достаточно соединить вершину треугольника с отмеченной серединой основания:
Как нарисовать равносторонний треугольник
Треугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину, называется равносторонним или правильным. В такой фигуре одинаковы не только длины сторон, но и величины углов в его вершинах. Это делает возможным использование ограниченного числа инструментов построения и значительно упрощает задачу, если возникает необходимость начертить равносторонний треугольник.
Как начертить равносторонний треугольник?
Для построения равностороннего треугольника вам понадобятся следующие инструменты: бумага, карандаш, линейка, циркуль и транспортир. Вот как это сделать:
Построение равностороннего треугольника с использованием циркуля
1. Поставьте в любом месте листа точку, обозначающую одну из вершин будущего треугольника. Например, пусть это будет верхняя точка треугольника — обозначьте ее буквой C.
2. Если в условиях задачи дана длина стороны фигуры, отложите ее на циркуле и начертите вспомогательную полуокружность с центром в точке С. Крайние точки этой дуги не должны быть выше центра окружности. В левой части дуги поставьте точку и обозначьте ее буквой А — это вторая вершина треугольника. Если длина стороны не приведена в условиях, проще будет сначала поставить произвольную точку А, а затем отложить на циркуле расстояние между двумя обозначенными вершинами и начертить полукруг с центром в точке С.
3. Не меняя радиуса, отложенного на циркуле, установите его в точку А и отметьте место пересечения со вспомогательным полукругом. Обозначьте его буквой В — это третья вершина равностороннего треугольника.
4. Соедините точки А и В, В и С, С и А. На этом построение будет завершено.
Построение равностороннего треугольника без использования циркуля
5. Если пользоваться циркулем нет возможности, можно использовать измерительную линейку и транспортир. Начертите горизонтальный отрезок — нижнюю сторону будущего треугольника. Обозначьте его крайнюю левую точку буквой А, а правую — буквой В.
6. Рассчитайте величину угла, исходя при этом из теоремы о сумме углов в треугольнике. Она утверждает, что такая сумма равна 180°, а поскольку треугольник равносторонний и все его углы равны, вы должны получить величину в 60° для каждого из них.
7. Приложите транспортир так, чтобы нулевая отметка совпала с точкой А, и поставьте вспомогательную точку напротив отметки в 60°. Затем начертите отрезок на прямой, проходящей через эту точку и вершину А. Он должен иметь длину отрезка АВ и начинаться в точке А. Окончание отрезка обозначьте буквой С — это последняя недостающая вершина треугольника.
8. Соедините точки В и С, и на этом построение будет закончено.
Теперь у вас есть инструкция, которая поможет вам начертить равносторонний треугольник с использованием циркуля или без него. При следовании этим шагам вы сможете легко построить эту фигуру и решать задачи, связанные с равносторонними треугольниками.