Как посчитать количество цепей в графе

Как посчитать количество цепей в графе

stefdasca → Easy and Quick Video Tutorials for the CSES Problem Set

MikeMirzayanov → Codeforces Single Account Policy: zh0ukangyang is Removed from the Rating

vrintle → Invitation to Gym Contest — Alpha IV (by AlgoRave)

Gheal → Codeforces Round #833 (Div. 2) Editorial

s toicmann → Taming the Looping Beast: Mastering Double Loops with Single Loop Savvy

maomao90 → Editorial for Hello 2024

maomao90 → I am top 1 contributor. AMA!

YoyOyoYOy000y000 → Centroid Decomposition on a tree(Beginner)

D_coder22 → Uncertainty in Python Time of Execution

bycicle → Click here if you want a fast way to get rid of your alt

SlavicG → Codeforces Round 918 (Div. 4)

mohammed_orkhan → I wnat to be EXPERT!!

thenymphsofdelphi → Codeforces Round #873 (Div. 1 & 2) Editorial

VivaciousAubergine → Wow! You received a rating of -501 in the CodeTON round. Share it!

diskoteka → Codeforces Round #878 (Div.3) Разбор

CheaterExposer → [UPDATE] Codeforces Cheater IOI Medalist

sarthak1357 → CSES shortest routes 1

Pyqe → Codeforces Round #831 (Div. 1 + Div. 2, based on COMPFEST 14 Final) Editorial

arham_doshi → cses graph session editorial(incomplete)

SAD_IN_NIGHTMARE → 2024 OIs

parth_1818 → Know Some Sorting Techniques

I_am_Polish_Girl → Dijkstra Algorithgm

atcoder_official → AtCoder Beginner Contest 335 (Sponsored by Mynavi) Announcement

awoo → Разбор Educational Codeforces Round 149

Vectrizz → Золотой расчет: оптимизация ценности в рюкзаке с умением раздробить слитки!

Как посчитать количество цепей в графе

stefdasca → Easy and Quick Video Tutorials for the CSES Problem Set

MikeMirzayanov → Codeforces Single Account Policy: zh0ukangyang is Removed from the Rating

vrintle → Invitation to Gym Contest — Alpha IV (by AlgoRave)

Gheal → Codeforces Round #833 (Div. 2) Editorial

s toicmann → Taming the Looping Beast: Mastering Double Loops with Single Loop Savvy

maomao90 → Editorial for Hello 2024

maomao90 → I am top 1 contributor. AMA!

YoyOyoYOy000y000 → Centroid Decomposition on a tree(Beginner)

D_coder22 → Uncertainty in Python Time of Execution

bycicle → Click here if you want a fast way to get rid of your alt

SlavicG → Codeforces Round 918 (Div. 4)

mohammed_orkhan → I wnat to be EXPERT!!

thenymphsofdelphi → Codeforces Round #873 (Div. 1 & 2) Editorial

VivaciousAubergine → Wow! You received a rating of -501 in the CodeTON round. Share it!

diskoteka → Codeforces Round #878 (Div.3) Разбор

CheaterExposer → [UPDATE] Codeforces Cheater IOI Medalist

sarthak1357 → CSES shortest routes 1

Pyqe → Codeforces Round #831 (Div. 1 + Div. 2, based on COMPFEST 14 Final) Editorial

arham_doshi → cses graph session editorial(incomplete)

SAD_IN_NIGHTMARE → 2024 OIs

parth_1818 → Know Some Sorting Techniques

I_am_Polish_Girl → Dijkstra Algorithgm

atcoder_official → AtCoder Beginner Contest 335 (Sponsored by Mynavi) Announcement

awoo → Разбор Educational Codeforces Round 149

Vectrizz → Золотой расчет: оптимизация ценности в рюкзаке с умением раздробить слитки!

Формула Эйлера

Воспользуемся методом математической индукции по количеству граней графа.
База индукции:
[math]F = 2[/math] . Граф [math]G[/math] представляет собой многоугольник с [math]n[/math] вершинами (рис. 1). Тогда [math]V = E = n[/math] , значит, равенство [math]V — E + F = 2[/math] выполняется.
Индукционный переход:

Пусть [math]G[/math] связный планарный обыкновенный граф с [math]V[/math] вершинами ( [math]V \geqslant 3[/math] ), [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями. Тогда [math]E \leqslant 3V — 6[/math]

Трехмерный случай

Покажем, что в трехмерном случае так же имеет место формула Эйлера.

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство [math]V — E + F = 2[/math] , где [math]V[/math] — число вершин, [math]E[/math] — число ребер и [math]F[/math] — число граней данного многогранника.

Пример невыпуклого многоугольника для которого [math]V — E + F = 0[/math] . Многоугольник получен путем вырезания куба внутри куба.

Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим планарный граф, содержащий [math]F’ = F — 1[/math] внутренних граней, [math]V[/math] вершин и [math]E[/math] ребер.

Тогда справедливо уже доказанное соотношение: [math]V — E + F ‘ = 1 [/math] .

В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.

Обозначим через [math]V_[/math] число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится [math]i[/math] ребер. Тогда для общего числа вершин [math]V[/math] имеет место равенство [math]V = V_ + V_ + V_ + \dots[/math]

Аналогично, обозначим через [math]F_[/math] число граней выпуклого многогранника, у которых имеется [math]i[/math] ребер. Тогда для общего числа граней [math]F[/math] имеет место равенство [math]F = F_ + F_ + F_ + \dots[/math]

Посчитаем число ребер [math]E[/math] многогранника. Имеем: [math]3V_ + 4V_ + 5V_ + \dots = 2E[/math] , [math]3F_ + 4F_ + 5F_ + \dots = 2E[/math] .

По теореме Эйлера выполняется равенство [math]4V — 4E + 4F = 8[/math] . Подставляя вместо [math]V[/math] , [math]E[/math] и [math]F[/math] их выражения, получим:

[math]4V_ + 4V_ + 4V_ + \dots — (3V_ + 4V_ + 5V_ + \dots) — (3F_ + 4F_ + 5F_ + \dots) + 4F_ + 4F_ + 4F_ + \dots = 8[/math] .

Источники информации

• Асанов М,, Баранский В., Расин В. — Дискретная математика — Графы, матроиды, алгоритмы (стр. 104-107)
• О.Оре — Графы и их применение (стр. 131-135)
• Википедия — Теорема Эйлера для многоугольников
• Выпуклые многогранники

• Алгоритмы и структуры данных
• Укладки графов

Графы схем электрических цепей.

Рис. 1. а-схема электрической цепи, б – связный граф, в – дерево графа.

Замкнутый путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают называются контуром.

Либо замкнутый ток, проходящий через некоторое количество ветвей (части графа) называется контуром. Связный граф – это граф между любыми двумя узлами которого существует, по крайне мере, один путь. Деревом связного графа называется связный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. На каждом графе цепи можно найти несколько деревьев. Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева. Ветви не вошедшие – связями (главные ветви, хорды). Сумма ветвей и связей равно общему числу ветвей. Каждое из деревьев графа, содержащего р ветвей и q узлов, имеет m=q-1ветвей дерева и n=p-q+1 главных ветвей (связей). Добавление к дереву графа любой связи образует контур. Сечением связного графа называется минимальная совокупность ветвей графа, при удаления которых граф распадается на две изолированные части, одна из которых может быть узлом. Главным сечением графа называется сечение, в которое входит только одна ветвь выбранного дерева. Остальные ветви, входящие в главное сечение, являются связями. Число главных сечений равно числу ветвей дерева: m = q – 1.

Определение числа независимых узлов и контуров

Чтобы получить независимые уравнения достаточно, чтобы каждое уравнение отличалось от остальных хотя бы одной переменной. Так, для линейной независимости уравнений, составленной на основании 1-го закона Киргофа, достаточно, чтобы каждое уравнение баланса токов отличалось от других уравнений хотя бы одним током или, что то же самое, одной ветвью. Каждому дереву графа можно поставить в соответствие m = q – 1 главных сечений и, следовательно, m = q – 1 линейно независимых уравнений баланса токов.

Для линейной независимости уравнений, составленной на основе 2-го закона Киргофа, достаточно, чтобы каждое из этих уравнений отличалось от остальных хотя бы одним напряжением. Следовательно, каждый контур должен отличаться от остальных хотя бы одной ветвью. Этому требованию удовлетворяет система главных контуров, которые отличаются от других хотя бы одной связью: n = p – q + 1, число независимых контуров равно числу связей. Таким образом, общее число независимых уравнений оказывается равным числу ветвей цепи: m + n = (q – 1) + (p – q + 1) = p.

Для схемы, показанной на рис. 1, можно составить 9 независимых уравнений. В этой цепи 9 ветвей (9 токов) и 7 узлов, поэтому по закону Киргофа для токов можно составить 6 независимых уравнений для токов m = q – 1 = 7 – 1 = 6 уравнений:

По второму закону Кирхгофа можно составить три независимых уравнений для контуров

Свойство уравнений, полученных на основе законов Кирхгофа, можно показать на примере последовательного и параллельного соединений элементов R, L, C.

Рис2.а) Последовательное соединение источника и элементов RLC, б) Параллельное соединение источника и элемента RLC.

На первом рисунке соединение элементов образует один замкнутый контур, поэтому по закону Кирхгофа для напряжений:

Т.к. через все элементы протекает один и тот же ток, то интегро-дифференциальное

Т.е. полученное уравнение содержит одну переменную величину — ток в контуре.

Параллельное соединение источника и элементов (второй рисунок) образует цепь с двумя узлами, поэтому по закону Кирхгофа для токов:

Т.к. на всех элементах цепи падает одно и тоже напряжение, то

т.е. получено интегро-дифференциальное уравнение относительно U.

Для более сложных цепей получаются системы интегро-дифференциальных уравнений.

Расчет сложных (разветвленных) схем проводят на основе законов Кирхгофа, с помощью которых можно рассчитать любую электрическую схему. Однако часто их непосредственное применение приводит к составлению слишком большого числа линейных уравнений, а значить, и большему объему вычислений. Чтобы хотя бы частично обойти эти трудности, были разработаны методы, упрощающие эти расчеты. Упрощение достигается двумя способами: 1) введением дополнительных расчетных величин, позволяющих уменьшить число уравнений, 2) предварительным преобразованием анализируемой схемы. К методам первой группы относится метод контурных токов и метод узловых потенциалов, к методам второй группы – метод наложения (суперпозиции), метод эквивалентного источника, метод взаимности, преобразования треугольника в звезду, звезды в треугольник и др. При выборе метода расчета разветвлений схемы в каждом конкретном случае исходят из постановки задачи, причем выбирают тот метод, который позволяет провести расчет быстрее, проще и нагляднее. Коротко охарактеризуем два метода: метод контурных токов и метод наложения.

Метод контурных токов основан на втором законе Кирхгофа. Согласно этому методу расчет проводят в два этапа. На первом вводится понятие некоторых так называемых контурных токов. В отличие от токов в ветвях под контурным понимают ток в выделенном контуре. На втором этапе определяют токи в ветвях, которые представляют собой алгебраическую сумму токов, протекающих в контурах, в состав которых входит данная ветвь. Важно, что выделенные в схеме контуры независимы, то есть каждый из них содержит ветвь, ранее не входившую ни в один предшествующий в процессе выбора контур.

Для нахождения контурных токов составляют и решают систему линейных уравнений контурных токов. Число уравнений такой системы равно числу независимых контуров схемы; оно всегда меньше числа ветвей. Следовательно, и число уравнений в случае метода контурных токов всегда меньше числа уравнений в случае непосредственного применения законов Кирхгофа.

Пусть нужно рассчитать токи в схеме, приведенной на рис. 3. Сначала выберем независимые контуры и установим положительные направления контурных токов в каждом из них по направлению часовой стрелки. Пользуясь вторым законом Кирхгофа, составим уравнение для каждого контура:

В результате получим систему трех уравнений (в случае непосредственного применения законов Кирхгофа их было бы пять). Решив ее, получим значения контурных токовi₁, i₁₁, i₁₁₁, что позволить найти токи в отдельных ветвях схемы:

Особенно удобно применять метод контурных токов для расчета схем с источником тока. Например, в случае схемы рис.4 в качестве первого контура целесообразно выбрать источник ЭДС, резистивные элементы R₂ и R₃, а в качестве второго – источник тока и R₁, R₂. В этом случае ток второго контура оказывается заданным (i₁=J) и для определения токов во всех ветвях нужно рассчитать только один контурный ток i₁₁, то есть составить всего одно уравнение.

из которого определяется ток i₁₁, а затем и токи во всех ветвях:

Рис.3. К расчету резистивной схемы Рис.4. К расчету резистивной

методом контурных токов. схемы с источником тока.

В цепи , приведенной на _рис. 5., могут быть три независимых контурных тока I_k1, I_k2 и I_k3 , протекающие в контурах 1, 2, 3, обозначенных стрелками. Токи в элементах этой цепи связаны с контурными токами следующими зависимостями:

Подставив эти токи в формулу, составленные по закону Кирхгофа для напряжений, после группировки получим систему уравнений:

В этой системе три неизвестных контурных тока и, следовательно, система может быть решена. После нахождения контурных токов токи в элементах рассчитывают по формулам (5.1).

Четырехполюсники, основные определения.

Большинство радиоэлектронных устройств (например, усилители, преобразователи и другие устройства) предназначены для передачи электрических сигналов. Характерной особенностью таких устройств, рассматриваемых с точки зрения теории цепей, является наличие двух пар зажимов, с помощью которых они могут быть соединены с внешними цепями. Поэтому четырехполюсником будем считать электронную цепь с двумя парами зажимов, включаемую таким образом, что через каждую пару зажимов протекают попарно равные и противоположно направленные токи:

Уравнения четырехполюсника устанавливают взаимную связь между токами и напряжениями во внешних контурах U₁, I₁ и U₂ , I₂. Если предположить, что две из перечисленных величин представляют воздействия (аргументы), то остальные две – реакцияю (функции) четырехполюсника. Возможные варианты воздействий, реакций и их взаимная связь представлены ниже: