Где будет 7П на числовой окружности?И объяснить почему. Если можно фотку,и объяснить почему?Заранее спасибо.
7П = 6П + П = 3*2П + П, т. е. 3 полных оборота (360 градусов) и еще пол оборота.
Отсчет начинается с 0 (если представляешь циферблат часов, то это 3 часа) и против часовой стрелки.
Т. о. 7П будет там где на часах 9.
Остальные ответы
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Тангенс и котангенс на единичной числовой окружности
На данном этапе изучения тригонометрии получаем четыре базовых формулы:
\begin sin^2\alpha+cos^2\alpha=1,\ \ tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\ tg\alpha=\frac,\ \ ctg\alpha=\frac \end
п.3. Тангенс и котангенс угла на числовой окружности
 |
Построим вертикальную касательную к числовой окружности в точке A(1;0). Продолжим луч OM до пересечения с касательной, обозначим точку пересечения E. По построению: \begin \begin \angle MKO=\angle EAO=90^\\ \angle EOA — \text \end \Rightarrow \Delta MKO\sim \Delta EAO\Rightarrow\\ \Rightarrow\frac=\frac=\frac=EA\\ \Rightarrow EA=\frac=tg\alpha \end Таким образом, построенная вертикальная касательная является числовой прямой, на которой находятся тангенсы. |
Ось тангенсов это вертикальная касательная к числовой окружности в точке (1;0), на которой расположены тангенсы соответствующих углов.
 |
Построим горизонтальную касательную к числовой окружности в точке B(0;0). Продолжим луч OM до пересечения с касательной, обозначим точку пересечения E. По построению: \begin \begin OK || BE\\ OE — \text \end \Rightarrow \angle BEO=\angle KOE=\alpha \end как накрест лежащие углы. \begin \begin \angle MKO=\angle EBO=90^\\ \angle KOM=\angle BEO \end \Rightarrow \text<(по двум углам)>\\ \Delta MKO\sim \Delta OBE\Rightarrow\\ \Rightarrow\frac=\frac=\frac=MK\\ \Rightarrow EB=\frac=\frac=ctg\alpha \end Таким образом, построенная горизонтальная касательная является числовой прямой, на которой находятся котангенсы. |
Ось котангенсов это горизонтальная касательная к числовой окружности в точке (0;1), на которой расположены котангенсы соответствующих углов.
п.4. Знаки тангенса и котангенса
Знаки синусов и косинусов – см. §2 данного справочника.
Тангенс является отношением синуса к косинусу, поэтому его знаки будут чередоваться при переходе от одной четверти к другой.
Котангенс является тригонометрической функцией, обратной тангенсу, поэтому его знаки будут совпадать со знаками тангенса.
\begin tg\alpha\gt 0\ \text\ ctg\alpha\gt 0,\ \ \text\ 0\lt\alpha\lt\frac\pi2\cup\ \pi\lt\alpha\lt\frac<3\pi>\\ tg\alpha\lt 0\ \text\ ctg\alpha\lt 0,\ \ \text\ \frac<\pi>\lt\alpha\lt\pi\cup\ \frac<3\pi>\lt\alpha\lt2\pi \end
п.5. Тангенсы и котангенсы углов\(\frac<\pi k>\)
 Углам 0 и π соответствует 0 на оси тангенсов. |
 Для углов \(\frac\pi2\) и \(\frac<3\pi>\) проекций на ось тангенсов нет, т.к. соответствующие лучи параллельны и с этой прямой не пересекаются. |
 Для углов 0 и π проекций на ось котангенсов нет, т.к. соответствующие лучи параллельны и с этой прямой не пересекаются. |
 Углам \(\frac\pi2\) и \(\frac<3\pi>\) соответствует 0 на оси котангенсов. |
| α | 0° | 90° | 180° | 270° |
| 0 | π/2 | π | 3π/2 | |
| tgα | 0 | +∞ | 0 | –∞ |
| ctgα | +∞ | 0 | –∞ | 0 |
п.6. Тангенсы и котангенсы углов \(\frac<\pi>+\frac<\pi k>\)
Синусы и косинусы углов π/4 + πk/2 – см. §2 данного справочника
 Углам \(\frac\pi4\) и \(\frac<5\pi>\) соответствует 1 на оси тангенсов. |
 Углам \(\frac<3\pi>\) и \(\frac<7\pi>\) соответствует -1 на оси тангенсов. |
 Углам \(\frac<\pi>\) и \(\frac<5\pi>\) соответствует 1 на оси котангенсов. |
 Углам \(\frac<3\pi>\) и \(\frac<7\pi>\) соответствует -1 на оси котангенсов. |
| α | 45° | 135° | 225° | 315° |
| π/4 | 3π/4 | 5π/4 | 7π/4 | |
| tgα | 1 | –1 | 1 | –1 |
| ctgα | 1 | –1 | 1 | –1 |
п.7.Тангенсы и котангенсы углов \(\frac<\pi>+\frac<\pi k>\)
Синусы и косинусы углов π/6 + πk/2 – см. §2 данного справочника
 Углам \(\frac<\pi>\) и \(\frac<7\pi>\) соответствует \(\frac>\) на оси тангенсов. |
 Углам \(\frac<2\pi>\) и \(\frac<5\pi>\) соответствует \(-\sqrt\) на оси тангенсов. |
 Углам \(\frac<\pi>\) и \(\frac<7\pi>\) соответствует \(\sqrt\) на оси котангенсов. |
 Углам \(\frac<2\pi>\) и \(\frac<5\pi>\) соответствует \(\left(-\frac>\right)\) на оси котангенсов. |
| α | 30° | 120° | 210° | 300° |
| π/6 | 2π/3 | 7π/6 | 5π/3 | |
| tgα | \(\frac>\) | \(-\sqrt\) | \(\frac>\) | \(-\sqrt\) |
| ctgα | \(\sqrt\) | \(-\frac>\) | \(\sqrt\) | \(-\frac>\) |
п.8. Тангенсы и котангенсы углов \(\frac<\pi>+\frac<\pi k>\)
Синусы и косинусы углов π/3 + πk/2 – см. §2 данного справочника
 Углам \(\frac<\pi>\) и \(\frac<4\pi>\) соответствует \(\sqrt\) на оси тангенсов. |
 Углам \(\frac<5\pi>\) и \(\frac<11\pi>\) соответствует \(\left(-\frac<\sqrt>\right)\) на оси тангенсов. |
 Углам \(\frac<\pi>\) и \(\frac<4\pi>\) соответствует \(\frac<\sqrt>\) на оси котангенсов. |
 Углам \(\frac<5\pi>\) и \(\frac<11\pi>\) соответствует \(\left(-\sqrt\right)\) на оси котангенсов. |
| α | 60° | 150° | 240° | 330° |
| π/3 | 5π/6 | 4π/3 | 11π/6 | |
| tgα | \(\sqrt\) | \(-\frac<\sqrt>\) | \(\sqrt\) | \(-\frac<\sqrt>\) |
| ctgα | \(\frac<\sqrt>\) | \(-\sqrt\) | \(\frac<\sqrt>\) | \(-\sqrt\) |
п.9. Примеры
Пример 1.
а) Найдите тангенс угла α, если известно, что \(sin\alpha=0,8,\ \frac\pi2 \lt \alpha \lt \pi\)
Угол находится во второй четверти, значит, косинус отрицательный:
\(cos\alpha=-\sqrt=-\sqrt=-\sqrt=-0,6\)
Тангенс: \(tg\alpha=\frac= \frac= — \frac43= — 1\frac13\)
б) Найдите котангенс угла, если известно, что \(cos\alpha=\frac,\ -\frac\pi2 \lt \alpha \lt 0\)
Угол находится в четвертой четверти, значит синус отрицательный:
\(sin\alpha=-\sqrt=-\sqrt<1-\frac^2>=-\sqrt>=-\frac\)
Котангенс: \(ctg\alpha=\frac=\frac:\left(-\frac\right)=-\frac\)
Пример 2. Сравните числа
а) sin20° и tg120°
Угол 20° находится в 1-й четверти, поэтому sin20° > 0
Угол 120° находится в 2-й четверти, поэтому tg120° < 0
Получаем: tg120° < 0 < sin20°
sin20° > tg120°.
б) tg140° и ctg190°
Угол 140° находится во 2-й четверти, поэтому tg140° < 0
Угол 190° находится в 3-й четверти, поэтому ctg190° > 0
Получаем: tg140° < 0 < ctg190°
tg140° < ctg190°.
Пример 3. Запишите числа по возрастанию
а) sin60°; cos60°; tg60°; ctg60°; 0; 1; 2
\(sin60^=\frac>\lt 1\)
\(cos60^=\frac12\lt\frac>\)
\(tg60^=\sqrt\gt 1\)
\(ctg60^=\frac>\)
Сравним \(\frac>\) и \(\frac>\). Для квадратов этих чисел \(\frac13\lt\frac34\Rightarrow\frac>\lt\frac>\)
Сравним \(\frac>\) и \(\frac12\). Для квадратов этих чисел \(\frac13\gt\frac14\Rightarrow \frac>\gt\frac12\)
Получаем ряд: \(0\lt \frac12\lt\frac>\lt\frac>\lt 1\lt \sqrt\lt 2\) $$ 0\lt cos60^\lt ctg60^\lt sin60^\lt 1\lt tg60^\lt 2 $$
б) sin45°; cos135°; tg135°; ctg45°; 0; \(\frac12\); 2
\(sin45^=\frac<\sqrt>\gt \frac12\)
\(cos135^=-\frac<\sqrt>\lt 0\)
\(tg135^=-1\lt-\frac<\sqrt>\)
\(ctg45^=1\)
Получаем ряд: \(-1\lt-\frac<\sqrt>\lt 0\lt \frac12\lt\frac<\sqrt>\lt 1\lt 2\) $$ tg135^\lt cos135^\lt 0\lt\frac12\lt sin45^\lt ctg45^\lt 2 $$
Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.
Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac\), \(-\frac\), \(\frac\)
Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.
Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.
Отметим точку \(\frac\) . \(\frac\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.
Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac\) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.
Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.
Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac\) . Для этого дробь \(\frac\) переведем в смешанный вид \(\frac\) \(=1\) \(\frac\) , т.е. \(\frac\) \(=π+\) \(\frac\) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.
Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac\) .
Обозначаем числа \(\frac\), \(\frac\), \(\frac\)
Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac\) , \(\frac\) и \(\frac\) .
\(\frac\) – это половина от \(\frac\) (то есть, \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac\) – это половина четверти окружности.
\(\frac\) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac\) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac\) – это треть от полукруга.
\(\frac\) – это половина \(\frac\) (ведь \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac\) – это половина от расстояния \(\frac\) .
Вот так они расположены друг относительно друга:
Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac\) ,\(π\), \(\frac\) , \(\frac\) , \(\frac\) , \(\frac\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.
Разные расстояние на окружности наглядно:
Обозначаем числа \(\frac\), \(-\frac\), \(\frac\)
Обозначим на окружности точку \(\frac\) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=π+\) \(\frac\) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac\) .
Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac\) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac\) \(=-\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=-π-\) \(\frac\) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac\) .
Нанесем точку \(\frac\) , для этого преобразуем \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=2π-\) \(\frac\) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac\) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac\) .
Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac\) ,\(\frac\), \(-\frac\), \(-\frac\)
Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.
Из этого примера можно сделать вывод:
Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».
Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).
Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).
Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Сейчас обозначим число \(\frac\) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=3π+\) \(\frac\) \(=2π+π+\) \(\frac\) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac\) (т.е. половину окружности и еще четверть).
Отметим \(\frac\) . Вновь преобразования: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=5π+\) \(\frac\) \(=4π+π+\) \(\frac\) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac\) – и мы найдем место точки \(\frac\) .
Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac\) .
\(-\) \(\frac\) \(= -\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=-10π-\) \(\frac\) . Значит, место \(-\) \(\frac\) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac\) .
Обозначим \(-\) \(\frac\) .
\(-\) \(\frac\) \(=-\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=-5π+\) \(\frac\) \(=-4π-π+\) \(\frac\) . Для обозначение \(-\) \(\frac\) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac\) .
3. Числовая окружность на координатной плоскости
Расположим числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.
Начальная точка числовой окружности \(A\) совмещена с точкой \((1;0)\).
Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.
Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.
Точка M π 4 — середина \(I\) четверти.
Опустим перпендикуляр \(MP\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OMP\).
Так как дуга \(AM\) составляет половину дуги \(AB\), то ∡ MOP = 45 ° .
Значит, треугольник \( OMP \) — равнобедренный прямоугольный треугольник и \(OP = MP\), т. е. у точки \(M\) абсцисса и ордината равны: \(x = y\).
Координаты точки \(M(x;y)\) удовлетворяют уравнению числовой окружности x 2 + y 2 = 1 ,
Поэтому их найдём из системы уравнений:
x 2 + y 2 = 1 x = y
Заменим в первом уравнении \(y\) на \(x\):
x 2 + x 2 = 1 ; 2 x 2 = 1 ; x 2 = 1 2 ; x = 1 2 = 2 2 ; y = x = 2 2 .
Мы выбрали положительный корень уравнения, так как абсцисса точки \(M\) больше нуля.
Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π 4 , будут M π 4 = M 2 2 ; 2 2 .
Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные результаты запишем в таблицу.
Точка окружности
Абсцисса \(x\)
Ордината \(y\)
Рассуждаем аналогично для точки \(M\), если теперь она соответствует числу π 6 .
Треугольник \(MOP\) прямоугольный. Так как дуга \(AM\) составляет третью часть дуги \(AB\), то ∡ MOP = 30 ° .
Катет \(MP\) лежит против угла \(30\) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т. е. ордината точки \(M\) равна