Критерий существования определённого интеграла
В простейших случаях легко убедиться в существовании определённого интеграла.
Например, для [math]f(x) = m[/math] :
[math]\sigma(f, \tau) = \sum\limits_^ m\Delta x_k = m(b — a)[/math]
Значит, [math]\int\limits_a^b m dx = m(b — a)[/math]
Функция Дирихле
Рассмотрим функцию Дирихле: [math] d(x) = \left\ < \begin1,\ & x \notin \mathbb \\ 0,\ & x \in \mathbb \\ \end \right. [/math]
Тогда можно составить две различных системы точек:
В одном случае получаем, что [math]\int\limits_0^1 d(x) dx = 0[/math] , а в другом — [math]\int\limits_0^1 d(x) dx = 1[/math] .
Но он, по определению, не должен зависеть от выбранного набора точек. Значит, функция Дирихле — не интегрируема.
Суммы Дарбу
Возникает вполне логичный вопрос: >. Напишем ответ на классическом языке(Дарбу).
В силу того, что ограниченность функции необходима для интегрируемости, далее это не оговаривается.
Пусть задана ограниченная функция [math]f \colon [a; b] \to \mathbb[/math] и задан набор точек [math]\tau : a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n = b[/math]
[math]m_k(f) = m_k = \inf\limits_]> f(x)[/math]
[math]M_k(f) = M_k = \sup\limits_]> f(x)[/math]
[math]\underline (f, \tau) = \underline (\tau) = \sum\limits_^ m_k \Delta x_k[/math] — нижняя сумма Дарбу
[math]\overline (f, \tau) = \overline (\tau) = \sum\limits_^ M_k \Delta x_k[/math] — верхняя сумма Дарбу
Тогда, очевидно, [math]\underline(\tau) \leq \sigma(\tau) \leq \overline(\tau)[/math] .
| Определение: |
| Если [math]\tau_1 \subset \tau_2[/math] , то говорят, что [math]\tau_2[/math] мельче, чем [math]\tau_1[/math] , или же [math]\tau_2 \leq \tau_1[/math] |
- [math]\underline(\tau) \leq \overline(\tau)[/math]
- [math]\tau_1 \subset \tau_2 \Rightarrow \left\ < \begin\underline(\tau_1) & \leq & \underline(\tau_2) \\ \overline(\tau_1) & \geq & \overline(\tau_2) \\ \end \right. [/math]
- [math]\forall \tau_1, \tau_2 \ \underline(\tau_1) \leq \overline(\tau_2)[/math]
Первое свойство очевидно(из определения сумм Дарбу).
Докажем второе свойство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда в [math]\tau_1[/math] добавлена только одна точка.
[math]a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n = b[/math] — [math]\tau_1[/math]
[math]a = x_0 \lt x’_0 \lt x_1 \lt \ldots x_n = b[/math] — [math]\tau_2[/math]
Докажем неравенство для нижних сумм. Обозначим [math]m_0[/math] , [math]m’_0[/math] и [math]m»_0[/math]
[math]m_0 = \inf\limits_ f(x)[/math] , [math]m’_0 = \inf\limits_ f(x)[/math] , [math]m»_0 = \inf\limits_ f(x)[/math] .
Тогда, очевидно, [math]m_0 \leq m’_0, m»_0[/math]
[math]m_0(x_1 — x_0) = m_0(x’_0 — x_0) + m_0(x_1 — x’_0) \leq m’_0(x’_0 — x_0) + m»_0(x_1 — x’_0)[/math]
Далее все слагаемые будут одинаковы. Значит, неравенство выполнено.
Третье свойство
Положим [math]\tau_3 = \tau_1 \cup \tau_2[/math] . Тогда [math]\tau_3 \leq \tau_1, \tau_2[/math] .
Значит, в силу пунктов 1 и 2, получим:
Критерий интегрируемости
Пусть [math]\omega(f, \tau) = \overline(\tau) — \underline(\tau) = \sum\limits_^ (M_k — m_k)\Delta x_k \geq 0[/math]
[math]\lim\limits_ <\operatorname\tau \to 0> \omega(f, \tau) = 0 \Leftrightarrow[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 : \ \operatorname \tau \lt \delta \Rightarrow \omega(f, \tau) \lt \varepsilon[/math]
Определим [math]\underline = \sup\limits_> \underline(\tau)[/math] , [math]\overline = \inf\limits_> \overline(\tau)[/math]
[math]I = \lim\limits_ <\operatorname
[math]f \in \mathcal
1. [math]f \in \mathcal(a; b)[/math]
[math]\exists I = \lim \sigma(\tau)[/math]
[math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \geq 0 : \ \operatorname \tau \lt \delta \Rightarrow I — \varepsilon \leq \sigma(\tau) \leq I + \varepsilon[/math]
Это верно для любой системы промежуточных точек.
В интегральной сумме [math]\Delta x_k \gt 0[/math] . Отсюда следует, что если варьировать промежуточные точки, и по ним перейти к [math]\inf[/math] и [math]\sup[/math] , то [math]\inf = \underline[/math] , [math]\sup = \overline[/math] .
Так как написанное неравенство выполняется для любой системы точек, то в силу определения граней, мы можем получить, что
[math]I — \varepsilon \leq \underline(\tau) \leq \overline(\tau) \leq I + \varepsilon \Rightarrow[/math] [math]\omega(f, \tau) \leq 2\varepsilon[/math]
[math]\varepsilon \to 0 \Rightarrow \lim\limits_ <\operatorname
2. [math]\lim\limits_ <\operatorname
Воспользуемся неравенствами, написанными перед теоремой вместе с числами [math]\overline[/math] и [math]\underline[/math] . (что хотели сказать фразой >?)
[math]0 \leq \overline — \underline \leq \omega(f, \tau)[/math]
Но, так как [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math] , то [math]\overline = \underline = I[/math]
[math]\underline(\tau) \leq I,\ \sigma(\tau) \leq \overline(\tau)[/math]
[math]|\sigma(\tau) — I| \leq \omega(f, \tau) \to 0[/math]
Тогда, по принципу сжатой переменной, [math]I = \sigma(\tau)[/math]
Функция Римана
Приведём важный пример применения этой теоремы.
Вернёмся к функции Дирихле.
[math] d(x) = \left\ < \begin1,\ & x \notin \mathbb \\ 0,\ & x \in \mathbb \\ \end \right. [/math]
Эта функция не интегрируема. Плохая она в том смысле, что она разрывна в каждой точке.
Сейчас мы эту функцию немного изменим. Точек разрыва у новой функции будет всё ещё бесконечно много, но доминировать уже будут точки непрерывности на любом отрезке. Это приведёт к тому, что функция станет интегрируемой, хотя на любом её конечном отрезке множество её точек разрыва будет всюду плотным, и её график всё ещё будет не нарисовать.
[math] r(x) = \left\ < \begin1,\ & x \notin \mathbb \\ 1 - \frac1n,\ & x \in \mathbb, x = \frac\\ \end \right. [/math]
[math]\int\limits_0^1 r(x) = 1[/math]
Очевидно, что в любом конечном отрезке имеется лишь конечное число несократимых дробей с наперёд заданным знаменателем. Отсюда следует, что функция Римана в каждой (какое-то мутное место) иррациональной точке непрерывна, а в каждой рациональной — разрывна (/мутное место). Покажем, что существует [math]\int\limits_0^1 r(x)[/math] . Для этого выпишем [math]\omega[/math] .
[math]\omega(r, \tau) = \sum\limits_^(M_k — m_k) \Delta x[/math] . Нужно показать, что это стремится к нулю.
Если мы докажем, что эта функция интегрируема (что как раз равносильно стремлению последнего к нулю), то вопрос её вычисления станет тривиальным, ибо если у интеграционной суммы есть предел, то он не зависит от [math]\tau[/math] .
Это позволяет выбирать промежуточные точки таким образом, чтобы предел сумм считался легко. Будем составлять интегральные суммы, выбирая в качестве промежуточных точек иррациональные числа. Тогда соответствующая интегральная сумма окажется равной
[math]\int\limits_0^1 r(x) = \sum\limits_^ x_ — x_k = 1[/math]
Поэтому, вся трудность заключается в доказательстве существования интеграла.
Обычно существование интеграла через [math]\omega[/math] доказывается следующим образом: интересующая сумма разбивается на две, таким образом, чтобы в первой сумме [math]M_k — m_k[/math] было мало, но [math]\sum \Delta x_k \approx b — a[/math] . Во второй сумме надо, чтобы [math]\sum \Delta x[/math] было достаточно малым (эти [math]\Delta x[/math] — плохие). Тогда сумма обеих сумм окажется малой, и задача будет решена.
Пусть [math]\varepsilon \gt 0[/math] . Тогда [math]\exists N_\varepsilon:\ \frac1 \leq \varepsilon[/math]
[math][x_k; x_],\ M_k = 1[/math] (так как на отрезке есть иррациональные числа).
Разберёмся с [math]m_k[/math] . Его поиск связан с перебором чисел вида [math]1 — \frac1n[/math] и поиском минимума из них, при этом, [math]\frac \in [x_k; x_][/math] .
[math]m_k = 1 — \frac1[/math] , где [math]P_k[/math] — наименьший из тех знаменателей, для которых соответствующая рациональная дробь содержится в текущем отрезке. Тогда [math]M_k — m_k = \frac1[/math] .
В отрезке [math][0; 1][/math] дробей со знаменателем меньшим [math]N_\varepsilon[/math] конечное число. Тогда отсюда ясно, что если рассмотреть [math]\tau[/math] достаточно малого ранга, то сумма длин тех отрезков, в которых содержатся несократимые дроби [math]\frac[/math] будет достаточно малым и при [math]\operatorname \tau \to 0[/math] сумма будет становиться мегьше и меньше. Что касается других промежуточных отрезков, то в силу формулы [math]M_k — m_k = \frac1[/math] , [math]P_k \gt N_\varepsilon[/math] , [math]M_k — m_k \lt \frac1 \leq \varepsilon[/math] .
Но сумма этих отрезков не превзойдёт единицы.
Оценим сверху [math]I[/math] :
[math]\omega(r, \tau) \leq \varepsilon + N_\varepsilon^2 \operatorname \tau[/math] .
Тогда при [math]\delta = \frac\varepsilon[/math] :
[math]\omega(r,\tau) \leq \varepsilon + \varepsilon[/math]
Для того, чтобы с помощью этой теоремы можно было строить так называемые классы интегрируемых функций и получать дополнительные свойства интегралов, определим понятие > на отрезке и выведем для этой величины одно важное свойство.
Колебания
| Определение: |
| Пусть [math]f[/math] определена на [math][c; d][/math] и ограничена на нём. |
Тогда колебанием ограниченной функции на отрезке [math][c;d][/math] назовём
Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции
Пусть [math]m = \inf\limits_
В силу [math]m \leq f(x’)[/math] , [math]f(x») \leq M[/math] ,
[math]|f(x») — f(x’)| \leq M — m[/math] , значит, [math]\omega(f, [c; d]) \leq M — m[/math]
Докажем обратное неравенство, используя определение граней.
[math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists x’, x» \in [c; d]: \ f(x’) \lt m + \varepsilon,\ M — \varepsilon \lt f(x»)[/math]
Отсюда, очевидно, следует, что тогда
[math]M — m — 2\varepsilon \lt f(x») — f(x’) \leq |f(x») — f(x’)| \leq \omega(f, [c; d])[/math]
[math]M — m — 2\varepsilon \leq \omega(f, [c; d])[/math]
Интегрирование сложной функции
Пусть на [math][a; b][/math] задана интегрируемая функция [math]f, f(x) \in \mathcal
На отрезке [math][A; B][/math] задана непрерывная функция [math]F : [A;B] \to \mathbb[/math] .
Тогда [math]F \circ f \in \mathcal(a; b)[/math]
В силу условия теоремы сложная функция корректно определена, так как элементы внутренней функции лежат в области, определённой внешней.
Тогда нам нужно доказать, что [math]\operatorname \tau \to 0 \Rightarrow \omega(F \circ f, \tau) \to 0[/math]
[math]\tau : a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n \lt b[/math]
[math]\sum\limits_^ (F(f(\bar_k)) — F(f(\tilde_k))) \Delta x_k [/math] , (где [math]\bar_k, \tilde_k \in [x_k; x_][/math] ) [math] \leq [/math] (из свойств модуля непрерывности) [math] \sum\limits_^ \omega(F, |f(\bar_k) — f(\tilde_k)|) \Delta x_k[/math]
[math]\leq[/math] (по теореме о выпуклой мажоранте) [math](b-a)\sum\limits_^ \omega^*(F, |f(\bar_k) — f(\tilde_k)|) \frac[/math]
(так как [math]\sum\limits_^ \frac = 1[/math] , а [math]\omega^*[/math] выпукла вверх) [math]\leq (b — a) \omega^*(F, \sum\limits_^ |f(\bar_k) — f(\tilde_k)| \frac)[/math] [math]\leq[/math] (по теореме о выкуклой мажоранте) [math]2(b — a) \omega(F, \sum\limits_^ |f(\bar_k) — f(\tilde_k)| \frac)[/math]
По определению [math]\omega(f, \tau)[/math] , [math]\sum\limits_^ |f(\bar_k) — f(\tilde_k)| \frac \leq \frac \omega(f, \tau)[/math]
Отсюда, по монотонности модуля непрерывности,
[math]\sum\limits_^ |F(f(\bar_k)) — F(f(\tilde_k))| \Delta x_k[/math] [math]\leq 2(b — a)\omega(F, \frac1\omega(f, \tau))[/math]
Промежуточных точек не имеется, поэтому, переходя к [math]\sup[/math] по [math]\bar_k[/math] и [math]\tilde_k[/math] , приходим к неравенству
[math]\omega(F \circ f, \tau) \leq 2(b — a)\omega(f, \frac1 \omega(f, \tau))[/math]
По условию, [math]f \in \mathcal(a, b) \Rightarrow \omega(f, \tau) \to 0[/math] при [math]\operatorname \tau \to 0[/math]
Тогда, по непрерывности в нуле [math]\omega[/math] , [math]\omega(F, \frac1\omega(f, \tau)) \to 0[/math]
Следствие
- [math]|f| \in \mathcal
(a, b)[/math] - [math]f^2 \in \mathcal
(a, b)[/math] - [math]fg \in \mathcal
(a, b)[/math]
Первый и второй пункты получаются из теоремы, если вспомнить, что [math]|x|[/math] и [math]x^2[/math] — непрерывны.
Докажем третий пункт.
[math]fg = \frac14(f + g)^2 — \frac14(f — g)^2[/math] .
Аддитивность интеграла
Установим одно из самых важных свойств интеграла — его аддитивность.
1. Пусть [math][a; b] \subset [c; d][/math] и [math]f \in \mathcal
2. Пусть [math]a \lt b \lt c[/math] и [math]f \in \mathcal(a, b)[/math] , [math]f \in \mathcal(b, c)[/math] . Тогда [math]f \in \mathcal(a, c)[/math] и
[math]\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f[/math] . Это свойство называется аддитивностью интеграла
Пусть [math]\tau[/math] — разбиение [math][a; b][/math] , [math][a; b] \subset [c; d][/math] .
Поделим отрезки [math][c; a][/math] и [math][b; d][/math] таким образом, чтобы ранги их разбиений были не больше рангов разбиений [math][a; b][/math] и [math][c; d][/math] . Получаем разбиение [math]\tau^*[/math] , [math]\operatorname \tau^* \leq \operatorname \tau[/math]
Тогда [math]\omega(f, \tau) \leq w(f, \tau^*)[/math]
Устремим [math]\operatorname \tau \to 0[/math] . Тогда [math]\operatorname \tau^* \to 0[/math]
[math](\omega(f, \tau^*) \to 0) \Rightarrow (\omega(f, \tau) \to 0)[/math]
Аналогично устанавливается пункт второй, часть интегрируемости.
Что касается [math]\int\limits_a^c f[/math] , то, раз все интегралы существуют, выстроить интегральные суммы специального вида, например, деля отрезки [math][a; b][/math] и [math][b; c][/math] на равные части, получаем разбиение отрезка [math][a; c][/math] . Тогда [math]\sigma(f, [a; c]) = \sigma(f, [a; b]) + \sigma(f, [b; c])[/math]
Существование определённого интеграла непрерывной или возрастающей функции
Если [math]f[/math] —
1. непрерывна на [math][a; b][/math] или
2. возрастает на [math][a; b][/math] ,
то [math]f \in \mathcal(a, b)[/math]
1. Если [math]f[/math] непрерывна на [math][a;b][/math] , то, по теореме Кантора о равномерной непрерывности на отрезке, она равномерно непрерывна на нём. Тогда
[math]\forall \varepsilon \ \exists \delta: \quad |x» — x’| \lt \delta \Rightarrow |f(x») — f(x’)| \lt \varepsilon[/math]
Возьмём разбиение [math]\tau[/math] , такое, что [math]\operatorname \tau \lt \delta[/math] . Тогда для любой пары соседних промежуточных точек [math]|f(x») — f(x’)| \lt \varepsilon[/math] . Тогда, по лемме о колебаниях, [math]M_k — m_k \lt \varepsilon[/math] .
Получаем: [math]\omega(f, \tau) \leq \varepsilon \sum\limits_^ \Delta x_k = (b — a)\varepsilon[/math] , если [math]\operatorname \tau \lt \delta[/math] . Устремляя [math]\varepsilon[/math] к нулю, получаем, что функция интегрируема.
2. [math]f[/math] возрастает.
Так как [math]m_k[/math] — минимум на отрезке, а [math]M_k[/math] — максимум, то [math]m_k = f(x_k)[/math] , [math]M_k = f(x_)[/math]
[math]\omega(f, \tau) = \sum\limits_^ (f(x_) — f(x_k)) \Delta x_k \leq [/math] [math]\operatorname \tau \sum\limits_^ f(x_ — f(x_k)) = [/math] [math](f(b) — f(a)) \operatorname \tau[/math]
Обобщение формулы аддитивности
| Определение: |
| При [math]a \gt b[/math] , [math]\int\limits_a^b f = -\int\limits_b^a[/math] |
Легко проверить, что формулу аддитивности можно обобщить для немонотонной последовательности чисел [math]a_1, a_2, \ldots a_n[/math] :
Функция Дирихле
График данной функции построить невозможно, поскольку она разрывна в каждой точке: между любыми двумя рациональными числами есть хотя бы одно иррациональное.
Так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как нули, так и единицы функции), ни в одной точке у D ( x ) нет предела, а значит, она разрывна на всей числовой прямой, причём все точки разрыва — второго рода. График функции изобразить невозможно (при любом приближении он представлял бы собой на вид две параллельные прямые).
Функция Дирихле применяется в теории вероятности и математической статистике.
Названа в честь немецкого математика Свойства [ ]
- Область определения — ( − ∞ ; + ∞ )
- Область значения — 0 , 1 >
- Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана. Однако, интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке может быть легко найден, он всегда равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.
- Функция Дирихле принадлежит второму D ( x ) = lim m → ∞ lim n → ∞ cos 2 n m ! π x , \lim _\cos ^m!\pi x,>
Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману
Если функция интегрируема по Риману, то она ограничена( см. Теорема об ограниченности интегрируемой функции). Однако обратное, вообще говоря, не верно.
В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле, [latex]D:\mathbb \mapsto \left \< 0,1 \right \>[/latex], принимающую значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число.
Рассмотрим её на отрезке [latex][0;1][/latex]. Очевидно, что она ограничена на нём. Покажем,что она не интегрируема.
Зафиксируем произвольное разбиение [latex]T=\left \ < x_\right \>_^[/latex] этого отрезка.
Если выбрать точки [latex]\xi _\in [x_;x_],i=\overline[/latex] рациональными, то получим интегральную сумму:
[latex]\sigma _(\xi _;D)=\sum\limits_^\underset<\underbrace
а если взять [latex]\xi _[/latex] иррациональными,то
Как видим, предел интегральной суммы зависит от выбора промежуточных точек, следовательно, исходя из определения интегрируемой по Риману функции, [latex]D(x)[/latex] — не интегрируема по Риману.
Вывод:
ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.
Литература:
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа(в двух томах) — М.:Высш. школа,1981, т.1. — 687 с. (с 443)
- Р.М.Гаврилова, Г.С.Костецкая, А.Н.Карапетянц Методические указания по теме «Определенный интеграл»( с 6-7)
Дополнительно:
- Дирихле Петер Густав Лежён
- Необходимое условие интегрируемости функции по Риману
Функция дирихле: почему она не интегрируема по Риману
Функция Дирихле – это элементарная математическая функция, определенная на множестве действительных чисел. Она обозначается как D(x) и имеет следующее определение:
D(x) = 1, если x – рациональное число;
D(x) = 0, если x – иррациональное число.
Сразу бросается в глаза особенность данной функции – она обладает разрывами во всех точках числовой прямой. Это означает, что функция Дирихле не является непрерывной на всей числовой прямой, а значит, не подходит для интегрирования по Риману.
Одним из условий интегрируемости функции по Риману является ее ограниченность на заданном отрезке. Но функция Дирихле не ограничена ни на одном отрезке. Везде, где она определена – в точках рациональных чисел, она принимает значение 1, а в остальных точках – значение 0. Таким образом, она не ограничена на никаком интервале и иногда говорят, что она «осциллирует» или «скачет» между 0 и 1.
Неинтегрируемость функции Дирихле
Сама функция Дирихле определена следующим образом:
| Диапазон чисел x | Значение функции |
|---|---|
| x — рациональное число | 1 |
| x — иррациональное число | 0 |
Неинтегрируемость функции Дирихле по Риману означает, что невозможно выразить ее как абсолютно сходящийся ряд. Чтобы функция была интегрируемой по Риману на заданном промежутке, необходимо, чтобы ее частные суммы Римана стремились к определенному значению, независимо от выбора точек разбиения. То есть сумма частных прямоугольников, формирующих примерную область под графиком функции, должна иметь предел.
Однако в случае функции Дирихле предел не существует. Значения функции Дирихле соседних точках могут различаться на единицу, и при попытке разбиения промежутка на подотрезки, значения суммы будут стремиться к разным значениям или не иметь предела вовсе. Таким образом, функция Дирихле не допускает численного значения интеграла по Риману.
Неинтегрируемость функции Дирихле по Риману является простым примером, который помогает лучше понять особенности интегрирования и различные виды функций. Этот пример демонстрирует, что существуют функции, которые не позволяют установить определенное значение для их интеграла, хотя они определены на всем заданном промежутке.
Определение и свойства функции Дирихле
1, если x рациональное число;
0, если x иррациональное число.
Под состоянием интегрируемости понимается существование определенного интеграла функции на заданном интервале.
Однако, функция Дирихле не интегрируема по Риману.
Для нее не выполняется свойство критерия интегрируемости Римана, состоящее в том, что если множество точек разбиения отрезка обладает свойством множества точек второй категории, то функция должна быть интегрируема по Риману.
Функция Дирихле на множестве рациональных чисел не образует множество точек второй категории, она демонстрирует свойство Гейне интегрируемости, но ее нельзя интегрировать по Риману.
Специальный вид осциллирующей функции
1, если x — рациональное число
0, если x — иррациональное число
Функция Дирихле обладает уникальными свойствами. Она имеет периодичность, но ее период равен бесконечности. Это означает, что значения функции Дирихле не повторяются на каком-либо конечном интервале.
Функция Дирихле имеет неограниченное число осцилляций на любом интервале. Это связано с тем, что множество рациональных и иррациональных чисел в интервале бесконечно и несчетно.
Эти свойства функции Дирихле делают ее особенной и отличают от других осциллирующих функций. В частности, из-за бесконечного числа осцилляций на любом интервале функция Дирихле не интегрируема по Риману.
Теорема о неинтегрируемости по Риману
Теорема о неинтегрируемости по Риману утверждает, что функция Дирихле не является интегрируемой на любом отрезке [a, b]. То есть, не существует определенного интеграла для этой функции на отрезке.
Для доказательства этой теоремы используется критерий интегрируемости Римана-Дарбу, который устанавливает, что функция интегрируема на отрезке, если и только если верхний и нижний интегралы Дарбу совпадают.
Верхний и нижний интегралы Дарбу
Верхний интеграл Дарбу обозначается как D* и равен супремуму всех сумм Дарбу (сумма произведений длины отрезков и максимальных значений функции на этих отрезках), где выбираются точки разбиения и отмечаются произвольными точками внутри отрезков. Чем меньше полученное значение, тем более функция «плотно» приближает интеграл.
Нижний интеграл Дарбу обозначается как D* и равен инфимуму всех сумм Дарбу, где функция выбирается аналогичными рассмотренными выше способами. Чем больше полученное значение, тем менее функция «плотно» приближает интеграл.
Доказательство неинтегрируемости
Вернемся к функции Дирихле. Если функция имеет отрезок [a, b], то на этом отрезке есть иррациональные и рациональные числа. Заметим, что для любого разбиения этого отрезка, сумма Дарбу будет равна 1, так как есть иррациональные числа, на которых функция равна 1. Соответственно, верхний интеграл Дарбу будет равен 1.
Но нижний интеграл Дарбу будет равен 0, так как нет отрезков, на которых функция Дирихле равна 1. Таким образом, верхний и нижний интегралы Дарбу не совпадают, что означает, что функция Дирихле не является интегрируемой по Риману на отрезке [a, b].