Как брать производную от модуля

Производная функции под знаком модуля

Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.

Объявления		Последний пост
	Правила и принципы форума «Высшая математика»	28.10.2009 15:17
	Запущен новый раздел «Задачки и головоломки»	29.08.2019 00:42
	ML Research Engineer, до $8k/мес net	06.09.2023 14:11

10.05.2010 17:59
Дата регистрации:
13 лет назад
Производная функции под знаком модуля

Приветствую всех!
Помогите, пожалуйста, разобраться с производной функции под знаком модуля. Есть функция $y = -|3x — 4| — 2$ , надо найти ее производную. Вообще-то проблем с этим нет, но не знаю, как правильно надо найти эту производную: как производную сложной функции или просто $(3х — 4)’$ и т.д.
Перерыла кучу литературы, нигде ничего нет или я слепая

P.S. Правила форума прочитала, но пока нет возможности разбираться с правильным набором формул. Заранее прошу прощения за это и надеюсь на понимание.

Редактировалось 2 раз(а). Последний 27.06.2010 12:34.

производная — Найти производную функции модуля

Распишите модуль по определению. $$|A|=\begin A,& A\ge 0 \;\;//\;\; -A,& A<0 \end$$ И вычислите производную от полученных функций.

(29 Апр ’16 18:43) all_exist

То есть это предел при h—>0 (|x+h|-|x|)/h но тогда придётся рассматривать х больше или меньше 0, потом больше или меньше h , а это же вообще 4 случая . Я правильно понял что нужно сделать именно это?

(29 Апр ’16 23:33) DaIvNi

@DaIvNi: считается ли известным на этот момент изучения, что x’=1 и (-x)’=-1? Если да, то тут нечего доказывать, потому что при x>0 модуль равен x, и его производная равна 1, а если x

Я понимаю, что какие-то простые вещи на начальных этапах принято выводить из определения, но здесь как бы всё совсем очевидно. И никаких 4 случаев рассматривать не надо, поскольку для x>0 и достаточно «малых» h (а именно, при |h| < x) будет верно неравенство x+h >0, и модули раскрываются однозначно. Другие h, кроме «малых», нас не интересуют.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Производная модуля

На страницу 1 , 2 След.

Производная модуля
05.12.2013, 21:53

Не понимаю, как находить производную от модуля.
$y=|(x-1)^2(x+1)^3|$ , ответ: $(x-1)(x+1)^2(5x-1)sgn(x+1)$ .
Нашёл производную по формулам:
$y'=sgn((x-1)^2(x+1)^3)\cdot(2(x-1)(x+1)^3+3(x+1)^2(x-1)^2)$ , если $x\ne-1, 1$
Я смотрел конспект, так там в точках, в которых сигнум равняется нулю, ищут производную по определению. Я правильно понял? Тогда я не понимаю, почему.
Ведь если существует производная, значит функция непрерывная. Но у нас в точках -1,1 сигнум терпит разрыв. Зачем мы ищим там производную по определению?

Re: Производная модуля
05.12.2013, 21:58

Заслуженный участник

Ubermensch в сообщении #796734 писал(а):
Но у нас в точках -1,1 сигнум терпит разрыв. Зачем мы ищим там производную по определению?

Так ведь сигнум — не входит в запись функции. Данная функция непрерывна на всей прямой. Просто в некоторых точках производную нельзя найти с помощью стандартных свойств. Вот и приходится возвращаться к определению

Re: Производная модуля
05.12.2013, 22:07

Последний раз редактировалось Ubermensch 05.12.2013, 22:15, всего редактировалось 2 раз(а).

Да, не входит. Почему тогда нам недостаточно такого решения, как я выше написал. Почему нас смущает сигнум, если сигнум — это не наша функция. Это значение производной. Нам ведь важно, чтобы функция была неразрывна, а про производную ничего не сказано. Почему нас смущает -1 1? Почему производная в этих точках е равна нулю и нам нужно считать производную в этих точках по определению?

И почему в ответе фигурирует $sgn(x+1)$ . Ведь из-за такого преобразования теряется точка

И вообще как они пришли к такому ответу?

Re: Производная модуля
05.12.2013, 22:16

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось provincialka 05.12.2013, 22:17, всего редактировалось 2 раз(а).

Ubermensch в сообщении #796738 писал(а):

Почему производная в этих точках е равна нулю и нам нужно считать производную в этих точках по определению?

это «е» — осколок «не» или просто лишняя буква? Производная, в этих точках, конечно, равна 0.

Давайте рассуждать. Как можно найти производную функции в точке? Например, используя арифметические свойства. Если производные функций $u, v$ в точке $x$ существуют, то производная произведения в той же точке имеет вид $u'v+uv'$ . А что делать, если производная одной из функций, скажем, $v$ , в точке $x$ не существует? Тогда правило применять нельзя. Но ведь это не значит, что и производная функции $uv$ не существует. Тут-то и приходится возвращаться к определению.

Производная по определению (через предел). Примеры решений

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования. Начало положено в статье о смысле производной, которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того, рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную? и Производная сложной функции.

Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций. Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная функции в точке определяется формулой:

Напоминаю обозначения и термины:
называют приращением аргумента;
– приращением функции;
– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

Очевидно, что является «динамической» переменной, – константой и результат вычисления предела – числом (иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью).

В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции , в котором существует производная.

! Примечание: оговорка «в котором существует производная» – в общем случае существенна! Так, например, точка хоть и входит в область определения функции , но производной там не существует. Поэтому формула не применима в точке , и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.

Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела является производная функция .

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

– Найти производную в точке, используя определение производной.

– Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность), а во втором – функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как найти производную по определению?

Составить отношение и вычислить предел .

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:

Ответ: по определению производной:

В который раз порадуемся логарифмам:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .

Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .

Ответ: по определению производной:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Найти производную по определению

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .

Переходим к реально встречающимся заданиям:

Найти производную функции , используя определение производной

Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки.

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и уничтожаем противоположные члены::

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .

Ответ: по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Вернёмся к стилю № 2:

Пользуясь определением, найти производную функции

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:

Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом уничтожаем противоположные слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ: по определению

Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пользуясь определением, найти производную функции

Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

Разберём более редкую версию задачи:

Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число

Вычислим ответ стандартным способом:

Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу:

Ответ: по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Используя определение, найти производную функции в точке

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Будет ли дифференцируема функция в точке ?

Решение: очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1) Находим левостороннюю производную в данной точке: .

2) Находим правостороннюю производную в данной точке: .

3) Если односторонние производные конечны и совпадают: , то функция дифференцируема в точке и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной). Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным), то функция не дифференцируема в точке .

Если же обе односторонние производные равны бесконечности (пусть даже разных знаков), то функция не дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали).

! Примечание: таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!

Всё очень просто!

1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки расположена парабола , поэтому приращение функции равно:

И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:

2) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:

Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:

3) Односторонние производные конечны и различны:

Ответ: функция не дифференцируема в точке .

Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.

Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.

На этом забавном гибриде и закончим повествование =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Найдём производную в точке :

Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и
Ответ: по определению производной

Пример 4: Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение . Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Используем замечательный предел

Ответ: по определению

Пример 6: Решение: рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Вычислим производную:

Таким образом:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и
Ответ: по определению.

Пример 8: Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение и составим приращение функции:

Найдём производную:

Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Ответ: по определению

Пример 10: Решение: Зададим приращение в точке . Тогда приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

Ответ: по определению производной в точке

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5