Как найти точку пересечения окружностей

Как найти точку пересечения окружностей

Paul Bourke

Перевод Кантора И.А.

Будем рассматривать нашу задачу из системы координат с началом в центре первой окружности.

Определить центр окружности по каноническому уравнению вида Ax 2 + Ay 2 + a₁x + a₂y + a₀ = 0, где A =/= 0, довольно просто — это (-a₁/2A, -a₂/2A);

перенести систему координат можно простым преобразованием

— подставить вместо старых переменных их новые значения в уравнения.

В такой системе координат уравнения окружностей можно записать как

(1) x 2 + y 2 = R 2 (2)(x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2

Раскрывая скобки, вычитая (1) из (2) и приводя подобные, получаем другой вид (2):

-2ax-2by = R 2 — r 2 — a 2 — b 2 .

Если еще упростить и немного поменять обозначения, то (2) приведется к виду

ax+by=C, где С — новое обозначение выражения справа.

Таким образом, имеем систему:

(1) x 2 + y 2 = R 2 (2) ax + by = C,

решение которой, надеюсь, не составит проблем (например, подойдет подстановка — естественно с учетом случаев a=0, b=0 и т.п.) (2) в (1) и имеем простое квадратное уравнение на одну из переменных.

Решив его и получив из (2) значение оставшейся переменной, имеем(если и только если она есть) точку пересечения.

Пусть нужно найти пару точек P₃ пересечения, если они существуют.

Для начала найдем расстояние между центрами окружностей. d = || P₁ — P₀ ||. Если d > r₀ + r₁, тогда решений нет: круги лежат отдельно. Аналогично в случае d a 2 + h 2 = r₀ 2 and b 2 + h 2 = r₁ 2

Используя равенство d = a + b, мы можем разрешить относительно a:

a = (r₀ 2 — r₁ 2 + d 2 ) / (2 d)

В случае соприкосновения окружностей, это, очевидно, превратится в r₀, так как: d = r₀ + r₁

Решим относительно h, подставив в первое уравнение h 2 = r₀ 2 — a 2

Таким образом, получаем координаты точек P₃ = (x₃,y₃):

Как найти координаты точки пересечения окружностей?

Как найти координату точки пересечения окружностей, точка черная. Если известный координаты 3х красных точек и расстояние до них?

Дополнен 10 лет назад

Лучший ответ

уравнение окружности (x-x0)^2+(y-y0)^2=R^2, где x0 и y0 координаты центра окружности, а R радиус ее. запишите уравнения всех трех окружностей и решите их совместно.

Как найти верхнюю точку пресечения двух окружностей?

Необходимо получить координаты верхней точки пересечения 2-x окружностей, для построения треугольника. Идея такова: Рисуем две прозрачных окружности, получаем точку и потом рисуем сам треугольник. Все три стороны мне известны (они же радиусы).

Отслеживать
13.7k 12 12 золотых знаков 43 43 серебряных знака 75 75 бронзовых знаков
задан 22 апр 2019 в 20:42
3,818 2 2 золотых знака 15 15 серебряных знаков 35 35 бронзовых знаков
я так понимаю радиусы и координаты центров заданы?
22 апр 2019 в 20:43
@StrangerintheQ Да)
22 апр 2019 в 20:44
а центры обязательно лежат на прямой параллельной оси x?
22 апр 2019 в 20:45
@StrangerintheQ Да, а смысл их располагать иначе для отрисовки?
22 апр 2019 в 20:49

При чем здесь треугольник? Какой треугольник? И почему точка — «вечерняя»? Она, что, по утрам — другая?

– user176262
22 апр 2019 в 21:35

1 ответ 1

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

Фактически задача и сводится к построению треугольника по известным длинам трех его сторон.

Пусть центр левой окружности — это точка A , центр правой окружности — это точка B , а искомая точка их пересечения — точка C . Пусть a , b и c — длины сторон BC , AC и AB соответственно. Эти длины вам даны сразу. b — это радиус левой окружности, a — радиус правой окружности, а c — расстояние между их центрами.

Если на минутку мысленно представить, что точки A и B лежат на оси X и точка A попадает в точку (0, 0) , а точка B — в точку (c, 0) , то тогда в такой системе координат кординаты «верхней» вершины C будут равны

xC = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * c) yC = sqrt(b^2 - Cx^2) 

Это дает нам способ решения исходной задачи. Сначала решаем задачу 1 и получаем величины xC и yC . Затем откладываем на отрезке AB отрезок AD длины xC . Это дает нам точку D . Затем мысленно строим перпендикуляр к прямой AB в точке D и по направлению «вверх» откладываем на нем отрезок DC длины yC . Это даст нам искомую точку C . При этом величина xC может оказаться больше длины отрезка AB , т.е. точка D может «улететь» за пределы этого отрезка. Ничего страшного и необычного в этом нет.

Альтернативным вариантом шага 2 будет:

1. Решить задачу 1 и получить точку (xC, yC) . Затем повернуть эту точку на угол между осью X и прямой AB , получив в результате точку (xC’, yC’) . Затем прибавить к ней координаты точки A , получив искомую точку (xA + xC’, yA + yC’) . Но при этом надо рассмотреть две точки: (xC, ±yC) , ибо сразу не ясно, какая из них после поворота станет «верхней».

1264 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (x— 1)2+(y— 2)2=4 и х2+у2= 1, и вычислите длину их общей хорды.

1264 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (x— 1) 2 +(y— 2) 2 =4 и х 2 +у 2 = 1, и вычислите длину их общей хорды.

Длина хорды равна:

Источник:

Решебник по геометрии за 9 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №1264
к главе «Задачи повышенной трудности. Задачи к главе X».