Погрешность построения графика функции
Эта тема в настоящий момент находится в архиве и закрыта для публикации сообщений.
Информация
Недавно просматривали 0 пользователей
- Ни один зарегистрированный пользователь не просматривает эту страницу.
Популярные темы
Автор: АлексЛеви
Создана в среду в 08:24
Автор: Александр18
Создана 4 часа назад
Автор: Дмитрий121
Создана 13 часов назад
Автор: toma300364
Создана в пятницу в 10:10
Автор: АлексЛеви
Создана в среду в 08:24
Автор: Igen
Создана 18 Июня 2022
Автор: firebooster
Создана в четверг в 07:06
Автор: владимир 332
Создана 3 Декабря 2019
Автор: Александр18
Создана 4 часа назад
Автор: ТатьянаО.
Создана 12 Декабря 2023
Автор: AtaVist
Создана 11 Августа 2017
Автор: berkut008
Создана 16 Января 2019
Автор: annch
Создана 20 Декабря 2023
Автор: Тамбовский Волк
Создана 8 Декабря 2023
Автор: AtaVist
Создана 11 Августа 2017
Автор: larina 38
Создана 1 Декабря 2021
Автор: Metrolog-sever
Создана 2 Июля 2014
Автор: berkut008
Создана 16 Января 2019
Автор: m00n
Создана 13 Сентября 2011
Автор: AtaVist
Создана 11 Августа 2017
Автор: berkut008
Создана 16 Января 2019
Автор: Metrolog-sever
Создана 2 Июля 2014
Автор: efim
Создана 20 Ноября 2012
Автор: UNECE
Создана 8 Декабря 2016
- Новости
- Метрология
- Стандартизация
- Законодательство
- Мероприятия
- Наука и техника
- Новости компаний
- Другие новости
© 2009 — 2024 Metrologu.ru
Глава 4 Рекомендации по выполнению и представлению результатов работы
Ключевым элементом проведения лабораторной работы является ведение лабораторного журнала . Журнал является главным источником информации о проведенном эксперименте.
4.1.1 Правила ведения лабораторного журнала
Лабораторный журнал оформляется строго от руки . Для оформления лучше использовать большую тетрадь формата A4 с несъемными листами. Это правило связано с тем, что никакой электронный журнал не обладает такой же информативностью и гибкостью в оформлении. Рукописные журналы используются на всех крупных современных физических экспериментах.
В журнале необходимо фиксировать всю информацию о проводимом эксперименте: название работы, дату и время проведения эксперимента, типы использованных приборов, схему установки, а также любые другие показатели, которые могут быть связаны с проведением работы и обработкой результатов.
Замечание. Недопустимым считается отсутствие какой-то информации в журнале поскольку она «есть в лабнике». Информация в описании может быть устаревшей или не соответствовать конкретной установке. Допускается использование элементов описания, нарисованных на компьютере, напечатанных и вклеенных в журнал.
Лабораторный журнал должен содержать максимально полную информацию о процессе проведения эксперимента, а не только результаты измерений. Обязательно должны быть указаны все проводимые экспериментатором действия. По возможности должны присутствовать временные метки всех действий (например, чтобы потом можно было сверить журнал с журналами других студентов, работающих в это время, или с другой информацией).
Пример. Результаты измерений могу зависеть от окружающей температуры и влажности (особенно в работах по термодинамике). Поэтому если в момент измерений, кто-то открывает дверь или окно в лаборатории, может случиться синхронный скачок измеряемых значений на всех установках. Этот скачок может быть не заметен на стадии измерений и обнаружен только при обработке. Если хотя бы в одном журнале есть запись о том, что была открыта дверь, а во всех остальных есть временные метки, то можно при обработке учесть изменение условий.
Не допускается исключение из журнала «неправильных» (или показавшихся неправильными) измерений. Если по какой-то причине сделано заключение о том, что измерение проведено в неправильных условиях, результаты должны быть сохранены, а в журнале сделана пометка о том, почему это измерение считается ненадежным. История знает много примеров, когда на первый взгляд «ошибочные» измерения приводили к открытиям.
Рекомендуется дублировать в журнале показания приборов даже если они записываются автоматически электронным способом. Это позволяет избежать многих ошибок.
При записи результатов измерений не допускается использование карандаша, корректора или черновиков.
4.1.2 Подготовка к работе
Перед выполнением учебной лабораторной работы необходимо
ознакомиться с описанием работы и теоретическим введением по соответствующей теме: получить таким образом представление об изучаемых явлениях, порядках измеряемых величин и связывающих их закономерностях, а также о методе измерения, используемых приборах и последовательности действий при проведении измерений;
продумать предложенный в описании план действий, оценить необходимое количество измерений. Количество измерений студент должен оценивать самостоятельно исходя из а) требуемой точности измерений и б) планируемого времени выполнения работы;
желательно заранее (в крайнем случае, на начальном этапе работы) представлять диапазон изменения измеряемых величин и выбрать для них соответствующие единицы измерения;
предварительно оценить достижимую точность измерений, проанализировать возможные источники погрешностей и их влияние на погрешность конечного результата.
Для подготовки к выполнению работы рекомендуется наличие в журнале следующих элементов:
называние (не только номер!) и цели работы;
схема установки и описание использованных приборов. Следует иметь в виду, что реальная схема конкретной установки может отличаться от той, что изображена в описании;
основные теоретические положения и расчётные формулы для данной работы. Не следует переписывать (или перепечатывать) всё, что изложено в описании работы — нужно выделить ключевые моменты, необходимые для проведения работы и интерпретации результатов.
план работы с оценкой количества измерений и времени, необходимого на выполнение каждого пункта. В процессе работы план может меняться, о чем должна быть сделана соответствующая пометка в журнале (с указанием причин).
4.1.3 Начало работы
В начале работы необходимо тщательно ознакомиться с экспериментальной установкой, проверить работоспособность приборов. Все сведения о приборах и условиях эксперимента необходимо зафиксировать в лабораторном журнале. Рекомендуется переписать полные наименования приборов — в этом случае недостающую информацию о них можно всегда найти в интернете.
Замечание. При сборке электрических схем источники питания подключаются к схеме в последнюю очередь. Регулировочные ручки напряжения или тока должны исходно находиться в нулевом положении.
Прежде чем приступить к основным измерениям, необходимо проверить работу установки. Первые измерения должны быть контрольными, чтобы убедиться, что все работает нормально, диапазон и точность измерений выбраны правильно. Если разброс повторных измерений не превышает инструментальную погрешность, то многократных измерений не требуется.
Замеченные неполадки в работе приборов и установок надо зафиксировать в журнале и сообщить об этом преподавателю.
4.1.4 Выбор количества измерений
Выбор количества измерений является сложной задачей, не имеющей единого алгоритма принятия решений. Тем не менее, каждый экспериментатор (в том числе, студент) должен самостоятельно определять, какое количество измерений является достаточным, базируясь на соображениях точности результатов, времени измерений и здравого смысла.
Измерение фиксированной величины.
При измерении некоторой фиксированной величины количество необходимых измерений зависит от разброса результатов. Для первичной оценки этого разброса рекомендуется проделать измерения как минимум 3–4 раза (если позволяет время). Разброс полученных значений приблизительно соответствует статистической ошибке отдельного измерения. Если разброс существенно превышает точность измерительных приборов, то имеет смысл (опять же если позволяет время) провести более длительную серию (8–10) измерений, и после этого вычислить среднеквадратичное отклонение отдельного измерения от среднего.
Если остальные измерения в серии проводятся аналогичным образом, то разумно ожидать, что разброс остальных измерений будет таким же, и повторять длинную серию для всех измерений не нужно.
Пример. Допустим, требуется с помощью секундомера измерять периоды колебания маятника с точностью ε = 0 , 1 % . Предположим, что ошибка измерения связана только с временем реакции экспериментатора. Эта ошибка, очевидно, не зависит от длительности измерения и её можно измерить непосредственно: для этого можно 8–10 раз измерить время некоторого целого числа колебаний и по результатам вычислить среднеквадратичную погрешность времени реакции σ t реакц (как правило, σ t реакц ∼ 0 , 2 с ). По заданной абсолютной величине погрешности и требуемой точности ε находим необходимое полное время измерений: t = σ t р е а к ц / ε ∼ 200 с . Тогда все последующие измерения можно не повторять многократно, а проводить 1–2 раза в течение рассчитанного времени t . Эти рассуждения не учитывают возможное отставание или опережение часов при больших t — предполагается, что часы откалиброваны с достаточной точностью (их «уход» за время t не превышает времени реакции).
Измерение зависимостей.
При измерениях функциональной зависимости в первую очередь следует позаботиться о том, насколько хорошо будут восстанавливаться параметры этой зависимости. Число параметров не может быть больше, чем число экспериментальных точек (нельзя строить прямую по одной точке!). Но даже в случае, если число точек равно числу параметров, эксперимент нельзя считать удовлетворительным, поскольку нет возможности проверить, является ли модель правильной и не было ли одно из измерений ошибочным. Универсального правила по выбору количества точек нет, но для определения параметров прямой рекомендуется иметь не менее 5–6 точек (а лучше 8–10).
В случае длительных измерений, следует заранее планировать время таким образом, чтобы точки максимально равномерно лежали во всем диапазоне измерений. Также важно понимать, что в случае измерения зависимостей, количество точек с разными параметрами важнее, чем точность отдельного измерения, поскольку при аппроксимации параметров модели, накопленная информация по разным точкам все равно будет просуммирована.
Важно отметить, что часто параметры установки «плывут» («дрейфуют») во время проведения эксперимента, поэтому рекомендуется при измерениях делать проходы в одну и в другую сторону по всему диапазону значений.
4.1.5 Измерения
Результаты измерений и сопутствующих вычислений должны быть представлены в таблицах . Таблицы должны иметь подписи с кратким описанием их содержания и, возможно, с пояснениями по структуре расположения данных. Заглавные столбцы (или строки) должны быть подписаны, в них должны быть указаны буквенные обозначения величин (введенные в тексте ранее) и их размерность.
При записи результатов измерений фиксируются непосредственные показания прибора — без какого либо пересчёта единиц измерения, округления и т.п. В частности, если прибор имеет шкалу, записывается число делений отклонения стрелки, и отдельно — цена деления (в отдельном столбце или перед таблицей). Пересчёт в физические единицы с учётом цены деления производится позже при обработке. Это позволяет минимизировать ошибки при снятии показаний.
Полезно строить предварительные графики (прямо в экспериментальном журнале) зависимостей измеряемых величин по мере получения результатов. При этом сразу выделяются области резких изменений, в которых измерения должны проводиться подробнее (больше точек), чем на участках плавного изменения. Если изучаемая закономерность, например линейная, выполняется только на некотором участке, то область измерений должна быть выбрана шире этого участка, чтобы можно было установить границы работы закономерности.
4.1.6 Расчёты, анализ и представление результатов
Полученные первичные результаты в виде таблиц и графиков используются для расчёта конечных значений величин и их погрешностей либо для нахождения зависимости измеряемых величин между собой.
В общем случае лабораторный журнал и отчет — это два разных документа и могут быть оформлены по отдельности. Отчет не должен быть столь же подробен как журнал с точки зрения деталей проведения эксперимента. Также в отчете можно опустить прямые результаты измерений — достаточно дать ссылки на соответствующие страницы журнала.
Для измеряемых величин окончательные результаты должны быть представлены в виде среднего значения, погрешности и количества проведённых измерений.
Для окончательной оценки качества результатов необходимо сравнить их с данными, приводимыми в справочниках.
Замечание. Совпадение или несовпадение измеренного значения со справочным не может считаться критерием правильности проведения работы. Во-первых, значения действительно могут отличаться. Материалы, используемые в лабораторных работах, не всегда являются чистыми и соответствуют справочнику. Во-вторых, могут быть объективные причины, по которым результаты разошлись. Поиск и объяснения этих причин является более важным, чем точное совпадение значений!
4.2 Анализ инструментальных погрешностей
Перед выполнением любого эксперимента необходимо предварительно проанализировать возможные погрешности используемых приборов. Они могут иметь как систематический, так и случайный характер. Можно говорить о единой оценке инструментальной погрешности прибора σ инстр , которая учитывает обе составляющие.
Погрешность шкалы.
При работе с приборами со шкалой (линейка, штангенциркуль, стрелочные приборы и т.д.) один из источников погрешности — необходимость выбора некоторого значения (интерполяции) между метками шкалы. Эта погрешность, которую как правило оценивают в половину цены деления , называется погрешностью отсчёта по шкале. Аналогичная погрешность есть и у приборов с цифровым дисплеем — это погрешность округления цифры последнего разряда. Данная погрешность может быть как случайной, так и систематической: в частности, если показания прибора стабильны (стрелка не дрожит и при повторных измерения стрелка попадает в то же самое место шкалы), ошибка отсчёта будет систематической; если стрелка дрожит (или «плавает» последняя цифра разряда), ошибка будет случайной.
Замечание. Стоит по возможности избегать измерений в начале шкалы: если измеряемая величина лишь немногим превосходит цену деления (или единицу последнего разряда дисплея), относительная ошибка измерения резко возрастает.
Паспортная погрешность.
Любой прибор имеет погрешность изготовления, калибровки, а также внутренние источники ошибок (например, шумы). Как правило, максимальные значения этих погрешностей определяются производителем и описаны в паспорте прибора. Погрешности могут зависеть от условий эксплуатации (температура, влажность и т.д.), что также должно отражаться в паспорте.
Пример. Согласно паспорту вольтметра В7–34, его относительная погрешность при работе на пределе измерений 1 В, оценивается по формуле ε x = [ 0 , 015 + 0 , 002 ( 1 В U x — 1 ) ] ⋅ [ 1 + 0 , 01 ⋅ | t — 20 | ] , где U x [В] — значение измеряемой величины, t [ C ∘ ] — комнатная температура. Если измерения проводятся при температуре 24 ∘ C и прибор показывает напряжение U x = 500 мВ , то относительная погрешность равна ε ≈ 1 , 7 % , а абсолютная δ U ≈ ± 8 мВ .
Для стрелочных приборов традиционно используется понятие класса точности . Предельная инструментальная погрешность равна произведению класса точности (в процентах) на показание прибора при максимальном отклонении стрелки. В цифровых приборах погрешность, как правило, зависит от диапазона измерения, поэтому понятие класса точности для них не применяется.
Пример. Стрелочный вольтметр имеет диапазон измерения от 0 до 5 В и цену деления 10 мВ, а его класс точности равен 0 , 5 . Следовательно, погрешность измерения, гарантируемая производителем, составляет 5 В ⋅ 0 , 5 % = 25 мВ. Хотя цена деления меньше, в качестве погрешности следует взять именно ± 25 мВ. Не стоит рассчитывать на хорошую точность при измерениях напряжения менее 1 В, поскольку относительная ошибка составит более 2,5%.
Сложение погрешностей.
Наконец, при считывании показаний стрелка прибора или цифры на циферблате могут «дрожать» ( флуктуировать ) вблизи некоторого значения. Это может быть связано как с разного рода шумами и помехами внутри прибора, так и с колебаниями самой измеряемой величины. Если записывается некоторое среднее значение показаний, то амплитуда флуктуаций должна быть учтена как дополнительная случайная погрешность.
Не стоит также забывать, что в процессе эксперимента почти наверняка возникнут дополнительные погрешности, связанные с конкретной постановкой опыта и методикой измерений. Для нахождения результирующей погрешности измерения необходимо сложить все независимые источники ошибок среднеквадратичным образом:
| σ полн = σ инстр 2 + σ отсч 2 + σ случ 2 + … . |
Замечание. Отметим, что цену деления шкалы или разрядность дисплея добросовестный производитель выбирает таким образом, чтобы погрешность отсчёта и погрешность самого прибора были согласованы. В таком случае погрешность отсчёта по шкале отдельно учитывать не нужно — она уже учтена производителем при расчёте инструментальной погрешности.
4.3 Отчёт о работе
Лабораторная работа студента — миниатюрное научное исследование. Настоящие требования основаны на общепринятых стандартах научных публикаций, упрощенных для студентов младших курсов.
Отчёт о проделанной лабораторной работе должен представлять собой целостный документ, позволяющий читателю получить максимально полную информацию о проделанной работе и полученных результатах — без каких-либо дополнительных пояснений со стороны студента.
Материал в отчёте должен излагаться последовательно, а сам отчёт должен быть структурирован по разделам. Отчёт, как правило, содержит разделы: 1) аннотация, 2) теоретические сведения, 3) методика измерений, 4) используемое оборудование, 5) результаты измерений и обработка данных, 6) обсуждение результатов, 7) заключение. Структура и названия разделов могут незначительно варьироваться в зависимости от конкретного содержания работы.
Записи лабораторного журнала прикрепляются к отчёту в качестве приложения. Допускается ведение лабораторного журнала и оформление отчётов в одной рабочей тетради (формата А4).
Размерность измеренных величин — как в таблицах, так и на графиках — должна быть подобрана так, чтобы данные были удобны для чтения и не содержали избыточное количество нулей .
Помимо таблиц и графиков в тексте отчёта также должны быть представлены промежуточные результаты обработки данных (с соответствующими погрешностями), указаны используемые методы обработки данных и приведены соответствующие формулы. Окончательные и наиболее важные промежуточные результаты должны быть записаны с указанием погрешности (как абсолютной, так и относительной) и округлены согласно принятым в физике правилам округления.
4.3.1 Требования к содержанию разделов
краткое (1–2 абзаца) описание работы: её цели, используемые методы и приборы, ожидаемые результаты.
Теоретические сведения:
краткий обзор основных понятий и теоретических законов, используемых или проверяемых в работе; упрощения и предположения, используемые при анализе и интерпретации результатов эксперимента; основные расчётные формулы.
Методика измерений:
схема и описание экспериментальной установки; краткое описание основных методик проведения эксперимента, получения и обработки экспериментальных данных.
Используемое оборудование:
перечень измерительных приборов, используемых в работе; инструментальные погрешности приборов и предварительный анализ их влияния на результаты опыта.
Результаты измерений и обработка данных:
результаты проведенных измерений в форме таблиц и графиков; промежуточные и окончательные расчёты, в том числе расчёт погрешностей полученных результатов.
Обсуждение результатов:
анализ точности проведённых измерений и достоверности результатов; обсуждение применимости использованных теоретических предположений; сравнение результатов с табличными (справочными) данными или результатами других экспериментов; обсуждение возможных причин ошибок и способов их устранения.
Заключение (или выводы):
краткое резюме по результатам эксперимента: что удалось или не удалось измерить, были ли достигнуты поставлены цели, выводы по результатам работы и т.п.
4.3.2 Правила округления
Замечание. Все рассуждения в данном разделе относятся к отчёту . При заполнении лабораторного журнала не следует проводить никаких округлений, а напротив записывать всю доступную информацию.
Запись числовых значений, полученных в результате измерений, отличается от стандартной записи чисел, принятой в арифметике или в бухгалтерской отчётности. При десятичной записи результата важно следить за тем, какие цифры соответствуют реально измеренным в эксперименте, а какие возникли исключительно в результате математических операций и находятся за пределами точности опыта.
Все цифры, начиная с первой ненулевой, называют значащими . Для корректной записи результата необходимо следить, чтобы количество значащих цифр было согласовано с погрешностью измерения. Перечислим правила, которыми необходимо руководствоваться при записи результатов:
последняя цифра записи результата измерения должна соответствовать тому же разряду, что и последняя цифра в погрешности:
| неправильно: | 1 , 245 ± 0 , 05 | 5 , 2 ± 0 , 36 | 1 , 24 ± 0 , 012 |
|---|---|---|---|
| правильно: | 1 , 25 ± 0 , 05 | 5 , 2 ± 0 , 4 | 1 , 240 ± 0 , 012 |
величина погрешности имеет характер сугубо статистической оценки и практически не может быть определена с точностью лучше 20%. Поэтому погрешность нужно округлять до одной–двух значащих цифр . Как правило, если последняя цифра в погрешности единица или двойка, в погрешности оставляют две значащие цифры, в остальных случаях — одну:
| неправильно: | 5 , 27 ± 0 , 86 | 1 , 236 ± 0 , 137 | 1 ± 0 , 239 |
|---|---|---|---|
| правильно: | 5 , 3 ± 0 , 9 | 1 , 24 ± 0 , 14 | 1 , 0 ± 0 , 2 или |
| 1 , 00 ± 0 , 24 |
Величину ± 0 , 14 не следует округлять до ± 0 , 1 , так как при этом значение изменяется на 40%.
Ноль на конце десятичного числа является значащей цифрой. Запись l = 1 , 4 м не эквивалентна l = 1 , 40 м, т. к. последняя подразумевает в 10 раз большую точность измерения. Например, не эквивалентны записи m = 1 т и m = 1000 кг, так как в первом случае одна значащая цифра, а во втором четыре.
При необходимости нужно пользоваться научной (или экспоненциальной ) формой записи числа, подбирая наиболее удобные единицы измерения. Например, если длина объекта определена с точностью ± 5 см и составляет l = 123 ± 5 см, то волне допустимы также записи: l = 1 , 23 ± 0 , 05 м, или l = ( 12 , 3 ± 0 , 5 ) ⋅ 10 — 1 м , или l = ( 1 , 23 ± 0 , 05 ) ⋅ 10 3 мм , и т.п. Не вполне корректно было бы написать l = 1230 ± 50 мм, поскольку такая запись подразумевает превышение точности как в измеренной величине, так и в оценке погрешности.
Если погрешность физической величины не указана, то по умолчанию подразумевается, что она измерена с точностью до изменения последней значащей цифры на единицу. Например, запись l = 1 , 23 м эквивалентна l = 1 , 23 ± 0 , 01 м или l = 123 ± 1 см, но не эквивалентна l = 1230 мм.
При записи промежуточных результатов и в промежуточных вычислениях, проводимых вручную, необходимо сохранять одну лишнюю значащую цифру, чтобы избежать ненужных ошибок округления. При вычислениях на калькуляторе необходимо следить, чтобы значащие цифры не вышли за пределы разрядности. То же касается примитивных средств для обработки данных, таких как электронные таблицы. Рекомендуется пользоваться только инженерными/научными калькуляторами, которые не имеют ограничений по разрядности, а также специализированными средствами обработки экспериментальных и статистических данных.
4.3.3 Построение графиков
Пусть между двумя величинами x и y предполагается некоторая функциональная зависимость. Измеряя пары значений ( x i , y i ), получим набор из n результатов — экспериментальных «точек»
которые изобразим на графике. Каждое измерение ( x i , y i ) имеет свою погрешность (случайную и/или систематическую) δ x i и δ y i . На графиках погрешности принято изображать в виде «крестов» размером ± δ x по горизонтали и ± δ y по вертикали.
Рассмотрим простейший случай, когда зависимость предполагается линейной: y = k x + b . Из-за случайных погрешностей при n > 2 будет невозможно провести прямую, проходящую через все экспериментальные точки. Можно, тем не менее, попробовать провести «наилучшую» прямую, проходящую максимально близко ко всем точкам. В математической статистике такую процедуру называют также линейной регрессией .
Самый простой и грубый метод — провести наилучшую прямую «от руки». Этот метод, конечно, нестрогий, но весьма наглядный. На практике к нему приходится часто прибегать для грубой и быстрой оценки промежуточных результатов. Для этого нужно приложить прозрачную линейку к графику так, чтобы по возможности кресты всех экспериментальных точек находились максимально близко к проводимой линии, а по обе стороны от неё оказалось примерно одинаковое количество точек.
Построив таким образом «наилучшую» прямую, можно найти её параметры: угловой коэффициент k и вертикальное смещение b . Этим же способом можно грубо оценить ошибку определения k и b . Смещая линейку вертикально в пределах крестов погрешностей, оценим погрешность δ b . Аналогично, изменяя наклон линейки относительно условного «центра масс» экспериментального графика, получим оценку для погрешности углового коэффициента δ k . Если известно, что погрешности экспериментальных точек ( δ x , δ y ) имеют преимущественно случайный характер, результат стоит разделить на корень из числа точек: σ k ≈ δ k / n , σ b ≈ δ b / n (для систематических погрешностей так делать не стоит).
Эта же процедура позволяет проверить, является ли измеренная зависимость в самом деле линейной: прямая должна пересекать большую часть (хотя бы 2/3) крестов погрешностей. В противном случае можно предполагать существенное отклонение экспериментальной зависимости от линейной теоретической. Отметим, что если кресты погрешностей на графике не отмечены, такой анализ провести затруднительно.
Существуют и аналитические методы подбора параметров (см. гл. 3 ), минимизирующие отклонения экспериментальных точек от некоторой теоретической зависимости (например, метод наименьших квадратов ). Студентам первого курса рекомендуется осваивать их постепенно, по мере накопления опыта экспериментальной работы.
Пример. На рис. 4.2 изображены одни и те же экспериментальные точки при разных погрешностях измерений, график 4.2 а, несомненно, указывает на нерегулярный ход изучаемой зависимости (кривая линия). Те же данные при больших погрешностях опыта (рис. 4.2 б) успешно описываются прямой линией. Без указания крестов погрешностей разделить эти два случая было бы невозможно.
Нелинейные зависимости.
Если теория предсказывает нелинейную функциональную зависимость между величинами, часто можно сделать замену переменных так, чтобы результирующий график получался линейным.
Заметим, что аналитические методы позволяют подбирать параметры и для нелинейных зависимостей. Хотя готовых формул для общего случая не существует, задача легко решается численно — и в большинстве современных программ обработки данных это сделать не сложнее, чем построить наилучшую прямую. Построение прямой является наиболее наглядным и позволяет проверить «разумность» полученных результатов, сверив их с построением «от руки».
Пример. Высота и время падения груза без начальной скорости в поле тяжести связаны соотношением y = 1 2 g t 2 + y 0 . Для того, чтобы получить линейную зависимость, можно построить график в координатах ( y , t 2 ) . По угловому коэффициенту наилучшей прямой можно в таком случае вычислить ускорение свободного падения: k = 1 2 g .
Пример. В термодинамике и химии часто встречается зависимость вида y = C e — a / x . Чтобы определить коэффициенты C и a , можно построить график в координатах ( u , v ) , где u = ln y и v = 1 x . В таком случае, как нетрудно видеть, u = — a v + ln C .
Допускается использования программных пакетов для обработки линейных и нелинейных зависимостей при условии, что студент понимает все детали применяемой процедуры обработки.
4.3.4 Рекомендации по оформлению графиков
Основная цель использования графиков — наглядность отображения результатов. В связи с этим к ним предъявляются следующие требования:
график обязательно должен иметь подпись (заглавие) с кратким описанием его содержания (графики — это первое, на что обращает внимание читатель, еще до прочтения текста отчёта!);
подписи, данные и линии не должны быть нагромождены друг на друга так, что препятствовало бы их чтению;
оси на графике должны быть подписаны : указаны буквенное обозначение величины и её единицы измерения; если величина безразмерна, указывается «отн. ед.» (относительные единицы);
на осях должны быть отмечены масштаб и положение нуля ; масштаб обозначается несколькими отметками с подписанными значениями и дополнительными малыми отметками без подписей; масштаб должен быть удобным для чтения (использованы «круглые» числа, делящиеся на 10, 5 или 2);
масштаб осей и начало отсчёта должны быть выбраны так, чтобы экспериментальные данные занимали всю площадь листа, отведённую под график;
если график строится не «от нуля», это следует подчеркнуть отдельно, например «разрывом» оси;
при необходимости сравнения данных из разных серий измерений, их следует размещать на одном графике, обозначая их разными символами или цветами;
график с несколькими сериями данных должен быть снабжен «легендой», в которой указано соответствие серий данных и их обозначений; экспериментальные «точки» должны изображаться символами конечных размеров (позволяющими отличить их от случайных «пятен»);
точки не должны быть без необходимости соединены линиями; также не нужно подписывать положение каждой точки графика (при необходимости можно указать положение 1-2 особых точек, если это не загромождает график);
все экспериментальные точки должны быть снабжены крестами погрешностей , размер которых соответствует инструментальной погрешности измерения соответствующей величины (либо вычисленной по результатам косвенных измерений); кресты погрешностей можно не отмечать, только если погрешности малы (настолько, что они не будут видны на графике) или не известны;
если теория предполагает некоторую (например, линейную) функциональную зависимость, на график должна быть тонкой линией нанесена соответствующая теоретическая кривая; расчёт параметров этой кривой (например, коэффициентов МНК для линейной зависимости) должен проводиться отдельно в тексте отчёта — с указанием используемых методов и формул; результаты таких расчётов и их погрешности указываются в легенде графика или в подписи к нему;
оптимальный размер графика — от четверти до половины страницы (при условии, что отчёт оформляется на страницах формата А4).
На рис. 4.3 приведён пример того, как не надо строить графики. В нём собраны наиболее типичные ошибки, совершаемые студентами. Предлагаем читателю выявить их самостоятельно. Для сравнения на рис. 4.4 изображён график для тех же данных , выполненный с соблюдением изложенных выше указаний.
4.4 Некоторые типичные ошибки обработки данных
Нахождение углового коэффициента по среднему от частного.
Студент измеряет сопротивление резистора по зависимости U ( I ) . Получив некоторое количество экспериментальных точек ( I i , U i ) , и пользуясь законом Ома R = U / I , он вычисляет сопротивление для каждого измерения R i = U i / I i , а затем определяет сопротивление резистора как среднее значение R 0 = ⟨ R i ⟩ = 1 n ∑ R i . Что не так с этим методом (результат-то получается вполне «разумным»)?
Во-первых, применять процедуру усреднения можно только при повторении одного и того же измерения. В данном случае значения R i относятся к разным измерениям, так как параметры системы каждый раз изменялись. Во-вторых, не была проверена линейность зависимости U ( I ) , то есть справедливость закона Ома (ведь существуют и нелинейные элементы, для которых он не выполняется). В-третьих, даже если зависимость можно считать линейной, может оказаться так, что она не проходит через ноль (например, из-за сдвига нуля у вольтметра или амперметра) — тогда формула R i = U i / I i не годится. И наконец, даже если выполнена линейность и зависимость проходит через ноль, вычисление таким способом чревато большими погрешностями. Нетрудно видеть, что среднее значение ⟨ U i / I i ⟩ по сути есть среднее тангенсов углов наклона линий, проведённых из начала координат в экспериментальную точку. Как известно, функция tg x при x > π / 4 очень резко возрастает (и стремится к бесконечности при x = π / 2 ). В таком случае даже небольшое «шевеление» экспериментальной точки, особенно если она находится достаточно близко к оси ординат, может привести к резкому увеличению вклада этой точки в итоговый результат. Таким образом, «разумный» результат студента — плод удачного стечения многих обстоятельств. Правильный — обоснованный и надёжный — алгоритм нахождения сопротивления: построить график U ( I ) , убедиться в его линейности, и построить наилучшую прямую. Угловой коэффициент этой прямой и будет наилучшей оценкой для сопротивления резистора.
Недооценка систематической погрешности.
Студент измеряет сопротивление резистора, действуя по правильному алгоритму, описанному выше. При измерениях используются вольтметр и амперметр с классом точности 0 , 5 . Получив большое число экспериментальных точек и построив наилучшую прямую методом наименьших квадратов (формула ( 3.7 )), студент находит сопротивление (например, R = 5 , 555 Ом) и его погрешность по формуле ( 3.10 ), которая оказывается равна σ R = 0 , 003 Ом . Окончательный результат измерения записывается как R = 5 , 555 ± 0 , 003 Ом .
Выходит так, что с помощью приборов, относительная погрешность которых составляет 0 , 5 % , получен на порядок более точный результат ε ≈ 0 , 05 % . Возможно ли такое?
Ситуация эта вполне реальна и встречается в учебной лаборатории довольно часто. Дело в том, что метод наименьших квадратов позволяет оценить только случайную ошибку — и она в самом деле может оказаться довольно мала. Однако учебные приборы далеки от совершенства и их ошибка имеет в основном систематический характер. Поэтому в данном случае при записи конечного результата необходимо учесть систематическую ошибку, относительная величина которой по составляет не менее 0 , 5 % (согласно классу точности прибора) и значительно превосходит случайную. Результат эксперимента стоило бы записать как R = 5 , 55 ± 0 , 03 Ом . Всё же, может статься и так, что инструментальные ошибки наших вольтметра и амперметра имеют случайный характер, и мы в самом деле добились кратного повышения точности за счёт многократных повторений измерений (сколько нужно измерений, чтобы увеличить точность на порядок?). Это нетрудно проверить, если заменить вольтметр или амперметр на аналогичный и повторить опыты. Таким образом мы превратим систематическую ошибку одного прибора в случайную ошибку множества приборов. Если отклонение нового результата от исходного значительно превысит величину ± 0 , 003 Ом, гипотеза о случайности инструментальной ошибки будет опровергнута, то есть погрешность отдельного прибора действительно имеет в основном систематический характер.
Аппроксимация полиномом.
Студент получает набор экспериментальных данных < x i , y i >, которые по теории должны ложиться на прямую. Нанеся точки на график, студент видит, что на прямую они ложатся не очень хорошо (см. рис. 4.5 а). Для того, чтобы точки лучше ложились на график, студент решает использовать функцию аппроксимации полиномом (например, квадратичным), имеющуюся в наличии во всех электронных таблицах и программах обработки данных. Можно ли так делать?
Ответ на вопрос зависит от того, какую цель преследует студент. Если цель — добиться того, чтобы «точки лучше ложились на график», то всё сделано правильно. Если говорить «по-научному» — это попытка решить задачу интерполяции экспериментальных данных: по ограниченному набору < x i , y i >получить аналитическую функцию y = f ( x ) , позволяющую рассчитывать значения y при произвольном x . В учебном практикуме это может быть, например, задача построения калибровочного графика. В таком случае можно лишь дать практический совет — стараться использовать для интерполяции полином как можно меньшей степени (дело в том, что при слишком большой степени функция почти наверняка станет сильно немонотонной, а это вовсе не то, что хочется иметь в качестве результата интерполяции, см. рис. 4.5 б). Однако ни в одной лабораторной работе курса общей физики задача интерполяции не является основной целью работы! Как правило, цель — проверить теоретические закономерности и измерить физические характеристики системы. Если нет теории, предсказывающей и объясняющей квадратичную зависимость, проделанная студентом процедура бесполезна , поскольку вычисленным коэффициентам полинома затруднительно приписать физический смысл. Правильно было бы в такой ситуации выявить, на каком участке зависимости линейный закон выполняется , оценить его границы, и по нему построить наилучшую прямую (сплошная линия на рис. 4.5 б). Для участка, отклоняющегося от предсказываемой линей зависимости, следует теоретически проанализировать причины отклонения и по возможности предложить уточнение теории. Возможно, стоит ожидать не квадратичное, а кубическое отклонение? Различить их на ограниченном наборе данных с большими погрешностями невозможно! Имея достаточное количество точек предложенную теорию можно проверить и лишь после этого аппроксимации более сложной функцией можно придать физический смысл.
Как оценивается погрешность по графику
Как выполнить и оформить лабораторную работу
В лабораторном практикуме студенты вначале знакомятся с основными приемами проведения физических измерений и правилами обработки результатов. При этом должны быть выработаны определенные навыки, что является предпосылкой дальнейшей успешной работы в лаборатории. Целью лабораторного практикума является более глубокое осознание студентами физических явлений и законов. Эта задача может быть успешно решена только в том случае, если лабораторные работы выполняются с достаточным пониманием сущности исследуемых явлений. Поэтому домашняя подготовка к выполнению лабораторной работы является одним из важнейших этапов.
Подготовка к работе. При подготовке к работе рекомендуется придерживаться следующего плана.
- Прочитайте название работы и выясните смысл всех непонятных слов.
- Прочитайте описание работы от начала до конца, не задерживаясь на выводе формул. Задача первого прочтения состоит в том, чтобы выяснить, какой физический закон или явление изучается в данной работе и каким методом проводится исследование.
- Прочитайте по учебнику материал, относящийся к данной работе. Разберите вывод формул по методическому пособию. Найдите ответы на контрольные вопросы, приведенные в конце описания работы.
- Разберите по методическому пособию принцип устройства и работы приборов, которые предполагается использовать в работе.
- Выясните, какие физические величины и с какой точностью будут непосредственно измеряться и каковы их размерности.
- Начертите в лабораторном журнале принципиальную схему эксперимента и таблицы, в которые будут заноситься результаты измерений.
- Продумайте, какой окончательный результат должен быть получен в данной лабораторной работе.
Выполнение работы. При выполнении работы вначале следует ознакомиться с приборами. Нужно установить их соответствие описанию, выполнить рекомендованную в описании прибора последовательность действий по подготовке прибора к работе, убедиться в том, что при изменении положений органов управления возникают ожидаемые изменения параметров, определить цену деления шкалы прибора и его систематическую погрешность, выяснить, как изменить множитель шкалы (если это возможно), попробовать сделать пробный отсчет. Далее следует провести предварительный опыт с тем, чтобы пронаблюдать качественно изучаемое явление, оценить, в каких пределах находятся измеряемые величины. После проведенной подготовки можно приступать к измерениям. Следует помнить, что всякое измерение, если только это возможно сделать, должно выполняться больше, чем один раз.
Производимые по приборам отсчеты записываются в лабораторный журнал сразу же после выполнения отсчета в том виде как они считаны со шкалы прибора — без каких-либо пересчетов на множитель шкалы или систему единиц. Естественно, что единицы измерений и множитель шкалы должны быть записаны в заголовке соответствующей таблицы с результатами измерений. При измерениях, выполняемых при помощи осциллографа, отсчет следует делать непосредственно по шкале осциллографа, установив предварительно подходящий размер изображения. Картинка, срисованная с экрана, может быть использована только в качестве иллюстрации или для качественного анализа. Все записи при выполнении лабораторной работы должны вестись исключительно в лабораторном журнале. Лабораторный журнал является одновременно и черновиком, и чистовиком. Его следует вести самым аккуратнейшим образом. Здесь и только здесь производятся все записи при выполнении лабораторной работы, в том числе прикидочные расчеты и предварительные результаты. Все исправления в журнале должны делаться так, чтобы предыдущий результат оставался читаемым. Рядом с исправлением следует указывать, в чем состоит причина исправления. Лабораторный журнал является тем единственным документом, на основании которого затем делается отчет о выполненной работе. Поэтому журнал следует приносить на все занятия, как при выполнении работы, так и при сдаче отчета.
Оформление отчета. На титульном листе отчета указывается название работы и фамилия автора отчета. В начале отчета формулируется цель работы и/или физический закон (явление), исследованный в работе. Обязательно приводится схема установки (не рисунок!), на которой выполнялась работа. В механике — это кинематическая схема, на которой видны все перемещения частей устройства, в электричестве — принципиальная схема, в оптике — схема расположения оптических элементов и ход лучей и т.д. В соответствующих таблицах приводятся результаты непосредственных измерений, причем все таблицы должны быть озаглавлены (например, “ Таблица 1. Результаты измерения массы тела студента до и после обеда ”). Приводятся все расчетные формулы (без вывода) как в символьном виде, так и с подставленными числами. Приводится вывод формул для расчета погрешностей и сам расчет. В конце каждого упражнения записывается окончательный результат, полученный в данном упражнении. К отчету прикладываются необходимые графики. На каждом графике должно быть указано, к какому упражнению он относится, и что на графике изображено. В конце отчета формулируются выводы. В выводах должны быть проанализированы полученные результаты и дано заключение об их согласии с теоретическими зависимостями.
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
Основной задачей физического эксперимента является измерение численных значений наблюдаемых физических величин. Измерением называется операция сравнения величины исследуемого объекта с величиной единичного объекта. Так, например, за единицу длины принят метр, и в результате измерения длины некоторого отрезка определяется, сколько метров содержится в этом отрезке.
Принято различать прямые и косвенные измерения. При прямом измерении производится непосредственное сравнение величины измеряемого объекта с величиной единичного объекта. В результате искомая величина находится прямо по показаниям измерительного прибора, например, сила тока — по отклонению стрелки амперметра, вес — по растяжению пружинных весов и т.д. Однако гораздо чаще измерения проводят косвенно, например, площадь прямоугольника определяют по измерению длин его сторон, электрическое сопротивление — по измерениям силы тока и напряжения и т.д. Во всех этих случаях искомое значение измеряемой величины получается путем соответствующих расчетов.
Результат всякого измерения всегда содержит некоторую погрешность. Поэтому в задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности. Напомним, что абсолютной погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением, причем ни точное значение, ни абсолютная погрешность принципиально неизвестны и подлежат оценке по результатам измерений. Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу. Если оценка погрешности результата физического измерения не сделана, то можно считать, что измеряемая величина вообще неизвестна, поскольку погрешность может, вообще говоря, быть того же порядка, что и сама измеряемая величина или даже больше. В этом состоит отличие физических измерений от бытовых или технических, в которых в результате практического опыта заранее известно, что выбранный измерительный инструмент обеспечивает приемлемую точность, а влияние случайных факторов на результат измерений пренебрежимо мало по сравнению с ценой деления применяемого прибора.
Погрешности физических измерений принято подразделять на систематические, случайные и грубые. Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Систематические погрешности скрыты в неточности самого инструмента и неучтенных факторах при разработке метода измерений. Обычно величина систематической погрешности прибора указывается в его техническом паспорте. Что же касается метода измерений, то здесь все зависит от квалификации экспериментатора. Хотя суммарная систематическая погрешность во всех измерениях, проводимых в рамках данного эксперимента, будет приводить всегда либо к увеличению, либо к уменьшению правильного результата, знак этой погрешности неизвестен. Поэтому на эту погрешность нельзя внести поправку, а приходится приписывать эту погрешность окончательному результату измерений.
Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Они имеют различные значения даже для измерений, выполненных одинаковым образом, то есть носят случайный характер. Допустим, что сделано n повторных измерений одной и той же величины. Если они выполнены одним и тем же методом, в одинаковых условиях и с одинаковой степенью тщательности, то такие измерения называются равноточными.
| Пусть минимальный интервал значений измеряемой величины, через который ведутся отсчеты (цена деления прибора), будет h , а среднее арифметическое всех результатов измерений пусть будет < x > . Обозначим через ki число тех результатов, которые отклонились от среднего < x > на величину Δ x= ih. Отложив по оси абсцисс величину абсолютных погрешностей Δ x, а по оси ординат значения k , получим ступенчатый график, называемый гистограммой (рис.1). |
Если устремить число измерений к бесконечности, а интервал h — к нулю, то гистограмма переходит в пределе в непрерывную кривую, которая является кривой распределения погрешностей. При некоторых условиях, которые обычно выполняются при проведении измерений, эта кривая представляет собой график функции Гаусса , имеющей следующий вид:
где параметр σ определяет ширину распределения. Несколько кривых Гаусса для разных значений параметра σ показаны на рис.2.
Третий тип погрешностей, с которыми приходится иметь дело — грубые погрешности или промахи. Под грубой погрешностью измерения понимается погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях. Она может быть сделана вследствие неправильного применения прибора, неверной записи показаний прибора, ошибочно прочитанного отсчета, неучета множителя шкалы и т.п.
Вычисление погрешностей. В дальнейшем будем предполагать, что
1) грубые погрешности исключены;
2) поправки, которые следовало определить (например, смещение нулевого деления шкалы), вычислены и внесены в окончательные результаты;
3) все систематические погрешности известны (с точностью до знака).
В этом случае результаты измерений оказываются все же не свободными от случайных погрешностей. Если случайная погрешность окажется меньше систематической, то, очевидно, нет смысла пытаться уменьшить величину случайной погрешности — все равно результаты измерений не станут значительно лучше и, желая получить большую точность, нужно искать пути к уменьшению систематической погрешности. Наоборот, если случайная погрешность больше систематической, то именно случайную погрешность нужно уменьшить в первую очередь и добиться того, чтобы случайная погрешность стала меньше систематической, с тем чтобы последняя опять определяла окончательную погрешность результата. На практике обычно уменьшают случайную погрешность до тех пор, пока она не станет сравнимой по величине с систематической погрешностью. Как будет видно из дальнейшего, случайная погрешность уменьшается при увеличении числа измерений.
Поскольку из-за наличия случайных погрешностей результаты измерений по своей природе представляют собой тоже случайные величины, истинного значения x ист измеряемой величины указать нельзя. Однако можно установить некоторый интервал значений измеряемой величины вблизи полученного в результате измерений значения x изм , в котором с определенной вероятностью содержится x ист. Тогда результат измерений можно представить в следующем виде:
где Δ x — погрешность измерений. Вследствие случайного характера погрешности точно определить ее величину невозможно. В противном случае найденную погрешность можно было бы ввести в результат измерения в качестве поправки и получить истинное значение x ист. . Задача наилучшей оценки значения x ист и определения пределов интервала (2) по результатам измерений является предметом математической статистики. Воспользуемся некоторыми ее результатами.
Пусть проведено n измерений величины x. Тогда за лучшую оценку истинного значения результата измерений принимается среднее арифметическое значение
где xi — результат i -го измерения.
Для оценки случайной погрешности измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной погрешности σ (ее часто называют стандартной погрешностью или стандартом измерений).
Средней квадратичной погрешностью называется величина
где n — число наблюдений.
Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина Sn стремится к постоянному значению σ :
Именно этот предел и входит в качестве параметра σ в распределение Гаусса (1). Квадрат этой величины называется дисперсией измерений. В действительности, по результатам измерений всегда вычисляется не σ , а ее приближенное значение Sn, которое, вообще говоря, тем ближе к σ , чем больше n.
Все сказанное выше о погрешностях относится к погрешностям отдельного измерения. Однако важнее знать, насколько может уклоняться от истинного значения x среднее арифметическое < x > , полученное по формуле (3) для n повторных равноточных измерений. Теория показывает, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического S равна средней квадратичной погрешности отдельного результата измерений Sn , деленной на корень квадратный из числа измерений n, то есть
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений.
Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного на величину, не большую, чем Δ x . Вероятность α в этом случае носит название доверительной вероятности, а интервал значений измеряемой величины oт < x > — Δ x до < x > + Δ x называется доверительным интервалом.
Определим доверительный интервал. Чем большим будет установлен этот интервал, тем с большей вероятностью x ист попадает в этот интервал. С другой стороны, более широкий интервал дает меньшую информацию относительно величины x ист . Если ограничиться учетом только случайных погрешностей, то при небольшом числе измерений n для уровня доверительной вероятности a полуширина доверительного интервала (2) равна
где t α ,n — коэффициент Стьюдента.
Определение погрешности измерений
Погрешности измерений.
Определение погрешности измерений.
Классификация погрешностей.
Случайные погрешности.
Систематические погрешности.
Методы исключения систематических погрешностей.
Грубые погрешности и методы их исключения.
Погрешности косвенных измерений.
2.
Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих
источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на
результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может
оказаться достаточно сильным.
Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине
значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта
ошибка в равной степени может быть как положительной, так и
отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При
отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса
повторных измерений относительно истинного значения (рис.1).
Если, кроме того, имеется и систематическая ошибка, то результаты
измерений будут разбросаны относительно не истинного, а смещенного
значения (рис.2).
Рис. 1
Рис. 2
3.
Определение погрешности
В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения
погрешности измерений используют различные методы.
•Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в
пределах от минимального до максимального результата измерений, и
погрешность как половина разности между максимальным и минимальным
результатом измерения:
•Средняя квадратическая погрешность:
•Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:
4.
Наиболее часто встречающиеся на практике ошибки распределены по
нормальному закону:
Если случайная ошибка распределена по нормальному закону, то для ответа
на этот вопрос необходимо вычислить интеграл
5.
Расчёты показывают (рис. 3),
что в 68,27 % отклонения случайной величины, распределённой по
нормальному закону, не превышают σ,
в 95,45 % – 2σ.
Наконец, вероятность того, что случайная величина, распределённая
нормально, отклоняется от математического ожидания больше, чем на 3σ,
пренебрежимо мала и составляет 0,27 % – правило трёх сигм.
Рисунок 3. Правило трёх сигм
6.
•Погрешность прямых измерений — вычисляются по формуле
где : t = Sxαs ; Sx — Средняя квадратическая погрешность среднего
арифметического, а αs — коэффициент Стьюдента, а А — число,
численно равное половине цены деления измерительного прибора.
•Погрешность косвенных воспроизводимых измерений — погрешность
вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:
Если F = F(x1,x2. xn), где xi — непосредственно измеряемые независимые
величины, имеющие погрешность Δxi, тогда:
•Погрешность косвенных невоспроизводимых измерений — вычисляется
по принципу прямой погрешности, но вместо xi ставится значение
полученное в процессе расчётов.
7.
Приборные погрешности определяются двумя факторами:
1. классом точности прибора, связанным с его устройством – элементной
базой и принципом действия.
Абсолютная погрешность через класс точности оценивается следующим
образом: (Dx) к.т.= (g/100)Х,
где g — класс точности в %, указанный на панели прибора,
Х = Хmax – предел измерения для стрелочных приборов,
либо Х есть текущее значение для магазинов сопротивления, индуктивности,
емкости;
2. ценой делений шкалы прибора:
(Dx) ц.д. =
h,
где h – цена деления шкалы прибора, т.е. расстояние между ближайшими
штрихами шкалы, выраженное в соответствующих единицах измерения.
8.
Простейший способ определения (Dх)р дает метод Корнфельда, который
предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n
раз:
1) имея х1 , …,хn – значений измеряемой величины х, выбираем
из
хmax и хmin и находим среднее значение х:
2) находим абсолютную погрешность Dxр =
3) Записываем результат в виде:
с
,
где a – доверительная вероятность того, что истинное значение измеренной величины
находится на отрезке
.
Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных
в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал.
Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что вероятность
приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных
измерений и не может быть изменена посредством увеличения
или уменьшения доверительного интервала ± Dх.
9.
метод расчета погрешностей Стьюдента.
Последовательность расчета погрешностей этим методом такова:
1) Вы измерили и получили несколько (i = 1. m) значений случайной
величины х i.
Сначала исключаем промахи, то есть заведомо неверные результаты.
2) По оставшимся n значениям определяем среднее значение величины
3) Определяем среднеквадратичную погрешность среднего значения
:
:
10.
4) Задаемся доверительной вероятностью a.
По таблице коэффициентов Стьюдента (квантили или процентили
распределения Стьюдента) определяем по известному значению числа
измерений n и доверительной вероятности a коэффициент Стьюдента tan.
5) Определяем погрешность среднего значения
величины
(доверительный интервал)
D
= tan s
6) Записываем результат
=(
±D
) с указанием доверительной вероятности a.
11.
Чтобы получить значение tα,k, необходимо найти строку, соответствующую нужному k,
числу степеней свободы, расчитываемому по формуле k = n − 1, и колонку,
соответствующую нужному α. Искомое число находится в таблице на их пересечении.
Квантили tα,n
twotailed
test
1-0.9/2
1-0.8/2
1-0.7/2
1-0.6/2
1-0.5/2
1-0.4/2
1-0.3/2
1-0.2/2
1-0.1/2
10.05/2
10.02/2
onetailed
test
1-0.9
1-0.8
1-0.7
1-0.6
1-0.5
1-0.4
1-0.3
1-0.2
1-0.1
1-0.05
1-0.02
1
0.1584
0.3249
0.5095
0.7265
1.0000
1.3764
1.9626
3.0777
6.3138
12.706
2
31.820
5
2
0.1421
0.2887
0.4447
0.6172
0.8165
1.0607
1.3862
1.8856
2.9200
4.3027
6.9646
3
0.1366
0.2767
0.4242
0.5844
0.7649
0.9785
1.2498
1.6377
2.3534
3.1824
4.5407
4
0.1338
0.2707
0.4142
0.5686
0.7407
0.9410
1.1896
1.5332
2.1318
2.7764
3.7469
5
0.1322
0.2672
0.4082
0.5594
0.7267
0.9195
1.1558
1.4759
2.0150
2.5706
3.3649
Пример
t0.2,4 = 0.2707;
t0.8,4 = − t0.2,4 = − 0.2707.
12.
В
научных
статьях
обычно
приводят
доверительный
соответствующий доверительной вероятности α =0,7 (0,68).
интервал
Такой интервал называется стандартным, при его использовании часто значение
доверительной погрешности не приводят.
Использование метода Стьюдента является необходимым, когда требуется знать
значение физических параметров с заданной доверительной вероятностью (как в
ряде лабораторных работ).
На практике доверительная вероятность погрешности разброса выбирается в
соответствии с доверительной вероятностью, соответствующей классу точности
измерительного прибора.
Для большинства исследований, в которых не выдвигается жестких требований к
вероятности полученных результатов, метод Корнфельда является вполне
приемлемым.
13.
14.
Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой
механике
—
фундаментальное
неравенство
(соотношение
неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного
определения пары характеризующих квантовую систему физических
наблюдаемых величин, описываемых некоммутирующими операторами
(например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и
магнитного поля).
Соотношение неопределенностей задаёт нижний предел для произведения
среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых.
Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г.,
является одним из краеугольных камней квантовой механики.
В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую
неопределённость потому, что значение
чрезвычайно мало, и поэтому
соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения
на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне
реальных практических погрешностей наших приборов или органов
чувств.
15.
Погрешность измерения и принцип неопределенности Гейзенберга
Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности
одновременного определения пары наблюдаемых физических величин,
характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими
операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения,
электрического и магнитного поля). Таким образом, в квантовой механике
постулируется
принципиальная
невозможность
одновременного
определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот
факт накладывает серьезные ограничения на применимость понятия
«истинное значение физической величины».
Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного
измерения любой величины (для многомерных величин тут
подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор
коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена
точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины.
Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не
препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно
измерить её координату (это ограничение называется стандартный
квантовый предел для координаты).
16.
Если имеется несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то
измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться
определённому распределению вероятности — это фундаментальный
постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического
отклонения Δx координаты и среднеквадратического отклонения Δp
импульса, мы найдем что:
,
где — приведённая постоянная Планка.
В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как
наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в
случае нормального распределения переменных, приводит для
произведения неопределённостей к большей нижней границе .
Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние
может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда
p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть
определён точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x
и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой)
точностью.
17.
•самое известное отношение неопределённости — между координатой и
импульсом частицы в пространстве:
•отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами
оператора полного углового момента частицы:
где i, j, k различны и Ji обозначает угловой момент вдоль оси xi.
•следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто
представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует
осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:
18.
19.
Правила построения графиков физических величин
1.Оформление осей, масштаб, размерность.
Результаты измерений и вычислений удобно представлять в графическом
виде.
Графики строятся на миллиметровой бумаге; размеры графика не должны
быть меньше 150×150 мм (половина страницы лабораторного журнала).
На лист прежде всего наносятся координатные оси (результаты прямых
измерений, как правило, откладываются на оси абсцисс).
На концах осей наносятся обозначения физических величин и их единицы
измерения.
Затем на оси наносятся масштабные деления так, чтобы расстояние
между делениями составляли 1, 2, 5 единиц или 1; 2; 5·10± n, где n – целое
число.
Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по
одной или более осям.
Начало отсчета по осям и масштаб следует выбирать так, чтобы:
1) кривая (прямая) заняла все поле графика;
2) углы между касательными к кривой и осями должны быть близки к 45º
(или 135º) по возможности в большей части графика.
20.
2. Графическое представление физических величин. После выбора и
нанесения на оси масштабов на лист наносятся значения физических
величин. Их
обозначают маленькими кружочками,
треугольниками,
квадратами, причем числовые значения, соответствующие нанесенным
точкам, не сносятся на оси. Затем от каждой точки вверх и вниз, вправо и
влево откладываются в виде отрезков соответствующие погрешности в
масштабе графика.
2.1. После нанесения точек строиться график, т.е. проводится предсказанная
теорией плавная кривая или прямая так, чтобы она пересекала все области
погрешностей или, если это не возможно, суммы отклонений
экспериментальных точек снизу и сверху кривой должны быть близки. В
правом или в левом верхнем углу (иногда посередине) пишется название той
зависимости, которая изображается графиком.
2.2. Исключение составляют градуировочные графики, на которых точки,
нанесенные без погрешностей, соединяются последовательными отрезками
прямых, а точность градуировки указывается в правом верхнем углу, под
названием графика. Однако, если в процессе градуировки прибора
абсолютная погрешность измерений изменялась, то на градуировочном
графике наносятся погрешности каждой измеренной точки. (Такая ситуация
реализуется при градуировке шкалы «амплитуда» и «частота» генератора ГСК
при помощи осциллографа). Градуировочные графики служат для отыскания
промежуточных значений линейных интерполяций.
21.
3. Линейные аппроксимации.
В экспериментах часто требуется построить график зависимости полученной
в работе физической величины Y от полученной физической величины х,
аппроксимируя Y(x) линейной функцией
, где k, b –
постоянные.
Графиком такой зависимости является прямая, а угловой коэффициент k,
часто сам является основной целью эксперимента.
Естественно, что k в этом случае представляет собой также физический
параметр, который должен быть определен с присущей данному
эксперименту точностью.
Одним из методов решения данной задачи является метод парных точек.
Однако следует иметь в виду, что метод парных точек применим при наличии
большого числа точек n ~ 10, кроме того, он является достаточно
трудоемким.
Более простым и при его аккуратном исполнении, не уступающим в
точности методу парных точек, является следующий графический метод
определения
:
22.
1) По экспериментальным точкам, нанесенным с погрешностями, проводится прямая с
использованием метода наименьших квадратов (МНК). Основополагающей
идеей аппроксимации по МНК является минимизация суммарного
среднеквадратичного отклонения экспериментальных точек от искомой прямой
.
При этом коэффициенты
определяются из условий минимизации:
Здесь
— экспериментально измеренные значения, n – число
экспериментальных точек.
В результате решения данной системы имеем выражения для расчета
коэффициентов
по экспериментально измеренным значениям:
23.
2) После вычисления коэффициентов проводится искомая прямая.
Затем выбирается экспериментальная точка, имеющая наибольшее, с учетом ее
погрешности, отклонение от графика в вертикальном направлении DYmax как
указано на рис 4. Тогда относительная погрешность Dk/k, обусловленная неточностью
значений Y, равна:
где
измерительный интервал значений Y от max до min.
При этом в обеих частях равенства стоят безразмерные величины, поэтому DYmax
и
можно одновременно вычислять в мм по графику или одновременно
брать с учетом размерности Y
Рис. 4.
24.
3) Аналогично вычисляется относительная погрешность
погрешностью при определении х.
, обусловленная
.
4)
Если одна из погрешностей,
например,
, или величина х имеет очень малые погрешности
Dх, незаметные на графике, то можно считать
dk= dky.
5) Абсолютная погрешность Dk=dk*k. В результате
.