1. Замечательные точки треугольника
Теорема 2. (обратная) Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
Теорема 3. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Теорема 4. (обратная) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Первая замечательная точка треугольника — точка пересечения биссектрис
Теорема 5. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
\(AN\), \(BM\) — биссектрисы, \(O\) — точка их пересечения.
Является ли биссектрисой \(CK\)? Если точка \(O\) равноудалена от сторон \(AB\) и \(AC\) и от сторон \(BA\) и \(BC\), то она лежит на биссектрисе угла ∠ C , так как равноудалена от сторон угла.
Эта точка и есть центр вписанной в треугольник окружности , всегда находится в треугольнике.
Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника
Теорема 6. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Допустим, точка \(O\) — точка пересечения двух серединных перпендикуляров сторон \(AB\) и \(BC\). Она равноудалена и от точек \(A\) и \(B\), и от точек \(B\) и \(C\). Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре стороны \(AC\), так как равноудалена от её конечных точек.
Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности , находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.
Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан
Теорема 7. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении \(2 : 1\), считая от вершины.
Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника .
Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника
Теорема 8. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника .
В \(1765\) году немецкий математик Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названой позже прямой Эйлера .
В двадцатых годах \(XIX\) века французские математики Понселе, Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.
Как найти точку равноудаленную от вершин треугольника?
Здравствуйте. Правильно я поняла, что это ортоцентр — центр пересечения высот треугольника?
это будет центр описанной вокруг этого треугольника окружности. Этот центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров. Короче, найди середины 2 сторон треугольника и от этой середины проведи перпендикуляры, где они пересекутся — там и точка равноудаленная от вершин треугольника
Надо поднять перпендикуляр к плоскости треугольника из точки, указанной тт. Левиным и Ага. Любая точка этого перпендикуляра — ответ.
Центр описанной окружности. Пересечение срединных перпендикуляров.
Похожие вопросы
199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.
1. ΔASB — равнобедренный, SM — медиана, поэтому SM ⊥ AB (это высота).
2. Проведем отрезок СМ. в пл. SCM проведем SO L СМ. Точку О соединим с вершинами А, В и С.
AS, BS, CS — равный наклонные, поэтому их проекции также равны, то есть ОА = ОВ= ОС = R, R — радиус описанной окружности около ΔАВС.
Итак, SM ⊥ пл. АВС.
Что и требовалось доказать.
Источник:
Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №199
к главе «Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей.».
Первая замечательная точка треугольника
Три срединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности . Доказательство. Вот произвольный треугольник. Вот его стороны. Вот срединные перпендикуляры к сторонам. Нам надо доказать, что эти три срединных перпендикуляра пересекаются не в трёх, а в одной точке, и доказать особое свойство этой точки. Нам известно, что любая точка 1го срединного перпендикуляра имеет свойство — она равноудалена от концов стороны — то есть вершин А и В. Также известно, что любая точка 2го срединного перпендикуляра имеет свойство — она равноудалена от вершин В и С. Значит, точка пересечения 1го и 2го срединных перпендикуляров обладает обоими описанными свойствами — она равноудалена от вершин А и В и равноудалена от вершин В и С. А это значит, что эта точка равноудалена от вершин А и С, то есть она лежит на 3м срединном перпендикуляре.То есть все три срединных перпендикуляра пересекаются в одной точке. Причём все вершины равноудалены от этой точки. Выходит, что можно провести окружность с центром в этой точке и проходящую через все три равноудалённые вершины — описанную около треугольника окружность. ЧТД.