Что такое градиент потенциала электрического

31. Градиент потенциала. Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля

Рассмотрим в однородном электрическом поле две точки 1 и 2 (рис.13) и предполо­жим, что заряд (+1) переходит из 1 в 2 вдоль прямолинейного отрезка Dl. Работу электрических сил DА при перемещении можно выразить, во-первых, через напряжённость поля: DА = Е_l Dl.

С другой стороны — через разность потенциалов DU₁₂.

` Е

Е_l

2

D`l Рис. 13.

Введем теперь приращение потенциала при перемещении `Dl, т.е. раз­ность потенциалов DU₂₁ точки 2 (конец пути) и точки 1 (начало пути), и будем обозначать его просто DU. ТогдаDU =DU₂₁ = -DU₁₂

Приравнивая оба выражения для работы, получим дня напряжённости электрического поля выражение

В общем случае неоднородного поля обе точки 1 и 2 нужно выбирать до­статочно близко друг от друга, строго говоря, бесконечно близко, чтобы можно было считать E на Dl постоянной. В пределе при Dl®0, Е_l = -dU/dl. т.е.

проекция вектора напряжённости электрического поля на данное направление равна быстроте изменения потенциала в этом направлении, взятой с обратным знаком.

Или используя понятие градиента скалярной величины grad U:`= — grad U,

т.е. напряженность в какой-либо точке электростатического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком.

В общем случае потенциал U — функция всех трёх декартовых координат рассматриваемой точки поля, причёмgrad U = (U/X)+ (U/Y)+ (U/Z).

Поэтому проекции вектора на оси координат связаны с потенциаломполя т.o.: E_x = — U/X;E_Y = — U/Y;E_Z = — U/Z;

Если заряд перемещается в направлении dl, перпендикулярном силовой линии, т.е. перпендикулярно `, то соs (Е,dl) = 0, Е_l = 0 и dU/dl = 0 или U=const.

Следовательно, во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал одинаков.

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотен­циальной поверхностью.

Т.к. потенциал постоянен лишь вдоль кривых, ортогональных к сило­вым линиям поля, то и эквипотенциальные поверхности должны быть везде ортогональны к силовым линиям. Очевидно, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверх­ности , равна нулю.

Электрическое поле можно изобразить графически не только при помощи силовых линий, но и при помощи эквипотенциальных поверхностей. Вокруг каж­дой системы зарядов можно провести бесконечное множество эквипотен­циальных поверхностей. Обычно их проводят т.о., чтобы разности потен­циалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхно­стями были одинаковыми.

Зная расположение силовых линий электрического поля, можно построить эквипо­тенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно в каждой точке поля определить абсолютное значение и направление вектора напряжённости электростатического по­ли.

Густота эквипотенциальных линий пропорциональна напряжённости поля: там, где больше Е, там и эквипотенциальные линии расположены теснее друг к другу.

Градиент электрического потенциала в атмосфере

В обычный день над пустынной равниной или над морем электрический потенциал по мере подъема возрастает с каждым метром примерно на 100 в. В воздухе имеется вертикальное электрическое поле Е величиной 100 в/м. Знак поля отвечает отрицательному заряду земной поверхности. Это означает, что на улице потенциал на уровне вашего носа на 200 в выше, чем потенциал на уровне пяток! Можно, конечно, спросить: «Почему бы не поставить пару электродов на воздухе в метре друг от друга и не использовать эти 100 в для электрического освещения?» А можно и удивиться: «Если действительно между моим носом и моей пяткой имеется напряжение 200 в, то почему же меня не ударяет током, как только я выхожу на улицу?»

Сперва ответим на второй вопрос. Ваше тело — довольно хороший проводник. Когда вы стоите на земле, вы вместе с нею образуете эквипотенциальную поверхность. Обычно эквипотенциальные поверхности параллельны земле (фиг. 9.1, а), но когда на земле оказываетесь вы, то они смещаются, и поле начинает выглядеть примерно так, как показано на фиг. 9.1, б. Так что разность потенциалов между вашей макушкой и пятками почти равна нулю. С земли на вашу голову переходят заряды и изменяют поле вокруг вас. Часть из них разряжается ионами воздуха, но ионный ток очень мал, ведь воздух плохой проводник.

Как же измерить такое поле, раз оно искажается от всего, что в него попадает? Имеется несколько способов. Один способ — расположить изолированный проводник на какой-то высоте над землей и не трогать его до тех пор,пока он не приобретет потенциал воздуха. Если подождать довольно долго, то даже при очень малой проводимости воздуха заряды стекут с проводника (или натекут на него), уравняв его потенциал с потенциалом воздуха на этом уровне. Тогда мы можем опустить его к земле и измерить изменение его потенциала. Другой более быстрый способ — в качестве проводника взять ведерко воды, в котором имеется небольшая течь. Вытекая, вода уносит излишек заряда, и ведерко быстро приобретает потенциал воздуха. (Заряды, как вы знаете, растекаются по поверхности, а капли воды — это уходящие «куски поверхности».) Потенциал ведра можно измерить электрометром.

Имеется еще способ прямого измерения градиента потенциала. Раз существует электрическое поле, то должен быть и поверхностный заряд на земле (σ = ε₀Е). Если мы поместим у поверхности земли плоскую металлическую пластинку А и заземлим ее, то на ней появятся отрицательные заряды (фиг. 9.2, а). Если затем прикрыть пластинку другой заземленной проводящей крышкой В, то заряды появятся уже на крышке В, а на пластинке А исчезнут. Если мы измерим заряд, перетекающий с пластинки А на землю (скажем, с помощью гальванометра в цепи заземляющего провода) в тот момент, когда А закрывают крышкой, то мы найдем плотность поверхностного заряда, бывшего на А, а значит, и электрическое поле.

Рассмотрев способы измерения электрического поля в атмосфере, продолжим теперь его описание. Измерения прежде всего показывают, что с увеличением высоты поле продолжает существовать, только становится слабее. На высоте примерно 50 км поле уже еле-еле заметно, так что большая часть изменения потенциала (интеграла от Е) приходится на малые высоты. Вся разность потенциалов между поверхностью земли и верхом атмосферы равна почти 400 000 в.

Градиент потенциальных характеристик, как его рассчитать и пример

градиент потенциала является вектором, который представляет отношение изменения электрического потенциала по отношению к расстоянию в каждой оси декартовой системы координат. Таким образом, вектор градиента потенциала указывает направление, в котором скорость изменения электрического потенциала больше, в зависимости от расстояния.

В свою очередь, модуль градиента потенциала отражает скорость изменения электрического потенциала в определенном направлении. Если значение этого известно в каждой точке пространственной области, то электрическое поле может быть получено из градиента потенциала.

Электрическое поле определяется как вектор, с которым оно имеет определенное направление и величину. Определяя направление, в котором электрический потенциал уменьшается быстрее, удаляясь от контрольной точки, и деля это значение на пройденное расстояние, получается величина электрического поля..

• 1 Характеристики
• 2 Как рассчитать?
• 3 Пример
  • 3.1 Упражнение

  черты

  Градиент потенциала представляет собой вектор, ограниченный конкретными пространственными координатами, который измеряет отношение изменения между электрическим потенциалом и расстоянием, пройденным этим потенциалом.

  Наиболее выдающиеся характеристики градиента электрического потенциала подробно описаны ниже:

  1- Потенциальный градиент — это вектор. Следовательно, он имеет определенную величину и направление.

  2- Поскольку потенциальный градиент является вектором в пространстве, он имеет величины, адресованные по осям X (ширина), Y (высокая) и Z (глубина), если в качестве эталонной системы координат берется декартова система координат.

  

  3- Этот вектор перпендикулярен эквипотенциальной поверхности в точке, в которой оценивается электрический потенциал.

  4- Вектор градиента потенциала направлен в направлении максимального изменения функции электрического потенциала в любой точке..

  5- Модуль градиента потенциала равен модулю, полученному из функции электрического потенциала по отношению к расстоянию, пройденному в направлении каждой из осей декартовой системы координат..

  6- Потенциальный градиент имеет нулевое значение в стационарных точках (максимальная, минимальная и седловая точки).

  7- В международной системе единиц (СИ) единицами измерения градиента потенциала являются вольт / метры.

  8. Направление электрического поля такое же, в котором электрический потенциал уменьшает свою величину быстрее. В свою очередь, градиент потенциала указывает в направлении, в котором потенциал увеличивает свое значение по отношению к изменению положения. Тогда электрическое поле имеет то же значение градиента потенциала, но с противоположным знаком.

  Как рассчитать?

  Разность электрических потенциалов между двумя точками (точка 1 и точка 2) определяется следующим выражением:

  

  V1: электрический потенциал в точке 1.

  V2: электрический потенциал в точке 2.

  E: величина электрического поля.

  Ѳ: угол наклона вектора электрического поля, измеренного относительно системы координат.

  Выражая указанную формулу дифференциальным способом, получаем следующее:

  

  Коэффициент E * cos (Ѳ) относится к модулю компонента электрического поля в направлении dl. Пусть L — горизонтальная ось плоскости отсчета, тогда cos (Ѳ) = 1, вот так:

  

  Далее, отношение между изменением электрического потенциала (dV) и изменением пройденного расстояния (ds) является модулем градиента потенциала для упомянутого компонента.

  Из этого следует, что величина градиента электрического потенциала равна компоненте электрического поля в направлении исследования, но с противоположным знаком.

  Однако, поскольку реальная среда является трехмерной, градиент потенциала в данной точке должен быть выражен как сумма трех пространственных компонентов на осях X, Y и Z декартовой системы..

  Разбивая вектор электрического поля на три прямоугольных компонента, мы получаем следующее:

  

  Если в плоскости имеется область, в которой электрический потенциал имеет одинаковое значение, частная производная этого параметра по каждой из декартовых координат будет равна нулю.

  Таким образом, в точках, которые находятся на эквипотенциальных поверхностях, напряженность электрического поля будет иметь нулевую величину.

  Наконец, вектор градиента потенциала может быть определен как точно такой же вектор электрического поля (по величине) с противоположным знаком. Таким образом, мы имеем следующее:

  

  пример

  Из приведенных выше расчетов необходимо:

  

  Теперь, прежде чем определять электрическое поле как функцию градиента потенциала или наоборот, сначала необходимо определить направление, в котором разность электрических потенциалов растет..

  После этого определяется коэффициент изменения электрического потенциала и изменения пройденного расстояния..

  Таким образом, мы получаем величину соответствующего электрического поля, которая равна величине градиента потенциала в этой координате.

  осуществление

  Есть две параллельные пластины, как показано на следующем рисунке.

  

  Шаг 1

  Направление роста электрического поля на декартовой системе координат определяется.

  Электрическое поле растет только в горизонтальном направлении, учитывая расположение параллельных пластин. Следовательно, можно сделать вывод, что компоненты градиента потенциала на оси Y и оси Z равны нулю..

  Шаг 2

  Данные, представляющие интерес различаются.

  — Разность потенциалов: dV = V2 — V1 = 90 В — 0 В => dV = 90 В.

  — Разница в расстоянии: дх = 10 сантиметров.

  Чтобы обеспечить соответствие единиц измерения, используемых в соответствии с Международной системой единиц, величины, не выраженные в СИ, должны быть соответственно преобразованы. Таким образом, 10 сантиметров равны 0,1 метра, и, наконец, dx = 0,1 м.

  Шаг 3

  Величина вектора градиента потенциала рассчитывается соответствующим образом.

  

  ссылки

  1. Электричество (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Лондон, Великобритания. Получено с: britannica.com
  2. Потенциальный градиент (с.ф.). Национальный автономный университет Мексики. Мехико, Мексика. Получено от: professors.dcb.unam.mx
  3. Электрическое взаимодействие Восстановлено: matematicasypoesia.com.es
  4. Потенциальный градиент (s.f.). Получено с: circuitglobe.com
  5. Связь между потенциалом и электрическим полем (с.ф.). Технологический институт Коста-Рики. Картаго, Коста-Рика. Получено из: repositoriotec.tec.ac.cr
  6. Википедия, Свободная энциклопедия (2018). Gradiente. Получено с: en.wikipedia.org

  Потенциал электрического поля (продолжение).

  Потенциал, как и напряженность, подчиняется принципу суперпозиции.

  2.14. Потенциал заряженного тела.

  3.15.Измерение разности потенциалов.

  Производится при помощи электрометров и пламенных зондов.

  4.16.Понятие скалярного поля

  Если в пространстве каждой точке поставлено в соответствие некоторое число, то говорят, что определено скалярное поле

  Если соединить точки с одинаковым значением функции, то получим поверхность u(x,y,z)=const, которая называется поверхностью уровня. Таким образом, скалярное поле характеризуется поверхностями уровня, в отличие от векторного поля, которое характеризуется силовыми линиями. Векторное поле существенно сложнее скалярного, т.к. имеет такие особенности, как источники, стоки и завихренности. Поверхности уровня не касаются и не пересекаются.

  Векторное поле характеризуется двумя дифференциальными операторами, а скалярное поле одним — градиентом.

  Для скалярного поля нас может интересовать, в каком направлении оно изменяется и как быстро это происходит, т.е. вектор. Этот вектор и называется градиентом.

  Очевидно, что градиент и поверхность уровня перпендикулярны друг другу.

  5.17.Градиент скалярного поля в различных системах координат.

  В декартовой

  В цилиндрической

  В сферической

  6.18.Связь напряженности и потенциала.

  Таким образом, напряженность показывает направление наибольшего убывания потенциала. Это дифференциальная связь между напряженностью и потенциалом. Она справедлива только в электростатике.

  7.19.Эквипотенциальные поверхности

  Если речь идет об электрическом поле, то поверхности одинакового уровня (одинакового потенциала) называют эквипотенциальными поверхностями. Они перпендикулярны (ортогональны) линиям напряженности. Следовательно, зная одно, можно изобразить и другое.

  Пример: точечный заряд, пара разноименных, пара одноименных.

  Для проводников в электростатике эквипотенциальная поверхность вырождается в эквипотенциальный объём.

  8.20.Примеры

  Пример 1:Потенциал плоскости

  Пример 2: Потенциал двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей.

  Пример 3: Потенциал сферы.

  Сшивая потенциал на границе, имеем

  Пример 4: Поле цилиндра.

  Похожие публикации:

  1. Lightspark flash player как включить
  2. Зачем нужен роуминг данных
  3. Как поменять пароль к бд postgresql
  4. Как узнать кто оставил отзыв на авито