Как доказать что четырехугольник выпуклый

Выпуклый четырехугольник

Подробнее

Подробнее

Подробнее

Определения

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.

Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники.

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.

Теорема

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) и проведем его диагональ \(AC\) . Она разбила четырехугольник на два треугольника. Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\) , следовательно:

\[\begin 360^\circ=180^\circ+180^\circ=(\angle DAC+\angle D+\angle ACD) + (\angle CAB+\angle B+\angle ACB)=\\ =\angle D+\angle B +(\angle DAC+\angle CAB)+(\angle ACD+\angle ACB)=\angle D+\angle B+\angle A+\angle C \end\]

Теорема Вариньона

Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.

Проведем диагонали четырехугольника \(ABCD\) . Рассмотрим \(\triangle ABC\) : \(MN\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(MN\parallel AC\) .

Рассмотрим \(\triangle ADC\) : \(PK\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(PK\parallel AC\) .

Таким образом, \(MN\parallel AC\parallel PK\) .

Аналогичным образом доказывается, что \(MP\parallel BD\parallel NK\) .

Следовательно, по определению \(MNKP\) – параллелограмм.

Теорема

Если в четырехугольнике \(ABCD\) диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны: \[AB^2+CD^2=BC^2+AD^2\]

Доказательство

По теореме Пифагора:

Из равенств видно, что \(AB^2+CD^2=x^2+a^2+y^2+b^2=BC^2+AD^2\)

Замечание

Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:

Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.

Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.

Определение выпуклого четырехугольника

Статья поможет разобраться в свойствах и видах выпуклых четырехугольников. Научит отличать их от невыпуклых фигур. Вы узнаете, как определить, равны фигуры друг другу или нет, найдете ссылки на подробные доказательства всех пунктов равенства.

Что такое выпуклый четырехугольник

Определение

Это почти любой знакомый нам четырехугольник. Потому что в обычной общеобразовательной школе изучают только выпуклые фигуры.

Основные свойства

Для начала проверьте наличие четырех вершин, из которых три не лежат на одной прямой. Также должно быть четыре отрезка, которые эти вершины последовательно соединяют. Если все это есть, значит перед нами четырехугольник.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Дальше нужно отличить выпуклый от невыпуклого. Сделать это очень легко — достаточно просто посмотреть на данную вам фигуру: вся она должна быть расположена с одной стороны от любой из своих сторон. На рисунке ниже видно, что для невыпуклой фигуры это условие невыполнимо.

Виды выпуклых прямоугольников

Существуют две большие группы.

1 вид — параллелограммы:

• квадрат,
• прямоугольник,
• ромб,
• параллелограмм.

2 вид — трапеции:

• произвольная,
• прямоугольная,
• равнобедренная.

Свойства диагоналей, признаки выпуклости

Можно сказать, что это, за небольшим исключением, одно и то же, поэтому объединим их в один блок.

1 свойство

Пересечение всех диагоналей.

Примечание

Точка пересечения должна быть общая. Если хотя бы одна диагональ не пересекается с остальными в одной точке, то этот четыреугольник невыпуклый.

В основе этого свойства лежит соответствующая теорема, но здесь мы ее подробно не рассматриваем.

2 свойство

Любая из диагоналей разделит четырехугольник на 2 треугольника. Можно воспользоваться рисунками, данными в первом блоке статьи, и мысленно провести одну диагональ в каждой из фигур. Результат будет подтверждением написанного в этом пункте.

Еще один признак выпуклости

Если сложить градусные меры всех углов фигуры, получится величина, равная 360º.

Признаки равенства

Выпуклые четырехугольники равны, если у них соответственно равны:

• четыре стороны и один угол;
• три стороны и два угла между ними;
• три стороны и два угла, которые не лежат между этими сторонами;
• три стороны и два противолежащих угла;
• три угла и две стороны между ними;
• три угла и две смежные сороны, которые не лежат между этими углами;
• три угла и две смежные стороны, причем одна из них лежит между этими углами;
• фигуры равны, если площадь одной равна площади другой.

Подробные доказательства по каждому пункту с иллюстрациями можно найти здесь: https://yadi.sk/i/V0X_9c1DY1Wehg

Сумма квадратов диагоналей

Если сумма квадратов диагоналей и сумма квадратов всех сторон фигуры равны, то это параллелограмм. Это свойство относится ко всем видам параллелограмма (ромб, квадрат, прямоугольник, собственно параллелограмм).

Насколько полезной была для вас статья?

Описанные четырехугольники

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

ЗАМЕЧАНИЕ . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

ТЕОРЕМА 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH = AE + BE + CG + DG,

AH + BF + CF + DH = AD + BC,

AE + BE + CG + DG = AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

1. Окружность касается стороны BC (рис.4). Рис.4 В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
2. Окружность не касается стороны BC . В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
   1. Точка K лежит между точками C и D (рис.5) Рис.5
   2. Точка C лежит между точками K и D (рис.6) Рис.6

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

ТЕОРЕМА 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

ПРИМЕРЫ ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

В любой квадрат можно вписать окружность

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований

Справочник по математике для школьников

• Арифметика
• Алгебра
• Тригонометрия
• Геометрия (планиметрия)
• Геометрия (стереометрия)
• Элементы математического анализа
• Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

• Основные фигуры планиметрии
  • Фигуры, составляющие основу планиметрии
  • Углы на плоскости
  • Теорема Фалеса
  • Углы, связанные с окружностью
  • Признаки параллельности прямых
  • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
  • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
  • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
  • Свойства сторон и углов треугольника
  • Подобие треугольников
  • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
  • Биссектриса треугольника
  • Медиана треугольника
  • Высота треугольника. Задача Фаньяно
  • Средние линии треугольника
  • Теорема Чевы
  • Теорема Менелая
  • Описанная окружность. Теорема синусов
  • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
  • Площадь треугольника
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники
  • Параллелограммы
  • Трапеции
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Многоугольники
  • Правильные многоугольники
  • Углы, связанные с окружностью
  • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
  • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
  • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Площадь треугольника
  • Вывод формул Герона и Брахмагупты
  • Средние линии
  • Геометрические места точек на плоскости
  • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

  Учебные пособия для школьников

  • Задачи на проценты
  • Квадратный трехчлен
  • Метод координат на плоскости
  • Прогрессии
  • Решение алгебраических уравнений
  • Решение иррациональных неравенств
  • Решение логарифмических неравенств
  • Решение логарифмических уравнений
  • Решение показательных неравенств
  • Решение показательных уравнений
  • Решение рациональных неравенств
  • Решение тригонометрических уравнений
  • Степень с рациональным показателем
  • Системы уравнений
  • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
  • Уравнения и неравенства с модулями
  • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

  Демоверсии ЕГЭ

  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
  • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

  Демоверсии ОГЭ

  • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
  • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе

  Как доказать что четырехугольник выпуклый

  Решение:
  Произвольный выпуклый четырехугольник
  d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

  S =d1d2 sin
  Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются. Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными. Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
  невыпуклые (A1B1C1D1).

  Похожие публикации:

  1. Как обновить сводную таблицу в гугл таблице
  2. Как перемещать объект в фотошопе на одном слое
  3. Как перенести дробь на другую строку
  4. Сколько окон может быть одновременно открыто