2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?
На самом деле это разновидность уравнения , и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой, а отыскивается он по элементарной формуле .
Примечание: точки можно поменять местами: . Такое решение будет равноценным.
Задача 65
Составить уравнение прямой по двум точкам .
Решение: используем формулу:
и перетасовываем колоду:
Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае следует умножить обе части на 6:
Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:
Ответ:
Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:
1) Подставим координаты точки :
2) Подставим координаты точки :
Вывод: уравнение прямой составлено правильно.
Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.
Стоит отметить, что это как раз тот случай, где графическая проверка затруднительна, поскольку построить прямую , и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.
Отмечу ещё пару технических моментов решения. В данной задаче несколько выгоднее воспользоваться «зеркальной» формулой и по тем же точкам составить уравнение:
Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.
Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, а нельзя ли его ещё упростить? Так, если получилось уравнение , то его целесообразно сократить на двойку: – это уравнение будет задавать ту же самую прямую (подумайте, почему).
Получив ответ в Задаче 65, я на всякий случай мысленно проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.
Задача 66
Составить уравнение прямой, проходящей через точки .
Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.
Аналогично предыдущему параграфу, если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. Задачи 63-64).
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Уравнение прямой проходящей через две точки
Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.
Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.
Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:
- каноническое уравнение,
- параметрическое уравнение,
- общее уравнение прямой,
- уравнение прямой с угловым коэффициентом,
- уравнение прямой в полярных координатах и другие.
Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
xa и ya — координаты первой точки A,
xb и yb — координаты второй точки B
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
x=l \cdot t + x_a \\ y=m \cdot t + y_a \end>xa, ya — координаты точки, лежащей на прямой,
— координаты направляющего вектора прямой,
t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
= \dfrac = \dfrac>xa, ya и za — координаты первой точки A,
xb, yb и zb — координаты второй точки B
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
< \begin
xa, ya и za — координаты точки, лежащей на прямой,
— координаты направляющего вектора прямой,
t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки
Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид = \dfrac>
Подставим в формулу координаты точек A и B: = \dfrac>
Получаем каноническое уравнение прямой: = \dfrac>
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Параметрическое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой имеет вид:
< \beginx=l \cdot t + x_a \\ y=m \cdot t + y_a \end >
где — координаты точки, лежащей на прямой, > — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки
Найдем координаты направляющего вектора:
Получаем параметрическое уравнение:
\begin x=2 t + 1 \\ y=6 t + 2 \end
Используем калькулятор для проверки полученного ответа.
Теория: Уравнение прямой по двум точкам
Запишите уравнения для коэффициентов \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\) при подстановке координат точек этой прямой:
\(\displaystyle \left\ < \vphantom1\\[5px] 1 \end> \right. \)
\(\displaystyle =k\,\cdot \) \(\displaystyle +b\)
На заданной нам прямой выберем произвольно точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) с целыми координатами (для удобства):
Информация
Для получения правильного ответа могут быть выбраны любые точки, лежащие на заданной прямой.
Подставим координаты точек \(\displaystyle A \) и \(\displaystyle B \) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b\, \)
Точка \(\displaystyle A(\color< 1>;\color) \) с координатами \(\displaystyle x=\color< 1>\) и \(\displaystyle y=\color< 3>\) поэтому
Точка \(\displaystyle B(\color< 2>;\color< 5>) \) с координатами \(\displaystyle x=\color< 2>\) и \(\displaystyle y=\color< 5>\) поэтому
Таким образом, уравнения для коэффициентов \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) будут иметь вид:
Уравнение прямой по двум точкам
Данный онлайн калькулятор находит формулы параметрического уравнения прямой и уравнения прямой с угловым коэффициентом по координатам двух точек, принадлежащих прямой.
На этой странице вы найдете два калькулятора, которые строят уравнение прямой по координатам двух точек, принадлежащих этой прямой.
Первый калькулятор находит уравнение прямой с угловым коэффициентом, то есть уравнение в форме . Также он строит график и отдельно выводит угловой коэффициент и значение y в месте пересечения прямой с осью ординат.
Второй калькулятор находит параметрические уравнения прямой, то есть систему уравнений вида . Он также строит график и отдельно выводит направляющий вектор.
Формулы расчета можно найти под калькуляторами.