Нахождение производной
Есть задача:
Написать программу, которая реализует подбор значений с целью поиска максимального значения второй производной. Требуемое значение может быть найдено путем проверки промежуточных значений функции (или первой / второй производной). Следует использовать указатель на функцию, для которого определить typedef. Исходный код должен быть разделен на две единицы трансляции. Первая единица трансляции будет представлена заголовочным файлом и файлом реализации. Определение typedef, а также прототип функции поиска нужного значения, должны быть расположены в заголовочном файле. Определение этой функции следует осуществить в файле реализации. Функция для проверки работоспособности программы, а также функция main (), должны быть расположены в другой единице трансляции.
Функция для тестирования может быть произвольной.
Не долго раздумывая, взял y = x^2
// file main.cpp #include "stdafx.h" #include #include "derivative.h" using namespace std; double parabola(double x) < return pow(x, 2); >void main() < printf("%.8f\n", firstDerivative(parabola, 2)); >// file derivative.h #pragma once #ifndef DERIVATIVE_H #define DERIVATIVE_H typedef double(*parabolaPointer)(double); double firstDerivative(parabolaPointer f, double); #endif // file derivative.cpp #include "stdafx.h" #include "derivative.h" #pragma once double firstDerivative(parabolaPointer f, double x, double deltaX = 0.0000001) < return (f(x + deltaX) - f(x)) / deltaX; >Производную считаю по формуле y'(x) = (y(x + Δx) — y(x)) / Δx
Если я вместо х, подставляю 2, то считает оно правильно. Выводит 4.0000009
Обгуглив все, что можно на тему как найти вторую производную, я ничего не нашел. Разве что на cyberforum.ru было что-то связанное с производными высших порядков.
double Numerator = (f(x + deltaX) - f(x0 + deltaX)) / ((x + deltaX) - (x0 + deltaX)) - (f(x) - f(x0)) / (x - x0); double secondDerivative = Numerator / deltaX; Только что-то считает оно как-то неправильно.
Спросив у лектора помощи, он сказал, не имеет права помогать с заданиями. Добавил только, что в этом задании мне, для начала, нужно найти формулу нахождения второй производной, потом найти несколько производных на неком интервале и занести их в вектор. В цикле пройтись по вектору и найти максимальное значение. С этим я справлюсь, мой вопрос, кто-нибудь может, пожалуйста, помочь с нахождением второй производной либо хотя бы есть какая-то формула?
Как найти производную?
Примеры решений
Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.
Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.
Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.
Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.
Собственно, сразу рассмотрим пример:
Найти производную функции
Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .
Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Обозначения: Производную обозначают или .
ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!
Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:
производную константы:
, где – постоянное число;
производную степенной функции:
, в частности: , , .
Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.
В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:
1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной
, где – постоянное число (константа)
Найти производную функции
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .
Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:
А теперь превращаем наш косинус по таблице:
Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:
2) Производная суммы равна сумме производных
Найти производную функции
Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
Применяем второе правило:
Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.
Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:
Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:
Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
Найти производную функции
Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.
3) Производная произведения функций
Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:
Это необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:
Найти производную функции
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:
Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.
Найти производную функции
В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:
Теперь для скобки используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)
4) Производная частного функций
В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:
Найти производную функции
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:
Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.
Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:
Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:
Штрихов больше нет, задание выполнено.
На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Время от времени встречаются хитрые задачки:
Найти производную функции
Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.
В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:
Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:
Найти производную функции
Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:
Произведение все-таки дифференцировать проще:
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
5) Производная сложной функции
Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.
Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это — константы. Поэтому выносится за знак производной, а .
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Исследование функции с помощью производной
Теория теорией, а дифференцировать хочется всегда. Эта статья посвящена практике нахождения производных.
Производные основных функций
Должно быть, вы уже слышали о производной и даже пробовали взять её мозговым штурмом. При отрицательном ответе вам обязательно нужно прокатиться на американских горках в нашей статье «Производная». В ней рассмотрели основные понятия производной.
Главный вопрос этой статьи: как ее находить? Для этого существуют свои формулы и правила, которых необходимо придерживаться для правильного решения заданий.
Ниже приведена таблица с формулами для нахождения производных основных функций. Применяя эти формулы, можно найти производную почти любой функции.
Не пугайтесь, если вам покажется, что их много: это основные формулы, с помощью которых можно решить большинство задач.
| 1 | C’ = 0, C = const |
| 2 | \((x^n)’ = n * x^, x > 0\) |
| 3 | \((a^x)’ = a^x * ln(a), a > 0, a \neq 1\) |
| 4 | \((e^x)’ = e^x\) |
| 5 | \((log_x)’ = \frac, x > 0, a > 0, a \neq 1\) |
| 6 | \((ln(x))’ = \frac, x > 0\) |
| 7 | \((\sqrt)’ = \frac<2\sqrt>, x > 0\) |
| 8 | (sin(x))’ = cos(x) |
| 9 | (cos(x))’ = -sin(x) |
| 10 | \((tg(x))’ = \fracx>, x \neq \frac<\pi> + \pi n, n \in Z\) |
| 11 | \((ctg(x))’ = -\frac |
Смотреть на формулы и учить их — это круто, прямо ощущаем себя великими учеными. Что может быть круче этого? Только применять их на практике. Рассмотрим несколько примеров нахождения производной.
Пример 1. Найдите производную функции f(x) = 5.
Решение: 5 — это число, то есть константа. Тогда, пользуясь первой формулой в таблице, получаем:
Пример 2. Найдите производную функции \(f(x) = x^4\)
Решение: В этом случае необходимо воспользоваться второй формулой из таблицы.
Пример 3. Найдите производную функции \(f(x) = e^x\)
Решение: В этом случае необходимо воспользоваться четвертой формулой из таблицы.
Правила дифференцирования
С полной уверенностью можем сказать, что вам встречались сложные функции. Даже намного сложнее, чем те, которые приведены в таблицах. Там и сумма, и произведение, и формула в формуле. Одним словом: ужас! Как брать производную, если перед функцией стоит коэффициент, или в функцию включено несколько разных выражений? На этот случай существуют правила дифференцирования.
В сложных функциях невозможно пользоваться только формулами для нахождения производной.
1. Коэффициент можно вынести за знак производной.
Например, необходимо взять производную у функции f(x) = 6sin(x). Тогда, пользуясь правилом дифференцирования и таблицей, получаем ответ 6cos(x).
2. Производная суммы (разности) равняется сумме (разности) производных.
Найдем производную \(f(x) = 4x^5 — \sqrt + cos(x)\).
3. Производная произведения.
(f(x) * g(x))’ = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Для примера возьмем производную функции f(x) = x 2 * ln(x)
f'(x) = (x 2 * ln(x))’ = (x 2 )’ * ln(x) + x 2 * (ln(x))’
\(f'(x) = 2x * ln(x) + x^2 * \frac = 2x * ln(x) + x\)
4. Производная частного.
Возьмем производную функции \(f(x) = \frac\)
5. Производная сложной функции.
Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция.
Давайте представим матрешку: в одну большую куклу складывается куколка поменьше, а в нее еще меньше и так далее. Точно так же и с функцией: “внутри” одной функции может лежать другая функция.
Чтобы найти производную сложной функции, необходимо найти производную “внутренней” функции и умножить ее на производную “внешней” функции.
Найдем производную уже рассмотренной функции \(f(x) = cos(\sqrt)\).
Исследование функции с помощью производной
В задании нам может быть дана только функция без ее графика. Что делать в таком случае, если нам нужно найти, например, отрезки возрастания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции? Не во всех случаях получится построить график, да и это займет достаточно большое количество времени, которое и без того ограничено на экзамене.
В этом случае мы можем проанализировать поведение функции с помощью производной.
Исследуем функцию f(x) = (x — 4) 2 (x + 11) + 4.
Cначала возьмем производную от этой функции:
f'(x) = ((x — 4) 2 (x + 11))‘ + 4′ = ((x — 4) 2 (x + 11))’ = ((x — 4) 2 )'(x + 11) + (x — 4) 2 (x + 11)’
f'(x) = 2(x — 4)(x + 11) + (x — 4) 2 * 1 = (x — 4)(2(x + 11) + (x — 4)) = (x — 4)(3x + 18)
Любое исследование функции с помощью производной начинается именно с дифференцирования функции.
Теперь рассмотрим алгоритм нахождения точек минимума и максимума:
2 шаг. Найденную производную необходимо приравнять к 0 и решить полученное уравнение.
3 шаг. Расставить корни полученного уравнения на числовой прямой.
4 шаг. Определяем знаки производной на промежутках. Для этого необходимо подставить любое значение с выбранного промежутка в производную функции.
Найдем точки минимума и максимума в нашей функции. Поскольку производную мы уже взяли, можно сразу перейти ко второму шагу:
Полученные значения х расставляем на числовой прямой:
Теперь определим знаки на промежутках слева направо.
1. Возьмем точку -10 и подставим ее в производную функции:
(-10 — 4)(3 * (-10) + 18) = (-14) * (-12) = 168. Производная на этом промежутке будет положительной.
2. Возьмем точку 0 и подставим ее в производную функции:
(0 — 4)(3 * 0 + 18) = (-4) * 18 = -72. Производная на этом промежутке будет отрицательной.
3. Возьмем точку 5 и подставим ее в производную функции:
(5 — 4)(3 * 5 + 18) = 33. Производная на этом промежутке будет положительной.
Расставим полученные знаки на прямой:
Остался последний пятый шаг. В точке -6 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке 4 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
| Важно! Если в задании встречается формулировка “Найдите точку минимума (максимума) функции”, то необходимо пользоваться именно этим алгоритмом. |
Но это не все выводы, которые уже можно сделать о функции. Вспомним, что функция возрастает, когда производная положительна, а убывает, когда производная отрицательна. Поскольку мы уже определили знаки производной, то смело можем сделать вывод, что на промежутках до -6 и после 4 функция будет возрастать, а на промежутке от -6 до 4 — убывать.
Однако могут встретиться задания, в которых необходимо найти наибольшее или наименьшее значение функции на определенном интервале.
Для выполнения таких заданий существует следующий алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
Шаг 2. Найти точки минимума и максимума функции.
Шаг 3. Определить, какие из точек минимума и максимума принадлежат заданному интервалу.
Для примера найдем наибольшее значение функции f(x) = (x — 4) 2 (x + 11) + 4 на отрезке [-10; 0].
Первые два шага мы уже выполнили, когда рассматривали алгоритм нахождения точек минимума и максимума. Из них отрезку [-10; 0] принадлежит х = -6 — точка максимума.
Теперь определим значение функции в трех точках:
f(-10) = (-10 — 4) 2 (-10 + 11) + 4 = 196 + 4 = 200
f(-6) = (-6 — 4) 2 (-6 + 11) + 4 = 500 + 4 = 504
f(0) = (0 — 4) 2 (0 + 11) + 4 = 176 + 4 = 180
Наибольшее из полученных значений — это 504. Это и будет ответ.
Может возникнуть вопрос, почему важно проверять значение функции и на границах отрезка? В заданиях ЕГЭ очень часто встречаются случаи, когда нужно найти наибольшее значение, и в интервале лежит точка максимума, или когда нужно найти наименьшее значение функции и в интервале лежит точка минимума. Логично будет проверить только экстремумы, поскольку в них, скорее всего, достигается наибольшее или наименьшее значение.
Подведем итог.
Как можно исследовать функцию с помощью производной?
С помощью производной можно с точностью сказать, на каких участках функция будет возрастать и убывать, сколько точек максимума и минимума у нее есть, какое наибольшее или наименьшее значение принимает функция на заданном участке.
Фактчек
- Для нахождения производной необходимо пользоваться специальными формулами для производной. С их помощью можно найти производную любой из основных функций.
- Если функция усложнена коэффициентом, является сложной или представлена в виде суммы, произведения или частного, то необходимо пользоваться правилами дифференцирования. Они помогут правильно найти производную.
- Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция.
- С помощью производной можно исследовать функцию, а именно найти точки минимума и максимума, определить, на каких участках функция возрастает и убывает, найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
Проверь себя
Задание 1.
Чему будет равна производная f(x) = 3?
- 3;
- 1;
- 0;
- Производную этой функции невозможно найти.
Задание 2.
Чему будет равна производная f(x) = 5x 2 ?
Задание 3.
Чему будет равна производная f(x) = 13x + 5 + x 3 ?
- 18 + 3x 2 ;
- 13 + 3x 2 ;
- 18;
- 3x 2 .
Задание 4.
Чему будет равна производная f(x) = ln(x)?
Задание 5.
Чему будет равна производная f(x) = tg(x)?
Ответы: 1. — 3 2. — 1 3. — 2 4. — 2 5. — 1
Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций
Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.
ПРАВИЛО 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство
где c – любое число.
Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.
ПРАВИЛО 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле
то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.
ПРАВИЛО 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле
то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.
ПРАВИЛО 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле
Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.
ПРАВИЛО 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида
При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.
ПРАВИЛО 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле
Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .
Таблица производных часто встречающихся функций
В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.
где c – любое число
Формула для производной:
где c – любое число
Формула для производной: