Корень четной кратности как определить

Скачай курс
в приложении

Перейти в приложение
Открыть мобильную версию сайта

Наши условия использования и конфиденциальности

Public user contributions licensed under cc-wiki license with attribution required

Научный форум dxdy

$x^4-5x^2-2011=0$

Доброго времени суток. Помогите утвердиться в мысли. Имеет ли уравнение четные или нечетные корни?

Понимаю так, что речь идет о целых корнях? Перепишем:

$x^2(x^2-5)=2011$ . Очевидно $x^2$ и $x^2-5$ имеют разную четность, поэтому их произведение не может быть нечетным числом, т.е ни четных или ни нечетных и, соответственно, целых решений у этого уравнения нет? Верно?

Re: Четность и нечетность
18.02.2019, 13:53

Последний раз редактировалось wrest 18.02.2019, 13:54, всего редактировалось 1 раз.

$2011$

Stensen
— простое число, ващета (это так, на будущее) 🙂

Возможно, имелись в виду корни четной и\или нечетной кратности ?

Четная/нечетная кратность корня — этого когда имеется четное/нечетное количество равных (одинаковых) корней. Например $(x-1)^3=0$ , тут $x=1$ корень кратности , то есть нечетной кратности.

что такое корни четной кратности?

А Если рг ( 1 г. те) — корень кратности ( л,
( 1 ( лг п) уравнения / ( р) 0, то число рг
называется кратностью
характеристического корня. [ 1 ]
Существует п линейно независимых
собственных векторов, причем каждому
корню кратности k уравнения периодов
(9.2.1) соответствует k таких векторов. [ 2 ]
Его производная порядка ( п — 1) имеет
эти же корни первой кратности [ I, 186 ],
и, следовательно, внеинтегральный член
в написанном уравнении равен нулю. [ 3 ]
F ( х) — срт ( ж) , кроме корня кратности т
— 1 в начале и одного простого корня,
меньшего чем, должна иметь еще по
крайней мере один корень нечетного
порядка ( где она еще раз меняет знак) ,
что невозможно. [ 4 ]
Число 1 не есть корень
характеристического уравнения, а 3 есть
его корень первой кратности . [ 5 ]
Первое слагаемое обращается в нуль, ибо
( х2 — 1) в точках 1 имеет корень
кратности п, а каждое
дифференцирование снижает кратность
корня на единицу. [ 6 ]
Идея метода интервалов заключается в
том, что многочлен Р ( х) при переходе
через свой корень нечетной кратности
меняет знак, а при переходе через корень
четной кратности сохраняет знак. [ 7 ]
Доказать, что ограничение полинома Р на
любую прямую, проходящую через точку
А, имеет в точке А корень кратности не
меньше k, причем кратность корня
больше k лишь для конечного числа
прямых. [ 8 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 9 ]
Если при этом од и о связаны равенством
Т ( од 0о) О гДе Т ( а 0) определяется в
(4.6), то имеем корень кратности
три. [ 10 ]
С математической точки зрения тот факт,
что частное решение уравнения ( 32)
имеет вид ctcost — где с-постоянная,
объясняется тем, что число ku i ( см.
пример 3) есть корень кратности 1
характеристического уравнения. [ 11 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 12 ]
Положим далее, что все определители
упомянутой таблицы порядка ( я — 2)
имеют X а корнем кратности k %, но не
выше, и так дальше, и, наконец, все
определители порядка ( п — т) имеют
упомянутый корень кратности km, а
хоть один из определителей порядка ( п —
т — 1) уже вовсе не обращается в нуль при
Х а. То же самое будет, очевидно, иметь
место и для определителей более низкого
порядка. [ 13 ]
Поскольку полином ф ( t) положителен в
промежутке [ т, М ], внутри этого
промежутка он не может иметь корней
нечетной кратности, кроме того, так как
при переходе через корень нечетной
кратности знак полинома меняется, а
знак ф ( t) для достаточно больших t
совпадает со знаком старшего
коэффициента сп, то в случае с О число
корней нечетной кратности ,
превосходящих или равных М, будет
четным, а если с 0, — нечетным. [ 14 ]
В таких случаях целесообразно ввести
понятие кратности корня. Корни
кратности единица называются
простыми корнями многочлена. Таким
образом, многочлен Pt ( x) в
вышеприведенном примере ( 5) имеет
один корень х кратности два.

Похожие вопросы

Общая схема решения задач B15

Все задачи B15, которые встречаются в ЕГЭ по математике, делятся на два типа:

Задачи на поиск максимального или минимального значения функции на отрезке. Иногда отрезок не задан — в этом случае работаем на всей числовой прямой;
Задачи на точку максимума/минимума. Решаются чуть проще, зато функции здесь намного разнообразнее.

У каждого из них свои алгоритмы решения, которые будут рассмотрены ниже. Но в любом случае, чтобы решить задачу B15, учитесь считать производную — см. «Производная». Без производных здесь делать нечего.

Задачи на максимальное/минимальное значение

Если в задаче B15 требуется найти максимальное или минимальное значение на отрезке выполняем следующие действия:

Найти производную функции:
Решить уравнение Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому;
Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка Оставшиеся числа обозначим их, как правило, будет немного;
Подставим концы отрезка и точки в исходную функцию. Получим набор чисел из которого выбираем наибольше или наименьшее значение — это и будет ответ.

Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Такое вполне может встретиться на настоящем экзамене. Эти точки можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию — даже если уравнение не имело решений.

Также следует внимательно читать условие задачи. Когда требуется найти значение функции (максимальное или минимальное), концы отрезка и точки подставляются именно а не в ее производную.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7

Для начала найдем производную:

y ’ = ( x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7)’ = 3 x 2 + 6 x − 9

Затем приравняем ее к нулю:

y ’ = 0;
3 x 2 + 6 x − 9 = 0;
.
x ₁ = −3; x ₂ = 1.

Вычеркиваем корень поскольку он не принадлежит отрезку Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке Имеем:

y (−5) = (−5) 3 + 3 · (−5) 2 − 9 · (−5) − 7 = −12;
y (−3) = (−3) 3 + 3 · (−3) 2 − 9 · (−3) − 7 = 20;
y (0) = 0 3 + 3 · 0 2 − 9 · 0 − 7 = −7.

Очевидно, что наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке

Задачи на точки максимума/минимума

Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума на отрезке Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:

Найти производную функции:
Решить уравнение Если производная — дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим
Отметить на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами;
Среди оставшихся точек ищем ту, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка максимума). Такая точка должна быть только одна — это и будет ответ.

В целом, задачи на точки максимума/минимума считаются даже проще, чем задачи на поиск наименьшего/наибольшего значения. Это происходит хотя бы из-за того, что здесь не надо считать значение функции в конкретных точках. Статистика свидетельствует, что именно на этом шаге ученики допускают больше всего ошибок.

Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.

Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками Помните: при переходе через корень четной кратности знак производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки читают слева направо, числовой оси.

Исходная функция

Задача. Найдите точку максимума функции на отрезке

Производная функции

Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю числитель:

Получили два корня. Теперь приравниваем к нулю знаменатель:

Получили корень второй кратности. При переходе через него знак производной не меняется. Осталось отметить точки на координатной прямой, а затем расставить знаки и границы. Имеем:

Знаки производной

Очевидно, что внутри отрезка останется лишь одна точка в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.

Еще раз поясню, чем отличаются точка экстремума от самого экстремума. это значение переменной, при которой

функция принимает наибольшее или наименьшее значение. это значение самой функции, максимальное или минимальное в некоторой окрестности.

Смотрите также:

Задача B15 — исследование функции с помощью производной
Задача B15: Решение сложных задач и производная частного
Как сдать ЕГЭ по математике
Как решать задачи B15 без производных
Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
B4: счетчики на электричество

Вход для учеников
ЕГЭ-2024
Часть 1
1. Уравнения
2. Вероятность
3. Планиметрия
4. Тригонометрия
5. Стереометрия
6. Производные
7. Формулы
8. Текстовые задачи
11. Экстремумы функций
Часть 2
12. Тригонометрические уравнения
13. Сложная стереометрия
14. Сложные неравенства
15. Экономические задачи
16. Сложная планиметрия
17. Задачи с параметром
18. Теория чисел
Архив
X1. Движение и время
X2. Графики
X3. Площади
X4. Стереометрия
X5. Экономика
Об экзамене
Советы
2014
2015
2016
2017
2018
2019
Школьникам
Студентам
Реклама
Обо мне

При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
Карта сайта

Корень четной кратности как определить