Сколько будет бесконечность разделить на бесконечность

Бесконечность

Когда я ещё был маленьким мальчиком, мне было очень интересно, почему нельзя делить на ноль.

То есть меня не удивлял сам факт запрета — уже тогда мне было понятно, что в этом мире вообще ничего нельзя делать интересного и приятного, а наоборот нужно делать скучное и противное. Умываться, например, нужно, а брызгаться уже нельзя. Но мне было интересно, что же будет, если всё же на этот ноль разделить? Ничего не будет — отвечали взрослые — потому что нельзя делить, понимаешь, НЕЛЬЗЯ. Ну так я понимаю, что нельзя. В розетку например пальцы тоже совать нельзя, но всё равно ведь можно сунуть и тогда убьет током. И вообще, как правило все идиотские запреты взрослых как-то всё же обосновывались — глисты там подхватишь или дядя будет ругаться. А тут нельзя делить и всё. Видимо, думал я, тогда произойдёт что-то такое страшное, что даже взрослые боятся об этом говорить.
А потом, гораздо позже, я узнал что если разделить на ноль, получится бесконечность. И ничего в этой бесконечности нет страшного — так просто циферка, восьмёрка на боку. Бывает плюс бесконечность, бывает минус. Её даже можно складывать и вычитать. Только бесконечность плюс бесконечность всё равно будет бесконечность, хотя чисто по ощущениям, две бесконечности конечно больше, чем одна.

И совершенно непонятно, зачем от меня это так долго скрывали. Видимо, люди ничего вообще не понимают в бесконечности, а когда они чего-то не понимают, то это сразу нельзя.

Сколько будет, если бесконечность поделить на бесконечность?

Есть в математике такая задача (комплекс задач) — раскрытие неопределенностей — когда величины, стремящиеся к бесконечности (или 0), находятся в таких «взаимоотношениях», при которых. в общем, типа ∞/∞, ∞*0, 0/0, ∞ в степени 0, 0 в степени ∞. Так вот, величины, стремящиеся к определенным значениям (тем же 0 или ∞), НЕ ЕСТЬ те самые значения, а ЧТО же они есть — это зависит от конкретного случая. Поэтому ∞/∞ не обязательно равно 1, т.к. числитель и знаменатель здесь могут стремиться к ∞ «с разной скоростью», и если числитель «быстрее», то значение дроби ∞, если же «быстрее» знаменатель, то значение дроби «обнуляется». Если же числитель и знаменатель «равноскоростны», то дробь =1.

Так примерно, если «на пальцах».

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
6 лет назад

Будет бесконечность, потому что бесконечность это — отсутствие цифр, а это приравниваются к нулю, а любые математические действия с нулем в результате дают нуль. Бесконечности на фактах не существует, она существует лишь в невозможности обнаружить на опыте конечные величины.

в избранное ссылка отблагодарить
Kat2017 [72]

В высшей математике (без всякой философии) это равно единице.
Как у вас из бесконечности стал ноль не понятно — 6 лет назад

Данный комментарий был добавлен в качестве пояснения к голосованию против данного материала >бесконечность это — отсутствие цифр >а это приравнивается к нулю
Даже, если простить вам не понимание разницы между цифрой и числом. Меньшей глупостью и демагогией, ваш пассаж не становится.
>любые математические действия с нулем в результате дают нуль
Это проверяется на раз-два: 11+0=11; 0-18=-18
Где ваша логика, Душ? — 6 лет назад

greta45 [131K]

Душ выразил, что если бесконечность одного порядка поделить на бесконечность другого порядка, то такой вариант как бесконечность в ответе тоже не исключен. Зачем сразу минусовать.
Бесконечности тоже разные бывают. Если вы поделите бесконечность времени на бесконечность пространства, то вы получите бесконечное настоящее-день сурка. Это разве не так? Он ответил философски, а не математически. — 6 лет назад

greta45 [131K]

И как читают, что человек написал. Он написал в первом же предложении «будет бесконечность». А ему про ноль примерчики отписали. — 6 лет назад

комментировать
Люда2 90252 [3.8K]
6 лет назад

Если попробовать ответить на поставленный вопрос серьёзно, то стоит заметить, что с точки зрения жёсткой математической логики арифметическая операция «деление» (отношение) определяет «во сколько раз делимое(числитель) больше делителя(знаменателя )» или иными словами » в каком соотношении друг к другу они находятся». Если теперь попробовать применить данную логику к такому понятию, как «бесконечность», то получится полный абсурд, так как введя конкретное численное значение данного соотношения, мы автоматически «ограничим» саму «бесконечность», поскольку будем точно знать какая из » бесконечностей» больше, а какая меньше, что позволяет их сравнивать между собой и что является самой что ни на есть нелепостью . И это ещё мягко сказано. Поэтому , что и делает это понятие «неопределенностью», которое уже знакомо тем, кто хоть чуточку сведущ в высшей математике .

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Чему равно бесконечность делить на 0?

На страницу 1 , 2 След.

Чему равно бесконечность делить на 0?
17.09.2012, 13:41
Собственно, вопрос в заголовке .
Re: Чему равно бесконечность делить на 0?
17.09.2012, 13:58

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 17.09.2012, 14:19, всего редактировалось 5 раз(а).

$$\dfrac <\infty> А зубы не будете сверлить? Если имеются в виду случаи предельных неопределённостей, то — бесконечности (с неопределённым знаком). То есть предел частного двух функций при стремлении числителя к бесконечности, а знаменателя к нулю (при этом знаменатель не должен обращаться в ноль в какой-то проколотой окрестности предельной точки), равен бесконечности. Иными словами отношение бесконечно большой функции к бесконечно малой (с указанным ограничением) есть бесконечно большая функция. Символически это может обозначаться =\infty$» />, но знак дробной черты и слово «делить» не означают операцию деления. В обычном смысле операцию деления к символу бесконечности применять некорректно, нельзя. Re: Чему равно бесконечность делить на 0? 17.09.2012, 14:14 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Бесконечности вообще нет (в смысле — среди чисел, которые можно умножать, делить и др.), поэтому нет не только ответа, но и вопроса.

Re: Чему равно бесконечность делить на 0?
17.09.2012, 14:26
gris в сообщении #620036 писал(а):

$$\dfrac <\infty> А зубы не будете сверлить? Если имеются в виду случаи предельных неопределённостей, то — бесконечности (с неопределённым знаком). То есть предел частного двух функций при стремлении числителя к бесконечности, а знаменателя к нулю (при этом знаменатель не должен обращаться в ноль в какой-то проколотой окрестности предельной точки), равен бесконечности. Иными словами отношение бесконечно большой функции к бесконечно малой (с указанным ограничением) есть бесконечно большая функция. Символически это может обозначаться =\infty$» />, но знак дробной черты и слово «делить» не означают операцию деления. В обычном смысле операцию деления к символу бесконечности применять некорректно, нельзя. Логика шепчет, что делить на ноль любое число уже будет бесконечность, а когда саму бесконечность делим на ноль, хочется получить какую-то сверхбесконечность. Нет такого понятия в математике, все бесконечности одинаковы? Как только выясню, сразу за зубы сяду 🙂 Re: Чему равно бесконечность делить на 0? 17.09.2012, 14:37 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 17.09.2012, 14:41, всего редактировалось 1 раз.

$https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/2/6f2cf5e2860f0a4621a3c3c63c66e84a82.png^<\infty> В обычном смысле операция деления просто не определяется для знаменателя, равного нулю. Поэтому число нельзя поделить на ноль. Мы не получим ничего, в том числе и бесконечности. Вы наверняка имеете в виду символическую запись предела частного числа и бесконечно малой функции. Понятие»супербесконечности» у Вас, скорее всего, пришло из теории множеств. Множество всех бесконечных последовательностей некоторого множества имеет мощность большую, чем мощность этого множества. Для получения супербесконечности, если уж так хочется, я бы посоветовал использовать символ $» />. В этом случае при известном красноречии можно придать выражению некий смысл супербесконечности Re: Чему равно бесконечность делить на 0? 17.09.2012, 14:50 Последний раз редактировалось Shtorm 17.09.2012, 14:51, всего редактировалось 1 раз. gris в сообщении #620055 писал(а): придать выражению некий смысл супербесконечности Но ведь в математике-то нет такого термина! В пределах умножение бесконечности на бесконечность, сложение бесконечностей, возведение бесконечности в степень бесконечность и т.д. — всегда даёт просто бесконечность! Re: Чему равно бесконечность делить на 0? 17.09.2012, 14:57 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Shtorm в сообщении #620062 писал(а):

В пределах умножение бесконечности на бесконечность, сложение бесконечностей, возведение бесконечности в степень бесконечность и т.д. — всегда даёт просто бесконечность!

Зато бесконечности бывают разные.
Re: Чему равно бесконечность делить на 0?
17.09.2012, 14:59

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 17.09.2012, 15:05, всего редактировалось 1 раз.

Приходит мужик к зубному, а она ему: «Ну что, Петров, помнишь, как в пятом классе меня дразнил, что я на ноль делю?»
Shtorm , я имел в виду поговорить об ординалах под зуд бормашины.

Re: Чему равно бесконечность делить на 0?
17.09.2012, 15:27

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось arseniiv 17.09.2012, 15:34, всего редактировалось 2 раз(а).

Есть же нестандартный анализ. Там этих бесконечностей — ну просто завались! Другое дело, что всегда можно обойтись обычным анализом, где есть только «конечные» числа…

Смысл в определённом значении $\infty/0$ есть только тогда, когда мы ещё определяем, как эту $\infty$ с другими [вещественными] числами складывать, умножать… — увы, если всё нужное определить, получится уже противоречивая теория, в которой можно вывести что-то вроде '=2$ . И не важно, какое конечное (насчёт бесконечного не уверен) количество бесконечностей добавляется — можно одну беззнаковую добавить, можно две $\pm\infty$ .

А вот, кстати, если рассматривать натуральные числа, их можно естественным образом расширить до чисел с бесконечностями (аж двумя способами. Один из них — упомянутые gris ом т. н. ординалы (или порядковые числа)). Можно брать мощности множеств — т. к. есть бесконечные множества разной мощности, получится много разных бесконечных «чисел». Но деление на них уже не получается определить — то надо выбирать из нескольких значений, а то ни одного подходящего.

$\mathbb R$

P. S. Надеюсь, я не сильно там с дополнением бесконечностями (и вообще) наляпал… Уж очень хотелось поболтать.

Пределы на бесконечность на бесконечность. Примеры.

Рассмотрим пределы на раскрытие неопределенности вида бесконечность на бесконечность.

Сначала учтем следующее:

— если при вычислении предела в числителе дроби стоит число, то

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{const}}{{{x^k}}} = \left[ {\frac{{const}}{\infty }} \right] = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ \pm {x^k}}}{{const}} = \left[ {\frac{{ \pm \infty }}{{const}}} \right] = \pm \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{a_1}{x^n} + {a_2}{x^{n - 1}} + . + {a_n}}}{{{b_1}{x^m} + {b_2}{x^{m - 1}} + . + {b_m}}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = ?$

— это предел на неопределенность вида бесконечность, деленная на бесконечность (или просто бесконечность на бесконечность).

Чтобы найти предел, надо раскрыть неопределенность вида бесконечность на бесконечность. Для этого и в числителе, и в знаменателе выносим за скобки степень с наибольшим показателем. Затем сокращаем на нее.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{x^3} + 3{x^2} - 4x}}{{7{x^3} - 2x + 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3}(5 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^2}}})}}{{{x^3}(7 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{x^3}}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^2}}}}}{{7 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{x^3}}}}} = \frac{5}{7}$

В дальнейшем просто делим почленно числитель и знаменатель (то есть каждое слагаемое) на старшую степень икса.
2)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6{x^3} - 7{x^2} + 4}}{{7{x^2} + x - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6 - \frac{7}{x} + \frac{4}{{{x^3}}}}}{{\frac{7}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} - \frac{9}{{{x^3}}}}} = \left[ {\frac{6}{0}} \right] = \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6 + 12{x^2} - 8{x^4}}}{{3{x^2} - 2x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{6}{{{x^4}}} - \frac{{12}}{{{x^2}}} - 8}}{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}} + \frac{5}{{{x^4}}}}} = \left[ {\frac{{ - 8}}{0}} \right] = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{8 + 11{x^2} + 3{x^3}}}{{3{x^4} + 5{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{8}{{{x^4}}} + \frac{{11}}{{{x^2}}} + \frac{3}{x}}}{{3 + \frac{5}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^4}}}}} = \left[ {\frac{0}{3}} \right] = 0$

А теперь сделаем выводы. Пределы на неопределенность бесконечность на бесконечность сводятся к одному из трех вариантов:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{a_1}{x^n} + {a_2}{x^{n - 1}} + . + {a_n}}}{{{b_1}{x^m} + {b_2}{x^{m - 1}} + . + {b_m}}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}},n = m \hfill \\ 0,n \triangleleft m \hfill \\ \pm \infty ,n \triangleright m. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Примеры для самопроверки:

Сколько будет бесконечность разделить на бесконечность