Окружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойства
Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.
Определение. Единичная окружность — окружность, радиус которой равен единице.
Определение. Круг — часть плоскости, ограничена окружностью.
Определение. Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.
Определение. Диаметр окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.
Основные свойства окружности
1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.
3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.
4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.
5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
Формулы длины окружности и площади круга
Формулы длины окружности
1. Формула длины окружности через диаметр:
2. Формула длины окружности через радиус:
Формулы площади круга
1. Формула площади круга через радиус:
2. Формула площади круга через диаметр:
Уравнение окружности
1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:
2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:
r 2 = ( x — a ) 2 + ( y — b ) 2
3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:
| { | x = a + r cos t |
| y = b + r sin t |
Касательная окружности и ее свойства
Определение. Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.
Основные свойства касательных к окружности
1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
Секущая окружности и ее свойства
Определение. Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.
Основные свойства секущих
1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:
2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:
Хорда окружности ее длина и свойства
Определение. Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.
Длина хорды
1. Длина хорды через центральный угол и радиус:
AB = 2 r sin α 2
2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:
Основные свойства хорд
1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:
если хорды AB = CD, то
2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:
если хорды AB ∣∣ CD, то
3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:
4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
если хорды AB = CD, то
6. Чем больше хорда, тем ближе она к центру.
Центральный угол, вписанный угол и их свойства
Определение. Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.
Определение. Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.
Основные свойства углов
1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны.
2. Вписанный угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу
4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
Определение. Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.
Определение. Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):
Определение. Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.
Определение. Полукруг ( ◓ ) — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.
Определение. Сектор ( ◔ ) — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.
Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)
S = π r 2 360° ∙ α
Определение. Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.
Определение. Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.
Деление круга на равные части
Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала — традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним — нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.
Деление круга на равные по площади части радиусами
Радиус круга
Число частей
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Угол сектора
Длина дуги
Длина хорды
Ссылка Сохранить Виджет
Деление круга на равные по площади части параллельными хордами
Радиус круга
Число частей
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Загрузить
Ссылка Сохранить Виджет
Деление круга на равные части радиусами
Традиционный и очень простой метод деления круга — по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:
- Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
- Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
- Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.
Собственно и всё — мы получили все характеристики для N равных секторов
Деление круга на равные части параллельными хордами
Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.
Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.
Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x — это координата вдоль оси абсцисс, а y — это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.
По теореме Пифагора получаем следующую функцию
Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:
Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем
Итак, полное выражение
Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)
Таким образом мы можем приравнять
Что дает нам такое финальное уравнение
Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.
Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.
Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.
Окружность и круг
Оглавление
• ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
•ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И СВОЙСТВА
•СВОЙСТВА ХОРД
• КАСАНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ
• ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ
•УГЛЫ И ОКРУЖНОСТЬ
• ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
• ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ
•ОБ АВТОРЕ
3.
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Окружность
Круг
Части окружности
Характеристики окружности
Отрезки в окружности
Части круга
Тест
4. Окружность
Окружностью
называется
геометрическая фигура, которая
состоит из всех точек плоскости,
равноудаленных от заданной точки
на заданное расстояние.
Эта точка называется центром
окружности.
О — центр
окружности
5. Круг
Фигуру, ограниченную окружностью,
называют кругом .
КРУГ = Окружность +
часть плоскости,
ограниченная ею
6. Части окружности
7. Характеристики окружности
ЦЕНТР
РАДИУС
ДИАМЕТР
8. Отрезки в окружности
ХОРДА
ДИАМЕТР
9. Части круга
СЕКТОР
СЕГМЕНТ
ПОЛУКРУГ
10. Центр окружности
Точка, от которой равноудалены на
заданное расстояние все точки
окружности.
О — центр
окружности
11. Радиус окружности
Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее
центром, а также его длина, называется радиусом
окружности.
ОА- радиус
окружности
12. Дуга окружности
Если на окружности взять две точки, то они разобьют
окружность на две части. Каждая из них называется
дугой окружности, а данные точки — концами этих дуг.
А
АВ- дуга
окружности
В
13. Диаметр окружности
Диаметром окружности называется хорда данной
окружности, проходящая через ее центр.
AB- хорда,
проходящая через
ее центр О
14. Хорда окружности
Отрезок, соединяющий две точки окружности,
называется хордой окружности, а также хордой
ограниченного ею круга.
АВ- хорда
окружности
В
А
15. Сектор круга
Два радиуса разбивают круг на две части,
каждая из которых называется сектором круга.
Сектор
круга
16. Сегмент круга
Хорда разбивает круг на две части, каждая из
которых называется сегментом круга.
Сегмент
17. Полукруг
Диаметр разбивает круг
Полукруг
ограничен
полуокружностью.
на
два полукруга.
диаметром
и
18.
ТЕСТ
3
2
1
4
5
6
Найдите: сектор, дугу, радиус, диаметр, хорду, сегмент
19. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И СВОЙСТВА
• Теорема о существовании окружности
• Теорема о диаметре, перпендикулярному к
хорде
• Свойства диаметра окружности
20.
Сколько окружностей можно провести
через 3 точки, не лежащие на одной
прямой?
Через три точки, не лежащие на одной прямой,
можно провести окружность и притом только одну.
Доказательство
21.
Через три точки А, В и С , не лежащие на одной прямой (через вершины ∆ABC), можно
провести окружность, если существует такая четвертая точка. О, которая одинаково
удалена от точек А, В и С.
Докажем, что такая точка существует и притом только одна.
Всякая точка, одинаково удаленная от точек А и В, должна лежать на серединном
перпендикуляре MN к отрезку АВ, точно так же всякая точка, одинаково удаленная от
точек В и С, должна лежать на серединном перпендикуляре PQ, проведенном к стороне
ВС. Значит, если существует точка, одинаково удаленная от трех точек А, В и С, то она
должна лежать и на MN, и на PQ, что возможно только тогда, когда она совпадает с
точкой пересечения этих двух прямых.
Прямые MN и PQ всегда пересекаются, так как они перпендикулярны к
пересекающимся прямым АВ и ВС. Точка О их пересечения и будет точкой, одинаково
удаленной от А, от В и от С, значит, если примем эту точку за центр, а за радиус возьмем
расстояние ОА (или OB, или OC), то окружность пройдет через точки А, В и С. Так как
прямые MN и PQ могут пересечься только в одной точке, то центр окружности может
быть только один и длина его радиуса может быть только одна; значит, искомая
окружность единственная.
22.
Теорема
о диаметре, перпендикулярному к хорде
Диаметр АВ, перпендикулярный к хорде СD, делит
эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.
Доказательство
23.
Перегнем чертеж по диаметру АВ так, чтобы его левая часть упала
на правую. Тогда левая полуокружность совместится с правой
полуокружностью и перпендикуляр КС пойдет по KD. Из этого
следует, что точка С, представляющая собой пересечение
полуокружности с КС, упадет на D; поэтому
СК= KD; BC= BD, AC= AD.
BC= BD
AC= AD
24. Свойства диаметра окружности
1. Диаметр, проведенный через середину хорды,
перпендикулярен к этой хорде и делит дугу,
стягиваемую ею, пoполам.
2. Диаметр проведенный через середину дуги,
перпендикулярен к хорде, стягивающей эту дугу,
и делит ее пополам.
25. СВОЙСТВА ХОРД
Хорда, перпендикулярная к диаметру
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Расстояние от центра до хорды
Расстояние от центра до равных хорд
Хорды, равноудаленные от центра
Хорды, стягивающие равные дуги
Равные хорды, стягивающие углы
26. Свойство 1
Если диаметр проходит через середину хорды, не
являющейся диаметром, то он перпендикулярен
этой хорде.
С
Доказательство
D
27.
1. Рассмотрим окружность с центром О, диаметром MN, хордой AB
MN АВ = С, AC = CB
2. Рассмотрим ΔАВО. ОВ = АО – радиусы, ΔОАВ – равнобедренный.
3. ОС — медиана ΔОАВ, которая является его биссектрисой и высотой.
Отсюда ОС АВ, т. е. MN AB.
М
C
O
N
28. Свойство 2
Диаметр,
пополам.
перпендикулярный
хорде,
делит
её
29. Свойство 3
Расстояние от центра окружности до ее хорды — это
расстояние от центра до середины хорды.
30. Свойство 4
В окружности равные хорды равноудалены от
центра.
AB CD
Доказательство
31.
1.Рассмотрим окружность с центром О. АВ = CD, Р – середина
хорды АВ, Q — середина CD.
2.Рассмотрим ΔОАР и ΔOCQ (прямоугольные) : ОА = ОС –
радиусы, PA = CQ – половины равных хорд
3.ΔОАР = ΔOCQ (по гипотенузе и катету).
Из равенства треугольников OP = OQ (равные катеты),т.е. хорды
равно удалены от центра
32. Свойство 5
Хорды, равноудаленные от центра, равны.
33. Свойство 6
Хорды, стягивающие равные центральные углы
данной окружности, равны.
34. Свойство 7
Равные хорды данной окружности стягивают равные
центральные углы.
35. КАСАНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ
• Случаи взаимного расположения прямой и
окружности
• Тест
36. Случаи взаимного расположения прямой и окружности
37.
d
меньше радиуса окружности, то прямая и
окружность имеют две общие точки.
В
А
Прямая АВ называется
секущей по отношению к
окружности.
d
38.
Секущая
Определение: Секущая – прямая, пересекающая
окружность в двух точках.
39.
d=r
Если расстояние от центра окружности до прямой
равно радиусу окружности, то прямая и
окружность имеют только одну общую точку.
M
m
m – касательная по
отношению к окружности
d=r
O
40.
d>r
Если расстояние от центра окружности до прямой
больше радиуса окружности, то прямая и окружность
не имеют общих точек.
d>r
r
O
41.
Касательная
Определение:
Прямая, имеющая с только одну общую точку,
называется касательной к окружности, а их общая
точка называется точкой касания прямой и
окружности.
Свойство касательной
Признак касательной
42. Свойство касательной Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания
m – касательная к окружности с
центром О
М – точка касания
OM — радиус
m OM
Доказательство
M
m
O
43.
Свойство касательной.
Пусть прямая р касается окружности в точке А, т. е. А — их
единственная общая точка.
Доказательство «от противного»:
1.Допустим, что р не перпендикулярна радиусу ОА. Проведем
перпендикуляр ОВ на р.
2. Отложим на р отрезок ВС = ВА.
3. ∆ОВА = ∆ОВС (по двум катетам). Поэтому ОС = ОА.
4. С лежит на окружности. Следовательно, р и окружность имеют
две общие точки, что невозможно.
Итак, р ОА, что и требовалось
44. Признак касательной Если прямая проходит через конец радиуса, и перпендикулярна ему, то она является касательной.
m – прямая, которая проходит
через точку М
и
m – касательная
m OM
Доказательство
M
m
O
45.
Возьмем любую точку А окружности F и проведем радиус ОА. Затем
проведем прямую р, перпендикулярную радиусу ОА. Любая точка В
прямой р, отличная от точки А, удалена от О больше чем на радиус,
поскольку наклонная ОВ длиннее перпендикуляра ОА. Поэтому точка
В не лежит на F. Значит, точка А — единственная общая точка р и F, т.
е. р касается F в точке А.
46.
ТЕСТ
Соотнесите:
d d>r
d=r
47.
ТЕСТ
Соотнесите:
d d>r
d=r
48. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ
Положение двух окружностей
ТЕОРЕМЫ (о точке касания)
Свойство общей хорды двух окружностей
Различные случаи относительного
положения двух окружностей
49.
Положение двух окружностей
Если две окружности имеют только одну общую
точку, то говорят, что они касаются.
Если же две окружности имеют две общие точки, то
говорят, что они пересекаются.
50.
ТЕОРЕМА (о точке касания)
Если две окружности имеют общую
точку на линии их центров, то они касаются.
51.
ТЕОРЕМА (обратная предыдущей)
Если две окружности касаются в точке, то эта точка
касания лежит на линии центров.
52.
Свойство общей хорды двух
окружностей
Общая хорда AA1 двух пересекающихся окружностей
перпендикулярна к линии центров и делится ею
пополам.
53. Различные случаи относительного положения двух окружностей.
d>R+R1
d=R+R1
d d=R-R1
d d – расстояние между центрами
окружностей
R и R1 –радиусы окружностей
Обратные предложения
54.
1.Окружности лежат одна вне другой, не касаясь в
этом случае, очевидно, d > R + R1
R и R1- радиусы
окружностей
d — расстояние
между центрами
окружностей
55.
2.Окружности имеют внешнее касание, тогда
d = R + R1, так как точка касания лежит на линии
центров.
R и R1- радиусы
окружностей
d — расстояние
между центрами
окружностей
56.
3. Окружности пересекаются тогда d < R +R1
R и R1- радиусы
окружностей
d — расстояние
между центрами
окружностей
57.
4. Окружности имеют внутреннее касание в этом
случае d = R – R1, потому что точка касания лежит
на линии центров.
R и R1- радиусы
окружностей
d — расстояние
между центрами
окружностей
58.
5. Одна окружность лежит внутри другой, не
касаясь, тогда, очевидно, d < R – R1 и
в частном случае d = 0, когда центры обеих
окружностей сливаются (такие окружности
называются концентрическими).
R и R1- радиусы
окружностей
d — расстояние
между центрами
окружностей
59.
Обратные предложения
1. Если d > R + R1, то окружности расположены одна
вне другой, не касаясь.
2. Если d = R + R1,то окружности касаются извне.
3. Если d < R + R1 и в то же время d >R
окружности пересекаются.
–
R1, то
4. Если d = R – R1, то окружности касаются изнутри.
5. Если d < R – R1, то одна окружность лежит внутри
другой, не касаясь.
60.
УГЛЫ И ОКРУЖНОСТЬ
• Центральный угол
• Вписанный угол
• ТЕСТ
61.
ВПИСАННЫЙ УГОЛ
Определение
ТЕОРЕМА о вписанном угле
Свойства вписанных углов
Угол между хордами
Угол между двумя секущими
Описанный угол
Угол между хордой и касательной
Угол между касательной и секущей
62.
Центральный угол
Центральным углом в окружности называется
плоский угол с вершиной в ее центре.
АОВ — центральный
угол
63.
Вписанный угол
Угол, вершина которого лежит на окружности, а
стороны пересекают окружность, называется
вписанным углом.
ABC —
вписанный угол
64.
Теорема о вписанном угле
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на
которую он опирается.
АВС-
вписанный угол
АС- дуга
окружности
Доказательство
1 случай
2 случай
3 случай
65.
Дано: окружность с центром О, ABC — вписанный
Доказать: ABC = ½ АС
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда сторона ВС проходит через центр О
1. Дуга АС меньше полуокружности, AОC = АС (центральный)
2. Рассмотрим ΔАВО, АО = ОВ (радиусы). ΔАВО равнобедренный
1 = 2, AОC – внешний угол ΔАВО,
AОC = 1 + 2= 2 1 ,
следовательно ABC = ½ АС
1
2
66.
Дано: окружность с центром О, ABC — вписанный
Доказать: ABC = ½ АС
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда центр О лежит внутри вписанного угла.
1. Дополнительное построение: диаметр BD
2. Луч ВО делит ABC на два угла
3.Луч ВО пересекает дугу АС в точке D
4. АС = AD + DC, следовательно ABD = ½ АD и DBC = ½ DС
или
ABD + DBC = ½ АD + ½ DС или ABC = ½ АС
67.
Дано: окружность с центром О, ABC — вписанный
Доказать: ABC = ½ АС
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда центр О лежит вне вписанного угла.
1. Дополнительное построение: диаметр BD
2. Луч ВО не делит ABC на два угла
3.Луч ВО не пересекает дугу АС в точке D
4. АС = AD — CD, следовательно ABD = ½ АD и DBC = ½ DС или
ABD — DBC = ½ АD — ½ DС или ABC = ½ АС
68. Свойства вписанных углов
69.
1.Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же
дугу, равны между собой, потому что каждый из них
измеряется половиной одной и той же дуги.
70.
2. Всякий вписанный угол, опирающийся на диаметр,
есть прямой, потому что каждый такой угол измеряется
половиной полуокружности и, следовательно,
содержит 90°.
71.
3. Вписанный угол либо равен половине
соответствующего ему центрального угла, либо
дополняет половину этого угла до 180°.
72.
Теорема об угле, вершина которого лежит внутри
круга
Угол (ABC), вершина которого лежит внутри круга,
измеряется полусуммой двух дуг (АС и DE), из
которых одна заключена между его сторонами, а
другая — между продолжениями сторон.
73.
Теорема об угле, вершина которого лежит вне круга
(угол между секущими)
Угол ABC, вершина которого лежит вне круга и
стороны пересекаются с окружностью, измеряется
полуразностью двух дуг АС и ED, заключенных
между его сторонами.
ABC =½ ( АС – ED )
74.
Описанный угол
(угол между двумя касательными)
равен полуразности образованных им дуг.
C
ABC =½ ( АDС – AEC )
E
D
A
B
75.
Угол между хордой и касательной
равен половине дуги, заключенной внутри него.
ABC =½ BEC
C
E
D
B
A
76.
Угол между касательной и секущей
равен полуразности образованных отсекаемых дуг,
прилежащих к касательной.
A
B
C
ABC =½ ( АС – AD)
D
77.
ТЕСТ
Найти х по данным чертежам и выбрать нужную величину
1.
2.
125
25
130
.
90
3.
х
х
30
4.
110
х
50
х
х
5.
6.
х
112
135
а)80 б)70 в)135 г)95 д)30 е)56
55
78.
1
д
2
а
3
в
4
б
5
е
6
г
79. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
• Окружность, описанная около
многоугольника
• Окружность, описанная около треугольника
• Окружность, вписанная в треугольник
80.
Окружность, описанная около
многоугольника
Окружность описана около многоугольника, если
она проходит через все его вершины.
81.
Окружность, описанная около
треугольника
ТЕОРЕМА
Около каждого треугольника можно описать
окружность.
Доказательство
82.
Доказательство.
1.Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О
точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и
проведем отрезки О А, О В и ОС.
2. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника ABC ,
то ОА = ОВ = ОС, Поэтому окружность с центром О радиуса О А
проходит через все три вершины треугольника и, значит, является
описанной около треугольника ABC.
83.
Окружность, вписанная в
треугольник
ТЕОРЕМА
В каждый треугольник можно вписать окружность.
Доказательство
84.
Доказательство.
1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой О
точку пересечения его биссектрис.
2. Проведем из точки О перпендикуляры ОК. OL и ОМ
соответственно к сторонам АВ, ВС и СА.
3. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=
OL = OM. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит
через точки К, L и М.
4. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках К,
L, M, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, OL и ОМ. Значит,
окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в
треугольник ABC.
85.
ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ
• Длины
• Площади
86.
Длины
Длина дуги окружности
радиуса R с центральным углом
R
180
R
Длина окружности C радиуса R
C 2 R
R
87.
Площади
Площадь S круга радиуса R
S R
Площадь S сектора радиуса R
с центральным углом в
2
S
R
2
360
R
88. Об авторе
Презентацию
подготовила
Ученица 9 «А» класса
Школы № 316
Борисова Валерия
Руководитель
Подольская А.В.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Окружности на поверхности сферы.
| На страницу 1 , 2 , 3 , 4 След. |
Окружности на поверхности сферы.
22.01.2010, 22:32
| Последний раз редактировалось AKM 23.01.2010, 13:41, всего редактировалось 2 раз(а). |
| Заголовок |
Друзья! Помогите, пожалуйста, ответить на один интересующий не только меня вопрос по геометрии: какое минимальное количество равных и обязательно соприкасающихся друг с другом сферических кругов может разместиться на всей поверхности шара ( если это в принципе возможно ) ?
Данный вопрос возник в связи с необходимостью точного описания рисунка на футбольном мяче.
Спасибо за внимание, Юрий
Я сам лично не уверен на все 100%, но думаю, что если представить себе симметричный рисунок, то число вариантов по идее должно равняться числу правильных многогранников. Поэтому достаточно взять любой из них и описать вокруг него сферу. В моём случае это должен быть тетраэдр, поскольку он имеет минимальное количество вершин и граней из всех правильных пирамид. В соответствии с этим и количество интересующих меня шаровых сегментов на футбольном мяче тоже должно быть таким же, хотя на мой взгляд одних только приведённых мною рассуждений я считаю недостаточно для получения убедительного ответа на поставленный ранее вопрос. А вы как думаете?
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 22:45
| Заслуженный участник |
точный рисунок на мяче не имеет никакого отношения к данной экстремальной задаче — там просто выбрали додекаэдр в совокупности с икосаэдром лишь потому, что это симметрично и к тому же красиво.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:25
Меня, к сожалению, интересует не тот классический рисунок футбольного мяча, который выбрали до меня когда-то, а тот, который я собираюсь сам определить сейчас, то есть не в виде правильных 5-ти и 6-ти угольников, а в виде одних только равных и соприкасающихся окружностей на всей поверхности мяча. Вопрос только в том, сколько таких кругов может быть по-минимуму?
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:29
| Заслуженный участник |
Минимально может быть два круга, соприкасающиеся по всей своей границе
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:32
| Заслуженный участник |
gris в сообщении #282786 писал(а):
Минимально может быть два круга, соприкасающиеся по всей своей границе
Один, соприкасающийся сам с собой по всей своей границе.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:36
| Заслуженный участник |
просто я подумал, что раз в вопросе упоминаются сферический круг и сферическая окружность, то между ними должна быть разница. Окружность это пересечение сферы с секущей плоскостью, а круг это множество точек на сфере, лежащее по одну сторону от окружности. Не так?
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
22.01.2010, 23:50
По-моему сферический круг — это круг, расположенный на поверхности сферы в виде шарового сегмента.
Я извиняюсь, но чтобы быть правильно понятым, прошу не смешивать по смыслу слово «соприкосновение» со словами «соединение» или «совмещение», иначе ответ на мой вопрос может свестись к простому получению двух полусфер ( что собственно и произошло ), а это изначально не отвечало моему замыслу, так как это решение было бы слишком очевидным.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
23.01.2010, 00:12
| Заслуженный участник |
Тогда четыре — как в тетраэдре.
— Пт янв 22, 2010 16:14:41 —
Хотя, я не вижу, по какому условию не проходят три круга, расположенные по большому кругу.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
23.01.2010, 09:03
Я, например, не вижу, по какому условию не проходит 1 круг?!
А в общем случае, наверное, нужно исходить из следующих соображений (http://rcio.pnzgu.ru/personal/54/1/1/prim.htm):
Цитата:
Проектируя границу правильного многогранника из его центра на описанную сферу, мы получаем разбиение сферы на равные правильные многоугольники (проекции граней многогранника). Обратно, для всякого разбиения сферы на равные правильные многоугольники выпуклый многогранник, вершинами которого служат вершины разбиения, является правильным.
Полученный выше результат означает, что имеется ровно пять правильных многогранников. Это известные с древних времен тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
23.01.2010, 12:57
Цитата:
Я, например, не вижу, по какому условию не проходит 1 круг?!
Уважаемые участники Форума!
Мне до сих пор не понятно с чего Вы предполагаете 1 и 2 круга? Ведь в условии моей задачи речь идёт о равных, а само главное о соприкасающихся кругах. Поясню: два смежных круга на поверхности сферы ( шара ) касаются друг друга ТОЛЬКО в одной ТОЧКЕ. А потому один круг и две полусферы, касающиеся по всей длине не подходят по условию задачи. Надеюсь, после этого моего разъяснения мне кто-нибудь ответит: «Сколько решений имеет эта задача?»
Re: Стереометрия: правильные пирамиды
23.01.2010, 13:12
| Заслуженный участник |
Последний раз редактировалось gris 23.01.2010, 13:38, всего редактировалось 1 раз.
С этого надо было и начинать — с чёткого определения всех понятий, которые Вы задействуете в задаче. А то у Вас и круг, и окружность, и шаровой сегмент.
И опять же ответ к Вашей задаче — 2 круга. Нарисуем на сфере круг, а рядом с ним касающийся его такой же круг. Условия задачи выполнены.
Не понятно, какому условию должно удовлетворять множество кругов на сфере.
Вся беда в том, что только два круга, соприкасающиеся по экватору шара, заполняют собой всю поверхность сферы. Все остальные расположения кругов оставляют на сфере непокрытые участки. Вы слеп и те шарик из пластилина и попробуйте отрезать от него кусочки.
Либо засучите рукава и совершенно точно определите то, что Вы хотите.
Позволю себе некоторое рассуждение. Если вписать в сферу выпуклый многогранник, а потом спроектировать его рёбра на сферу из её центра, то есть грубо говоря надуть многогранник, то мы получим разбиение всей поверхности сферы на сферические многоугольники. Если многогранник взять симметричный и красивый ( додекаэдр, ромбододекаэдр и т.п.), то мы будем получать красивые разбиения, то есть мячи.
Но при этом все многогранники никак нельзя сделать «сферическими окружностями». То есть раскрасить сферу более, чем двумя красками так, чтобы получилось более двух цветных кругов — не получиться 😥