1.7.1. Как найти проекцию вектора на вектор?
Рассмотрим ненулевые векторы и :
Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии).
Представьте, что на вектор перпендикулярно сверху падают лучи света. Тогда отрезок будет «тенью» вектора . Проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.
Это ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.
Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».
Если угол между векторами острый (как на рисунке выше), то
Если векторы ортогональны, то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).
Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина с добавленным знаком «минус»).
Отвечу на назревший вопрос: что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ», попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».
Из вышесказанного следует, что проекция вектора на любой ненулевой сонаправленный вектор будет точно такой же:
– фактически это проекция вектора на прямую , которая содержит сонаправленные векторы (и поскольку векторы свободны, то таких прямых будет бесконечно много, все они будут параллельны друг другу);
а если векторы направлены противоположно , то добавится знак «минус»:
Отложим наши подопытные векторы от одной точки:
и рассмотрим прямоугольный треугольник. Косинус угла – есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:
, но с другой стороны, у нас уже получена формула косинуса угла между векторами:
…все ли догадались, что будет дальше?
и сокращаем знаменатели обеих частей на , получая формулу для вычисления проекции:
Распишем её в координатах:
Если векторы плоскости и заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:
Если векторы пространства заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:
Легко убедиться, что проекция вектора на коллинеарный вектор может отличаться лишь знАком, приведу выкладки для «плоского» случая :
Задача 34
Найти проекцию вектора на вектор
Решение в одну строчку:
, на завершающем шаге я умножил числитель и знаменатель на , избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе.
Ответ:
Проекция – это ДЛИНА, поэтому обязательно указываем размерность, правда, если получится знак «минус», то смотреться это будет своеобразно.
Задача 35
Треугольник задан своими вершинами . Найти:
а) проекцию стороны на сторону ;
б) проекцию стороны на сторону .
Это задача для самостоятельного решения.
Итак, как найти проекцию вектора на отрезок с известными концами ? (как вариант, на продолжение этого отрезка). Находим вектор и используем формулу . Либо вектор и формулу . В одном из случаев получится отрицательное значение, и если оно вас напрягает, выберите другой вариант 🙂
О проекции же вектора на прямую поговорим в следующей главе, а пока выясним геометрический смысл координат векторов в ортонормированном базисе:
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Онлайн калькулятор. Проекция вектора на другой вектор
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти проекцию одного вектора на другой вектор.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление проекции вектора на вектор и закрепить пройденный материал.
Калькулятор для вычисления проекции вектора на другой вектор
Размерность векторов:
Форма представления первого вектора:
Форма представления второго вектора:
Инструкция использования калькулятора для вычисления проекции вектора на другой вектор
- выберите из выпадающего списка необходимую вам размерность и форму представления векторов;
- введите значение векторов;
- Нажмите кнопку «Найти проекцию первого вектора на второй вектор» и вы получите детальное решение задачи.
Ввод данных в калькулятор для вычисления проекции вектора на другой вектор
В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления проекции вектора на другой вектор
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Теория. Проекция вектора на вектор
Определение Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка AlBl оси l , где точки Al и Bl являются проекциями точек A и B на ось l .
Определение Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b. Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:
Пр b a = a · b | b |
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Проекция вектора на простанство (аналитическая геометрия, прямая сумма)
Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.
| Объявления | Последний пост | |
|---|---|---|
| Работодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий | 26.03.2008 03:07 | |
| Книги по математике и экономике в добрые руки! | 07.10.2023 13:49 | |
| ML Research Engineer, до $8k/мес net | 06.09.2023 14:11 | |
13.11.2011 20:19
Дата регистрации:
14 лет назад
Проекция вектора на простанство (аналитическая геометрия, прямая сумма)
Здравствуйте. Помогите пожалуйста понять это. Как найти «Проекцию вектора x на подпространство $U_1$ параллельно подпространству $U_2$ «? Если $U_1$ и $U_2$ заданы как линейные оболочки векторов $a_1,a_2$ и $b_1,b_2$ соответственно. Параллельно это значит «вдоль»? Для решения задачи нужно в уравнении $ x=\alphaU_1+\betaU_2$ найти коэффициент $\alpha$ ?
Редактировалось 1 раз(а). Последний 13.11.2011 21:45.
14.11.2011 00:07
Дата регистрации:
14 лет назад
Посты: 13 190
Вы верно поняли задание.
14.11.2011 19:19
Дата регистрации:
14 лет назад
не понятно
Цитата
brukvalub
Вы верно поняли задание.
А как же тогда решать это уравнение с двумя неизвестными ?
14.11.2011 21:05
Дата регистрации:
14 лет назад
Посты: 13 190
Совсем не так.
А это вовсе и не уравнение с двумя неизвестными, а одна из компонент прямой суммы.
Например, можно выбрать базис, векторы которого лежат в данных двух подпространствах, в прямую сумму которых разлагается все пространство, разложить заданный вектор по этому базису и взять требуемые слагаемые разложения.
14.11.2011 22:42
Дата регистрации:
14 лет назад
Пусть, например $a_1$ =(1,1,1,1), $a_2$ =(1,2,3,3), $b_1$ =(1,1,2,2), $b_2$ =(1,1,1,4).
Тогда базис — эти 4 вектора. Т.е. нужно разложить вектор x по этому базису? Получится x’ = x $S^$ и ответом будут первые две координаты x’?
14.11.2011 22:47
Дата регистрации:
14 лет назад
Посты: 13 190
Ответом будет вектор, равный линейной комбинации базисных векторов, линейной комбинацией которых является то подпространство, на которое проектируется вектор.
14.11.2011 23:18
Дата регистрации:
14 лет назад
Цитата
brukvalub
Ответом будет вектор, равный линейной комбинации базисных векторов, линейной комбинацией которых является то подпространство, на которое проектируется вектор.
Т.е. снова нужно решить уравнение x= $\alpha a_1 + \beta a_2 + \lambda b_1 + \mu b_2$ . Это значит как-то решить $\left(\begin
15.11.2011 00:40
Дата регистрации:
14 лет назад
Посты: 13 190
15.11.2011 21:50
Дата регистрации:
14 лет назад
Решил так: составил систему линейный уравнений, задающую $U_1$ . Искомая проекция: $pr_
Научный форум dxdy
Проекция вектора на одно пространство параллельно другому
Проекция вектора на одно пространство параллельно другому
22.05.2008, 17:22
Помогите пожалуйста решить задачу
Даны два линейных пространства 
Найти проекцию вектора х на пространство L1 параллельно L2
22.05.2008, 17:47
| Заслуженный участник |
а нельзя уточнить вопрос? проекция-то — весчь однозначная, какие доп. п/пр-ва сюда ни приплетай
Re: Проекция вектора на одно пространство параллельно другом
22.05.2008, 17:53
| Заслуженный участник |
matan писал(а):
Помогите пожалуйста решить задачу
Даны два линейных пространства
Найти проекцию вектора х на пространство L1 параллельно L2
Это значит добавить к 
что-то из 
, чтобы оказаться в 
Re: Проекция вектора на одно пространство параллельно другом
22.05.2008, 18:17
| Заслуженный участник |
TOTAL писал(а):
matan писал(а):
Помогите пожалуйста решить задачу
Даны два линейных пространства
Найти проекцию вектора х на пространство L1 параллельно L2
Это значит добавить к что-то из , чтобы оказаться в
чего-то добавить можно всегда. Исходя из какого критерия?
22.05.2008, 18:49
| Экс-модератор |
ewert , мне непонятно, что тут может быть непонятно. Пространство 
, и надо расписать, как вектор разлагается (заведомо единственным образом) на компоненты 
, где 
и 
.
22.05.2008, 18:52
| Заслуженный участник |
просто это не называется проекцией
22.05.2008, 18:54
| Экс-модератор |
Пространство 
устроено очень просто: это в точности пространство векторов, у которых первые две координаты нулевые. То есть если вычесть из вектора данные в условии базисные векторы пространства 
так, чтобы обнулились первые две координаты, то полученный вектор 
будет лежать в , и, соответственно, 
(то есть то, что мы вычли) будет искомым.
Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд:
ewert писал(а):
просто это не называется проекцией
Называется. Это не называется ортогональной проекцией. А называется проекцией параллельно подпространству .
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 7 ] |
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |