Совокупности уравнений, неравенств, систем: определение, как решить
Тема совокупностей уравнений и др. систем, как правило, в рамках школьного курса представлена скупо. В 10-11 классе она изучается совсем недолго. Мы считаем, что это неверный подход, поскольку совокупности — прекрасный способ оформления привычных решений при работе с неравенствами и уравнениями, поэтому в рамках статьи мы раскроем этот вопрос.
В данной статье мы сформулируем общее понятие совокупностей неравенств, уравнений и их систем, а также их комбинации. Кроме определений здесь, как обычно, есть решения задач, наглядно поясняющие тот или иной фрагмент текста.
Понятие совокупности
Для того, чтобы хорошо понимать, что такое совокупность уравнений, нужно вспомнить еще одно понятие из школьного курса алгебры — система уравнений (аналогично неравенствам). Тогда определения совокупности покажутся вам знакомыми и легко усвоятся.
Проанализировав несколько учебников, выберем наиболее удачное определение:
Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство.
Сравним между собой понятие совокупности и понятие системы:
- Запись совокупности, как мы уже говорили выше, осуществляется с помощью квадратной скобки, а системы записываются с фигурной.
- Совокупность включает в себя множество решений, которые относятся хотя бы одному из уравнений, входящих в ее состав. Система объединяет решения, которые подходят для каждого уравнения.
Вот примеры совокупности уравнений:
x + 1 = 0 , x 2 — 1 = — 8 x + y 2 + z 4 = 0 , x · y · z = 0 , z = 5
Иногда при записи совокупности можно обойтись и без квадратной скобки: так часто делают в школе. В таком случае уравнения можно просто указать через запятую. Для примера выше это может быть запись вида x + y 2 + z 4 = 0 , x · y · z = 0 , z = 5 .
Понятие совокупности неравенств формулируется схожим образом.
Совокупность неравенств представляет собой несколько неравенств, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Она включает в себя решения, которые подходят хотя бы для одного из неравенств, входящих в состав совокупности.
Приведем пример такой записи:
x + 3 > 0 , 2 · x + 3 ≤ 0 , 5
Схожее определение для этого понятия упоминается в учебнике Мордковича.
Если необходимо, то можно указать, сколько уравнений (неравенств) входят в состав совокупности, а также сколько в ней участвует переменных. Вид уравнения (неравенства) также может быть внесен в запись при необходимости. Сформулируем название совокупности из примера: это совокупность 2-х неравенств с одной переменной, а ее составные части — это целые рациональные первой степени.
Сочетать в рамках одной совокупности можно не только записи одного вида. Так, имеет право на существование совокупность, состоящая из двух неравенств и одного уравнения, сочетание одного неравенства с системой уравнений, двух систем неравенств и др. Главная задача — сохранить неизменным основной смысл совокупности: в нее входят такие решения, которые подходят хотя бы для одной составляющей совокупности.
В качестве примера смешанных совокупностей приведем две:
x > 3 x < 8 x < - 5 x ≤ - 2 x 2 = 9 x 2 >5 ( x — 6 ) · ( x — 8 ) = 0 x ≤ 3 x 2 + 2 · x — 8 > 0
Что такое решение совокупности
Решение — главная составляющая совокупности. Сформулируем, что же такое решения совокупности с разным количеством переменных.
Решение совокупности с одной переменной представляет собой значение этой переменной, которое является решением хотя бы одной составляющей совокупности (уравнения, неравенства).
Если мы возьмем совокупность уравнений, значит, его решение — это значение x , при котором хотя бы одно из уравнений, входящих в состав совокупности, обращается в верное равенство.
Возьмем неравенство x > 1 , x 2 ≥ 4 · x + 2 . Для него решением, например, будет тройка, т.к. она больше единицы, и, следовательно, она — верное решение для первого неравенства. А если мы возьмем ноль, то увидим, что ни к одному из неравенств он не подходит; значит, 0 в качестве решения совокупности мы рассматривать не можем , ведь запись вида 0 > 1 и x 2 ≥ 4 · x + 2 неверна.
Определение 4
Решение совокупности, в которую входит две, три и более переменных, — это две, три и более переменных, которые подходят в качестве решения хотя бы одному компоненту совокупности.
Возьмем еще один пример, посложнее. У нас есть совокупность:
x 2 + y 2 = 4 , x + y > 0 , x ≥ 3
Значения 3 и 0 будут верными решениями совокупности: они подходят в качестве верных значений в уравнения 2 и 3 ( 3 + 0 > 0 и 3 ≥ 3 — верно). А вот значения 2 и 1 не есть решение совокупности: ни к 1 , ни ко 2 , ни к 3 они не подойдут.
В некоторых учебниках можно встретить также понятия общего и частного решения совокупности; под частным при этом понимается одно решение, а под общим — их некое множество. Но более употребительно понятие просто решения совокупности, а о том, общее оно или частное, можно понять из контекста.
Также нужно отметить следующее: объединение решений всех компонентов совокупности также есть решение совокупности. Напомним, что решение системы представляет собой пересечение решений ее компонентов.
В продолжение темы мы советуем вам материал «Равносильные совокупности».
Разница между системой и совокупностью в математике
Решению уравнений, системы уравнений или системы неравенств, всегда уделялось много внимания при изучении математики, физики в школьной программе. Метод решения системы уравнений широко применяется в науке, в статистике, при изучении физических проблем. Поэтому интересно знать сущность понятий системы и совокупности.
Определение
Система — выбор результатов решений, которые подойдут всем уравнениям системы. Этот поиск является как бы пересечением результатов решений.
Совокупность — выбор результатов решений, которые подойдут хотя бы для одного уравнения. Решение совокупности — это объединение решений каждого уравнения.
Сравнение
Рассмотрим решение системы двух уравнений с одной переменной. Находим значения переменной, с которыми каждое уравнение системы будет обращаться в верное равенство.
Решением системы уравнений называются те значения переменной, при которых оба уравнения системы будут обращаться в верные числовые равенства.
Систему уравнений будем решать так. Ищем решение для каждого уравнения и затем выбираем из полученных значений те, которые являются решением для каждого уравнения системы. Система предполагает выбор, пересечение решений. То есть при решении системы уравнений или неравенств из множества решений выбирается конкретные решения, при которых выполняются все равенства и/или неравенства системы.
Рассмотрим совокупность двух уравнений с одной переменной. Находим все значения переменной, с которыми каждое уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равенство.
Решением совокупности уравнений считают любое значение переменной, при котором хотя бы одно уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равенство.
Совокупность предполагает объединение решений. То есть выбор множества или конкретного решения, при котором могло бы выполниться хотя бы одно из равенств и/или неравенств системы
Вот пример:
Есть совокупность из 2 уравнений. Решая первое уравнение, получили ответ 0. Решая второе уравнение, получили 3 ответа -11,0,4.5. Решением совокупности будут все ответы -11,0,4.5.
А если бы эта была система уравнений, то только ответ 0 будет правильным ответом для того и другого уравнения.
Так образом в совокупности идёт объединение результатов. Они дополняют друг друга.
В системе пересечение результатов есть решение системы.
Выводы TheDifference.ru
- Решением системы будет пересечение результатов решений.
- Решение совокупности — это объединение результатов каждого решения.
Похожие статьи
/rating_on.png)
(4 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Когда совокупность а когда система в неравенствах
Пусть задано неравенство f ( x ) > g ( x ) f(x) > g(x) . По определению, неравенство выполнено, если разность функций f ( x ) — g ( x ) > 0 f(x)-g(x) > 0 . Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с нулём” и записывать их в виде f ( x ) > 0 ( < 0 ) f(x) >0(< 0) .
Часто приходится иметь дело не с одним неравенством или уравнением, а с несколькими. При этом важно различать две задачи:
1) решить систему уравнений или систему неравенств,
2) решить совокупность уравнений или совокупность неравенств.
определение
Пусть дано m m неравенств (или уравнений) f 1 ( x 1 , x 2 , . . . x k ) ≥ 0 ( = 0 ) f_1(x_1,x_2. x_k)\geq0(=0) , f 2 ( x 1 , x 2 . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) . . . f m ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) f_2(x_1,x_2. x_k)>0(=0). f_m(x_1,x_2. x_k)>0(=0) на некотором множестве X X . Если стоит задача – найти все упорядоченные наборы чисел a = ( a 1 , a 2 , . . . , a k ) ∈ X a=(a_1,a_2. a_k)\in X , каждый из которых является решением каждого из заданных неравенств (уравнений), то говорят, что задана система неравенств (уравнений). Такое a a называется решением системы.
Решить систему – это значит найти множество всех решений. Обычно систему неравенств (уравнений) записывают в столбик и объединяют фигурной скобкой
< f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) >0 ( = 0 ) , f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) , . . . , f m ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) . \\begin\begin\beginf_1(x_1,x_2. x_k)>0(=0),\\f_2(x_1,x_2. x_k)>0(=0),\\. \\f_m(x_1,x_2. x_k)>0(=0).\end\end\end\end
определение
ОДЗ системы называется множество, являющееся пересечением областей допустимых значений всех этих неравенств.
Если для неравенств (уравнений)
f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) f_1(x_1,x_2. x_k)>0(=0) , f 2 ( x 1 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) f_2(x_1. x_k)>0(=0) . f m ( x 1 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) f_m(x_1. x_k)>0(=0)
стоит задача – найти все такие упорядоченные наборы чисел a = ( a 1 , a 2 , . . . , a k ) ∈ X a=(a_1,a_2. a_k)\in X , каждый из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств (уравнений), то говорят, что на X X задана совокупность неравенств (уравнений). Такое a a называется решением совокупности неравенств (уравнений). Решить совокупность неравенств (уравнений) – это значит найти всё множество её решений. В современной литературе совокупность записывают в столбик и объединяют квадратной скобкой
[ f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) , f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) , . . . , f m ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) > 0 ( = 0 ) . \lbrack\beginf_1(x_1,x_2. x_k)>0(=0),\\f_2(x_1,x_2. x_k)>0(=0),\\. \\f_m(x_x_2. x_k)>0(=0).\end
определение
ОДЗ совокупности называется объединение областей допустимых значений всех заданных неравенств (уравнений).
Во всех случаях количество заданных неравенств (число m m ) никак не связано с количеством неизвестных (число k k ).
Решение совокупностей неравенств с одной переменной
Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность , если нужно найти такое множество значений переменной, которое будет решением хотя бы одного из неравенств.
Решением совокупности неравенств с одной переменной является такое множество значений этой переменной, которое превращает хотя бы одно из неравенств в верное числовое неравенство.
Следствие: общим решением совокупности неравенств с одной переменной является объединение частных решений каждого из неравенств системы .
Например: $\left[ \begin x+7 \ge 2 \\ x-4 \lt 1 \end \right. \iff \left[ \begin x \ge -5 \\ x \lt 5 \end \right. \iff x \in \Bbb R$ — любое действительное число
Алгоритм решения совокупности неравенств с одной переменной
Шаг 1. Найти множество решений для каждого из неравенств системы. Если какое-либо частное решение является пустым множеством, отбросить его, но продолжить решение.
Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных непустых частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать.
Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их объединение – это и будет общим решением совокупности.
Шаг 4. Работа завершена.
Например: $\left[ \begin x-1 \lt 0 \\ x+5 \ge 8 \end \right. \iff \left[ \begin x \lt 1 \\ x \ge 3 \end \right. \iff x \lt 1 \cup x \ge 3 или x \in (-\infty;1) \cup [3;+\infty) $
Сравнение систем и совокупностей неравенств
$\left[ \begin x+5 \gt 3 \\ x-7 \lt 5 \end \right.$
$x \gt -2 \cap x \lt 12 \iff$
Объединение частных решений
$x \gt -2 \cap x \lt 12 \iff x \in \Bbb R$
Наличие одного частного решения $x \in \varnothing$
Вся система не имеет решений
$x \in \varnothing$
(аналогия с умножением на 0)
Вся совокупность может иметь
(аналогия с прибавлением 0)
Неравенства могут образовывать сложные конструкции условий из вложенных систем и совокупностей. Раскрытие скобок при упрощении таких конструкций подчиняется законам логики и правилам операций над множествами (см. §10 данного справочника).
Примеры
Пример 1. Решите совокупности неравенств:
$ а) \left[ \begin 5(x-1) \ge 4(x+2) \\ x \lt 0 \end \right. \iff \left[ \begin 5x-4x \ge 8-5 \\ x \lt 0 \end \right. \iff \left[ \begin x \ge 3 \\ x \lt 0 \end \right. \iff x \lt 0 \cup x \ge 3 $
$x \in (-\infty;0) \cup [3;+\infty) $
$ б) \left[ \begin 2(x-5) \gt x-11 \\ x \gt -3 \end \right. \iff \left[ \begin 2x-x \gt -11+10 \\ x \gt -3 \end \right. \iff \left[ \begin x \gt -1 \\ x \gt -3 \end \right. \iff x \gt -3 $
Пример 2. Решите неравенство:
Произведение слева будет отрицательным, если сомножители будут иметь разные знаки. Получаем совокупность двух систем неравенств:
$ \left[ \begin <\left\< \begin x+3 \gt 0 \\ x-5 \lt 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x+3 \lt 0 \\ x-5 \gt 0\end \right.> \end \right. \iff \left[ \begin <\left\< \begin x \gt -3 \\ x \lt 5 \end \right.> \\ <\left\< \begin x \lt -3 \\ x \gt 5 \end \right.> \end \right. \iff \left[ \begin -3 \lt x \lt 5 \\ x \in \varnothing \end \right. \iff -3 \lt x \lt 5 $
Произведение слева будет положительным (или равным 0), если сомножители будут иметь одинаковые знаки (или равными 0).
Получаем совокупность двух систем неравенств:
$ \left[ \begin <\left\< \begin 2x+3 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin 2x+3 \le 0 \\ 3x-2 \le 0 \end \right.> \end \right. \iff \left[ \begin <\left\< \begin x \ge -1,5 \\ x \ge \frac \end \right.> \\ <\left\< \begin x \le -1,5 \\ x \le \frac \end \right.> \end \right. \iff \left[ \begin x \ge \frac \\ x \le -1,5 \end \right. \iff x\le-1,5 \cup x\ge \frac $
$ x \in (-\infty;-1,5] \cup [\frac;+\infty) $
Пример 3*. Решите неравенство: $(x^2+3x-4)(x^2+3x) \lt 0$
Замена переменных: $ <\left\< \begin x^2+3x = t \\ (t-4)t \lt 0 \end \right.>$
Для нижнего неравенства получаем совокупность:
$ \left[ \begin <\left\< \begin t-4 \gt 0 \\ t \lt 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin t-4 \lt 0 \\ t \gt 0\end \right.> \end \right. \iff \left[ \begin <\left\< \begin t \gt 4 \\ t \lt 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin t \lt 4 \\ t \gt 0 \end \right.> \end \right. \iff \left[ \begin t \in \varnothing \\ 0 \lt t \lt 4 \end \right. \iff 0 \lt t \lt 4 $
Возвращаемся к исходной переменной
$$ 0 \lt x^2+3x \lt 4 \iff <\left\< \begin x^2+3x \gt 0 \\ x^2+3x \lt 4 \end \right.> \iff <\left\< \begin x^2+3x \gt 0 \\ x^2+3x-4 \lt 0 \end \right.> \iff <\left\< \begin x(x+3) \gt 0 \\ (x+4)(x-1) \lt 0 \end \right.> \iff $$
$$ \iff -4 \lt x \lt -3 \cup 0 \lt x \lt 1 $$
В 9 классе для решения подобных неравенств будет предложен очень эффективный метод интервалов, который позволяет значительно упростить ход решения.