2. Метод выделения полного квадрата
решить уравнение x 2 + 14 x + 45 = 0 .
Решение:
разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.
Для применения первой формулы необходимо получить выражение x 2 + 14 x + 49 = 0 .
Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x 2 + 14 x + 45 число \(4\), чтобы выделить полный квадрат
x 2 + 14 x + 45 + 4 − 4 = 0 ; x 2 + 14 x + 45 + 4 − 4 = 0 ; x 2 + 14 x + 49 − 4 = 0 ; x + 7 2 − 4 = 0 .
Применим формулу «разность квадратов» a 2 − b 2 = a − b ⋅ a + b :
x + 7 2 − 2 2 = 0 ; ( x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0 ; ( x + 5 ) ( x + 9 ) = 0 ; x + 5 = 0 ; x + 9 = 0 ; x 1 = – 5 . x 2 = – 9 .
Ответ: \(– 9\); \(– 5\).
решить уравнение x 2 − 6 x − 7 = 0 .
Решение:
выделим в левой части полный квадрат.
Для применения второй формулы необходимо получить выражение x 2 − 6 x + 9 = 0 .
Поэтому запишем выражение x 2 − 6 x в следующем виде: x 2 − 6 x = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 .
В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа \(x\), а второе — удвоенное произведение \(x\) на \(3\).
Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 .
Итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения 3 2 , чтобы выделить полный квадрат.
x 2 − 6 x − 7 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 2 − 3 2 − 7 = ( x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 2 ) − 3 2 − 7 = = ( x − 3 ) 2 − 9 − 7 = ( x − 3 ) 2 − 16 .
Подставим в уравнение и применим формулу a 2 − b 2 = a − b ⋅ a + b .
( x − 3 ) 2 − 4 2 = 0 ; ( x − 3 − 4 ) ⋅ ( x − 3 + 4 ) = 0 ; ( x − 7 ) ⋅ ( x + 1 ) = 0 ; x − 7 = 0 ; x + 1 = 0 ; x 1 = 7 . x 2 = − 1 .
Полный квадрат
- Полный квадрат или квадратное число — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень которого тоже целый.
Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.
Связанные понятия
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Наиме́ньшее о́бщее кра́тное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. Обозначается одним из следующих способов.
В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии.
Упоминания в литературе
Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т. д. – числа, которые являются полными квадратами . Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. – треугольных чисел! Мы уже знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,
Связанные понятия (продолжение)
Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.
Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.
Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.
В математике, несократимая дробь (также приведённая дробь) — дробь, которую невозможно сократить. Иначе говоря, значение несократимой дроби не допускает более простое представление в виде дроби. В случае обыкновенных дробей «более простое» означает: с меньшим (но натуральным) знаменателем.
Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния.
«Тогда́ и то́лько тогда́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение.
Праймориал (англ. Primorial, иногда именуется также «примориал») — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.
Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма — однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.
Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.
Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то.
Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.
Предги́льбертово простра́нство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением.
В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.
Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих.
Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность элементов числового пространства.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Полукольцо — общеалгебраическая структура, похожая на кольцо, но без требования существования противоположного по сложению элемента.
Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических постоянных, математические постоянные определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства.
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия.
Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.
Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле.
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.
Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.
В теории чисел гладким числом называется целое число, все простые делители которого малы.
Одночлен (также моном) — простое математическое выражение, прежде всего рассматриваемое и используемое в элементарной алгебре, а именно, произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, взятых каждая в неотрицательной целой степени .
Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.
Коммутант в общей алгебре — подсистема алгебр, содержащих групповую структуру (подгруппа, подкольцо, в наиболее общем случае — подгруппа мультиоператорной группы), показывающая степень некоммутативности групповой операции.
Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».
Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации.
В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.
Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.
В математике (особенно в теории категорий), коммутативная диаграмма — изображаемая в наглядном виде структура наподобие графа, вершинами которой служат объекты определённой категории, а рёбрами — морфизмы. Коммутативность означает, что для любых выбранных начального и конечного объекта для соединяющих их ориентированных путей композиция соответствующих пути морфизмов не будет зависеть от выбора пути.
В теории групп циклическая перестановка — это перестановка элементов некоторого множества X, которая переставляет элементы некоторого подмножества S множества X циклическим образом, сохраняя на месте остальные элементы X (т.е. отображая их в себя). Например, перестановка , переводящая 1 в 3, 3 в 2, 2 в 4 и 4 в 1 является циклической, в то время как перестановка, переводящая 1 в 3, 3 в 1, 2 в 4 и 4 в 2 циклической не является.
Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Что такое полный квадрат?
Целое неотрицательное число n называется полным квадратом, если найдется целое число m такое, что n=m2. Пусть n= (p1)α (p2)β … (ps)γ — разложение числа n>1 на произведение простых. Очевидно, что n — полный квадрат тогда и только тогда, когда все степени α, β, …, γ — четные.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Идеальный квадрат
В математике , идеальный квадрат (а квадрат , если нет неоднозначности) является квадратом из целого числа . В первые 70 квадратов (люкс A000290 из OEIS ) являются:
| 0 2 = 0 | 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 | 30 2 = 900 | 35 2 = 1225 | 40 2 = 1600 | 45 2 = 2,025 | 50 2 = 2,500 | 55 2 = 3,025 | 60 2 = 3600 | 65 2 = 4225 |
| 1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 | 26 2 = 676 | 31 2 = 961 | 36 2 = 1296 | 41 2 = 1,681 | 46 2 = 2116 | 51 2 = 2 601 | 56 2 = 3 136 | 61 2 = 3 721 | 66 2 = 4 356 |
| 2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 | 27 2 = 729 | 32 2 = 1024 | 37 2 = 1369 | 42 2 = 1,764 | 47 2 = 2 209 | 52 2 = 2 704 | 57 2 = 3 249 | 62 2 = 3 844 | 67 2 = 4 489 |
| 3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 | 28 2 = 784 | 33 2 = 1089 | 38 2 = 1444 | 43 2 = 1849 | 48 2 = 2 304 | 53 2 = 2 809 | 58 2 = 3364 | 63 2 = 3 969 | 68 2 = 4624 |
| 4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 | 29 2 = 841 | 34 2 = 1,156 | 39 2 = 1,521 | 44 2 = 1936 | 49 2 = 2 401 | 54 2 = 2 916 | 59 2 = 3481 | 64 2 = 4096 | 69 2 = 4 761 |
В нашей обычной системе счисления цифра единиц полного квадрата может быть только 0, 1, 4, 5, 6 или 9. В системе счисления двенадцать обязательно будет 0, 1, 4 или 9.
Резюме
- 1 Недвижимость
- 1.1 Квадратичный вычет
- 1.2 Разное
- 4.1 Связанные статьи
- 4.2 Внешняя ссылка
Характеристики
Квадратичный остаток
Мы говорим, что целое число q является квадратичным вычетом по модулю целого числа m, если существует такое целое число n , что:
Это очень полезная концепция; это позволяет, в частности, показать, что некоторые диофантовы уравнения не допускают решения. Например, с целым числом k уравнение не допускает решения в . Действительно, квадратичные вычеты по модулю 4 равны 0 и 1, поэтому у полного квадрата не может быть остатка, равного 2 при евклидовом делении на 4. нет 2 знак равно 4 k + 2 = 4k + 2> Z >
Разные
Мы рассматриваем натуральные числа a и b, отличные от нуля .
- Если a и b — полные квадраты, то произведение ab также является квадратом.
- Если a 2 + b 2 = c 2, где c — целое число, то ( a , b , c ) образует пифагорову тройку . Например, (3, 4, 5) — это единица.
- a является полным квадратом тогда и только тогда, когда все показатели в его разложении на произведение простых множителей четны.
- Если ab — полный квадрат, а a и b — простые числа между ними, тогда a и b также являются совершенными квадратами: не забывайте второе условие, потому что 12 × 3 = 6 2, но 12 не является полным квадратом.
- a ( a + 1) и a ( a + 2) не являются квадратами.
- a является полным квадратом тогда и только тогда, когда число его делителей нечетно.
- Полный квадрат может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9 в десятичной системе .
- ∑ я знак равно 1 в я 3 ^ я ^ > идеальный квадрат. Фактически эта сумма равна . ( ∑ я знак равно 1 в я ) 2 ^ i \ right)> ^ >
Демонстрация
3. Если a — полный квадрат, то существует целое число m > 0 такое, что a = m 2 . Отметив разложение на простые множители, мы выводим:, следовательно, все показатели в разложении a четны. Наоборот, если все показатели в разложении a четные, то a имеет вид . м знак равно п 1 k 1 . п р k р ^ > \ dots p_ ^
> м в знак равно п 1 2 k 1 . п р 2 k р ^ > \ dots p_ ^ <2k_ >> п 1 2 k 1 . п р 2 k р знак равно ( п 1 k 1 . п р k р ) 2 ^ > \ dots p_ ^ <2k_ > = \ left (p_ ^ > \ dots p_ ^ < k_ > \ right) ^ > 4. Предположим, что pgcd ( a , b ) = 1 и ab = n 2, где . нет ∈ НЕТ >
Обозначим через c = pgcd ( a , n ) . Итак, у нас есть:
в знак равно в pgcd ( в , б ) знак равно pgcd ( в 2 , в б ) знак равно pgcd ( в 2 , нет 2 ) знак равно против 2 pgcd ( ( в / против ) 2 , ( нет / против ) 2 ) знак равно против 2 \ left (a, b \ right) = \ operatorname \ left (a ^ , ab \ right) = \ operatorname \ left (a ^ , n ^ \ right) = c ^ \ operatorname \ left (\ left (a / c \ right) ^ , \ left (n / c \ right) ^ \ right) = c ^ > .
Аналогично, b = (pgcd ( b , n )) 2 .
6. По свойству 3 a является полным квадратом тогда и только тогда, когда все показатели j p в его простой факторизации четны, что эквивалентно неравенству произведения . Теперь это произведение — количество делителей a . ∏ ( j п + 1 ) +1 \ right)>
Квадратный номер
Квадрат число является многоугольной число (поэтому строго положительное целое число ) , которые могут быть представлены геометрически с помощью квадрата . Например, 9 — это квадратное число, поскольку оно может быть представлено квадратом 3 × 3. Следовательно, квадратные числа представляют собой ненулевые полные квадраты , где n- е равно n 2 .
Произведение двух квадратных чисел — это квадратное число.
Изображение первого квадратного числа — точка. Значение n- го получается путем ограничения двух последовательных сторон предыдущего квадрата на 2 n — 1 балл: