Как поменять местами числа в скобках

Арифметические действия с числовыми рядами

Имея дело с суммой конечного числа слагаемых, можно менять слагаемые местами и расставлять скобки — от этого результат не изменится.

Числовой ряд — это сумма бесконечного числа слагаемых, и действия нужно производить с оглядкой на этот факт.

Как мы убедимся далее, абсолютно сходящиеся ряды полностью копируют поведение суммы конечного числа слагаемых, а условно сходящиеся — нет.

Расставление скобок

Под «расставлением скобок» в ряде понимают буквально следующее: пусть имеется последовательность

[math]n_1 \lt n_2 \lt \dots[/math] [math]\sum a_n = (a_1 + \dots + a_) + (a_ + \dots + a_) + \dots[/math] [math]b_p = \sum\limits_>^ a_k, \qquad n_0 = 1[/math]

Из построения видно, что частичная сумма ряда [math]b_p[/math] является некоторой частичной суммой ряда [math]a_n[/math] . Если исходный ряд сходится, то и ряд с расставленными скобками сходится к той же сумме. Обратное неверно: рассмотрим ряд с расставленными скобками

[math](1 — 1) + (1 — 1) + \dots = 0[/math]

Но ряд без скобок является расходящимся.

Легко установить факт: сходящийся ряд с расставленными скобками, в каждой скобке которого стоят слагаемые одного знака, сходится и без расставленных скобок.

Перестановка слагаемых ряда

Уточним, что понимается под перестановкой слагаемых ряда. Пусть [math]\varphi: \mathbb \rightarrow \mathbb[/math] — биекция.

Дан ряд [math]\sum\limits_^ <\infty>a_n[/math] . Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_^ <\infty>a_[/math] . Полученный ряд называется перестановкой ряда [math]a_n[/math] по правилу [math]\varphi[/math] .

Пусть ряд из [math]a_n \geq 0[/math] сходится к [math]A[/math] . Тогда [math]\sum\limits_^ <\infty>a_ = A[/math]

[math]B_n = a_ + a_ + \dots + a_, \qquad m_n = \max\limits_[/math] В силу положительности ряда [math]a_n[/math] частичные суммы [math]A_n[/math] ограничены.

Пусть ряд абсолютно сходится. Тогда любая его перестановка сходится к той же сумме.

По линейности суммы ряда разложим исходный ряд на сумму двух вспомогательных:

Для условно сходящихся рядов ситуация меняется. Имеет место теорема Римана (приводится без доказательства):

Пусть ряд из [math]a_n[/math] условно сходится. Тогда для любого [math]A[/math] из [math]\mathbb \cup \< -\infty; +\infty \>[/math] существует такая перестановка [math]\varphi[/math] , что [math]A = \sum\limits_^ <\infty>a_[/math] .

Формула Эйлера

Приведём пример условно сходящегося ряда и его перестановку, которая уменьшает сумму ряда в два раза.

Установим следующую формулу:

Выполняется равенство: [math]H_n = \sum\limits_^ \frac 1k = \ln n + C + \gamma_n, \qquad \gamma_n \rightarrow 0[/math] , где [math]C[/math] называется постоянной Эйлера

Воспользуемся тем, что [math]\ln 1 = 0[/math] :

[math]\ln n = \ln n — \ln 1 = \sum\limits_^ (\ln(k + 1) — \ln k) = \sum\limits_^ \int_^ \frac[/math]

По монотонности [math]\frac 1x[/math] : [math]\int_^ \frac \ge \frac 1[/math]

[math]H_n — \ln n = \frac 1n + \sum\limits_^ \left ( \frac 1k — \int_^ \frac x \right ) \qquad (*)[/math] [math]\frac 1k — \int_^ \frac x \le \frac 1k — \frac 1 = \frac 1 \le \frac 1[/math]

Итак, ряд [math]\sum\limits_^ <\infty>\left(\frac1k — \int_k^ \fracx \right)[/math] является положительным и мажорируется сходящимся рядом [math]\sum\limits_^ <\infty>\frac 1[/math] . Значит, этот ряд сходится.

Перестановка, меняющая сумму ряда

[math]\sum\limits_^ <\infty>(-1)^ \frac 1k = \ln 2[/math]

Представленный ряд сходится, так как является рядом Лейбница. Пусть он сходится к [math]S[/math] , тогда [math]S_ \rightarrow S[/math] , но:

Переставим ряд следующим образом: за каждым слагаемым с нечётным номером пишем два последовательных слагаемых с чётными номерами

[math]1 — \frac 12 — \frac 14 + \frac 13 — \frac 16 — \frac 18 + \frac 15 — \frac 1 — \frac 1 + \dots[/math]

Сумма этого ряда равна [math]\frac<\ln 2>[/math]

Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:

[math]\sum\limits_^ <\infty>\left ( \frac 1 — \frac 1 — \frac 1 \right )[/math]

Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:

Перемножение рядов

Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.

Организуем бесконечную матрицу из чисел [math]c_ = a_i \cdot b_j[/math] . Пусть [math]\varphi : \mathbb \rightarrow \mathbb^2[/math] — правило обхода матрицы, по которому матрицу можно развернуть в строку, то есть ряд, сумму которого можно посчитать (при сходимости такого ряда).

Если сумма такого ряда равна произведению сумм исходных рядов, то говорят, что два ряда можно перемножить по способу [math]\varphi[/math] .

Важнейший способ перемножения — способ Коши произведения по диагонали:

[math]\alpha_k = \sum\limits_^ a_j b_[/math]

Пусть положительные ряды [math]a_n, b_n[/math] абсолютно сходятся и имеют суммы [math]A[/math] и [math]B[/math] . Тогда их можно перемножить любым способом [math]\varphi[/math] .

Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм.

Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены.

Пусть ряды из [math]a_n, b_n[/math] абсолютно сходятся и имеют суммы [math]A[/math] и [math]B[/math] . Тогда их можно перемножить любым способом [math]\varphi[/math] .

Определим [math]A'[/math] как сумму вспомогательного ряда [math]\sum\limits_^n a_n^+[/math] , [math]A»[/math] как сумму [math]\sum\limits_^n a_n^-[/math] . Аналогично определяем [math]B'[/math] и [math]B»[/math] .

При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:

Пусть ряд из [math]a_n[/math] — абсолютно сходящийся, а ряд из [math]b_n[/math] — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.

Для удобства нумеруем слагаемые рядов [math]a_n[/math] и [math]b_n[/math] , начиная с нуля.

Пусть [math]\alpha_n = \sum\limits_^ a_kb_[/math] . Тогда сумма [math]\alpha_0 + \alpha_1 + \dots + \alpha_n[/math] — частичная сумма произведения рядов по правилу Коши.

[math]D_n = \sum\limits_^ \sum\limits_^ a_jb_ = \sum\limits_^\sum\limits_^n a_j b_=[/math] [math]= \sum\limits_^n a_j \cdot \sum\limits_^n b_ = \sum\limits_^n a_j \cdot \sum\limits_^ b_k = \sum\limits_^n a_j B_[/math] [math]B_n \longrightarrow B \Rightarrow B_n = B + \beta_n, \ \beta_n \longrightarrow 0[/math] [math]D_n = \sum\limits_^n a_j (B + \beta_) = B \sum\limits_^n a_j + \sum\limits_^n a_j\beta_[/math]

Если доказать, что [math]\sum\limits_^n a_j\beta_ \longrightarrow 0[/math] , то из последнего равенства получается искомое.

[math]\beta_n \longrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \qquad \exists N: \forall n \ge N \qquad |\beta_n| \le \varepsilon[/math]

Перебросив индексы в сумме, получаем:

[math]\sum\limits_^n a_\beta_j \le \left |\sum\limits_^n a_\beta_j \right | \le \left |\sum\limits_^N a_\beta_j \right | + \left |\sum\limits_^n a_\beta_j \right |[/math]

Обозначим два слагаемых в последней сумме как [math]\Sigma_1[/math] и [math]\Sigma_2[/math] . Последовательность [math]\beta_n[/math] — бесконечно малая, значит она ограничена, пусть числом [math]M[/math] . Тогда

[math]\Sigma_1 \le \sum\limits_^ |a_| |\beta_j| \le M \sum\limits_^N |a_| = M \sum\limits_^n |a_j|[/math] .

Так как ряд [math]a_n[/math] абсолютно сходится, то сумма стремится к нулю при [math]n \longrightarrow \infty[/math] . Значит, начиная с какого-то номера она не превзойдёт [math]\varepsilon[/math] . Итого, [math]\Sigma_1 \le M\varepsilon \qquad \forall n \ge N_1 \ge N[/math] .

Как поменять местами цифры в числе без использования временных переменных?

Учитель задал нам задачу: на вход пятизначное число. Затем у этого пятизначного числа берутся первые два и последние два числа, затем меняются местами. Например: Input: 24158, Output: 58124. Если два передних и задних числа, а также число посередине будут занимать по одной переменной, всего будет 4 переменных. А у нас задание: сократить число переменных до 2-х! Т.е. 1-я переменная — само число, 2-я переменная — все действия внутри числа.

Program Z_1; var x, a, b, c: LongInt; begin Randomize; x := random(89999) + 10000; writeln('Число: ', x); a := x div 1000; b := x mod 100; c := x div 100 mod 10; writeln('Результат: ', b,c,a); end. 

Должно получиться:

Program Z_1; var x, a: LongInt; begin Randomize; x := random(89999) + 10000; writeln('Число: ', x); a := . ; writeln('Результат: ', a); end. 

Подскажите, как можно сократить число переменных до требуемого?

Отслеживать

13.7k 12 12 золотых знаков 43 43 серебряных знака 75 75 бронзовых знаков

Действия с числами

Что будет, если сначала надеть куртку, а затем свитер? Или поставить выпекаться тесто, а потом его перемешать? Нарушение порядка действий влечет за собой плачевный результат. Так и в математике: решать примеры необходимо в строго определенном порядке, иначе получить верный ответ будет невозможно. Тому, как правильно это делать, посвящена наша статья.

Порядок выполнения действий с числами

В математике, как и в жизни, почти не встречаются вычисления в одно действие. Как уже было сказано, ошибка в последовательности счета приводит к неверному ответу.

1. Если в примере только сложение или вычитание, то действия выполняются в порядке слева направо.

1. Сначала складываем 17 и 2, получаем 19 – 9 + 5.
2. Теперь вычитаем 9 из 19 и получаем 10 + 5.
3. Складываем полученные числа: 10 + 5 = 15.

Если в примере только умножение или деление, то действия выполняются в порядке слева направо.

1. Сначала умножаем 2 на 4, получаем 8 : 8 * 7.
2. Делим 8 на 8, получаем 1 * 7.
3. Умножаем 1 на 7: 1 * 7 = 7.

Получаем: 2 * 4 : 8 * 7 = 8 : 8 * 7 = 1 * 7 = 7

Но что делать, если в примере и сложение, и вычитание, и деление, и умножение? Для дальнейших рассуждений необходимо ввести новые понятия:

Действия первой ступени — это сложение и вычитание, которые выполняются слева направо.

Действия второй ступени — это умножение и деление, которые выполняются слева направо.

2. Если в примере встречаются действия и первой, и второй ступени, то для вычислений необходимо пользоваться следующим порядком:

• Сначала выполняются действия второй ступени по порядку слева направо.
• После выполняются действия первой ступени по порядку слева направо.

Получаем: 2 + 3 * 4 — 5 * 2 + 17 = 2 + 12 — 10 + 17 = 14 — 10 + 17 = 4 + 17 = 21.

Это можно сравнить со спуском по лестнице. На второй снизу ступеньке у нас стоят умножение и деление, а на первой — сложение и вычитание. И если мы спускаемся по такой лестнице, то мы не можем перескочить сразу через ступень (если, конечно, не хотим упасть).

Рассмотрим порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками.

3. Если в примере появляются скобки.

• Сначала считаются действия в скобках. При этом соблюдается такой же порядок, как и в выражениях без скобок, то есть сначала действия второй ступени, а после — первой.
• После выполняются действия вне скобок, сохраняя правильный порядок счета.

Например,
20 — 3 + (4 * 8 — 2 * 3) + 3 * 6 =
= 20 — 3 + (32 — 6) + 3 * 6 =
= 20 — 3 + 26 + 3 * 6 =
= 20 — 3 + 26 + 18 =
= 17 + 26 + 18 =
= 43 + 18 = 61.

Так к нашей лесенке добавляется еще одна ступень со скобками. И теперь мы начинаем спускаться с третьей ступеньки.

Если в выражении появляется скобка в скобке, то сначала выполняются действия во внутренней скобке, а после – во внешней:

1 + (12 — 3 * 2 + (24 — 3 * 6)) =
= 1 + (12 — 3 * 2 + (24 — 18)) =
= 1 + (12 — 3 * 2 + 6) =
= 1 + (12 — 6 + 6) =
= 1 + 12 = 13.

И это уже четвертая ступенька!

4. Если в выражении появляются степени, корни или другие функции.

• Сначала считаются значения функций.
• Дальше вычисляются значения в скобках, сохраняя правильный порядок счета.
• Потом выполняются действия вне скобок, сохраняя правильный порядок счета.

Например,
2 3 + 12 — √4 — 2 * 3 =
= 8 + 12 — 2 — 2 * 3 =
= 8 + 12 — 2 — 6 =
= 20 — 2 — 6 =
= 18 — 6 = 12.

И, таким образом, мы завершаем нашу лесенку. Пятая и последняя ступень — это значения функций. Решая любой пример, нам нужно спуститься по этой лесенке, а если какой-то ступени нет — просто пропустить ее.

Если решать пример в неправильном порядке действий, то верный ответ не получится. Именно поэтому всегда работает правило: «Решать последовательно, нельзя менять местами».

Действия в выражениях выполняются в следующем порядке:
1.Вычисление значений функций;
2. Вычисление значений в скобках;
3.Вычисление значений вне скобок.

Действия с числами разных знаков

Для подробного разбора этой темы необходимо ввести понятие абсолютной величины или модуля числа.

Рассмотрим числовую прямую и числа на ней:

• положительные числа будут расставляться в порядке возрастания слева направо,
• отрицательные числа, напротив, будут уменьшаться справа налево.

Можно представить, что мы подставляем к 0 зеркало, тогда в нем в обратном порядке отображаются положительные числа, но с отрицательным знаком, то есть они зеркально повторяют положительную часть прямой.

Рассмотрим числа -4 и 4. Относительно ноля они лежат на одинаковом расстоянии: четыре условных единицы, отложенные влево и вправо.

Отсюда мы можем вывести определение модуля — это расстояние от начала координат (ноля) до точки. Модуль обозначается двумя вертикальными палочками.

Тогда |4| = 4, и |-4| = 4.

Подробнее про модуль и его свойства можно узнать в другой нашей статье.

Теперь мы можем рассмотреть действия с числами разных знаков.

Сложение

Если мы складываем числа с одинаковым знаком, то складываются их абсолютные величины, а перед суммой ставится общий знак.

Если мы складываем числа с разными знаками, то из абсолютной величины большего из них вычитается абсолютная величина меньшего, а перед разностью ставится знак числа с большей абсолютной величиной.

Вычитание

Для удобства счета вычитание можно заменить сложением, при этом уменьшаемое сохраняет знак, а вычитаемое его меняет.

Умножение и деление

При умножении умножаются абсолютные величины чисел.

При делении абсолютная величина одного числа делится на абсолютную величину другого числа.

При этом для определения знака необходимо воспользоваться следующими правилами:

1. Произведение и частное одинаковых знаков будет положительным (плюс на плюс дают плюс; минус на минус дают плюс).

1. Произведение и частное чисел с разными знаками будут отрицательными (плюс на минус дают минус; минус на плюс дают минус).

Для удобства запоминания можно воспользоваться следующей таблицей:

Например,
3 * (-2) = -6
8 : 4 = 2
(-10) : 5 = -2
(-4) * (-7) = 28.

Для сложения:
1. Из абсолютной величины большего числа вычитается абсолютная величина меньшего числа.
2. В ответе ставим знак числа с большей абсолютной величиной.

Для вычитания:
1. Вычитание можно заменить сложением, при этом вычитаемое меняет знак.
2. Решаем пример со сложением чисел разных знаков.

Округление чисел

В реальной жизни нам нередко встречаются неточные значения, и для удобства мы заменяем их приблизительными, то есть значениями, наиболее близкими к нужным. Например, часто можно услышать фразы «почти 7 килограмм», «чуть больше часа», «около 100 градусов». Данные выражения подразумевают, что в этих числах существует некоторая погрешность, которая не учитывается.

Чтобы понять, как округлять числа, необходимо немного подробнее разобрать их состав. Большие числа можно разбить на единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. Так, в числе 2309 две тысячи, три сотни, ноль десятков и девять единиц.

Положение (позиция) каждой цифры в записи числа называется разрядом.

В целых числах разряды увеличиваются справа налево (единицы, десятки, сотни и т.д.).
В дробной записи числа разряды уменьшаются слева направо (десятые, сотые, тысячные и т.д.)

Например, в числе 249,0836:

• 2 относится к разряду сотен;
• 4 — к десяткам;
• 9 — к единицам;
• 0 — к десятым;
• 8 — к сотым;
• 3 — к тысячным;
• 6 — к десятитысячным.

При делении чисел мы не всегда получаем точные значения, например, 2 не делится на 3. Но мы можем воспользоваться округлением, если невозможно достичь полной точности или она не нужна.

Приближенное значение числа — это число, полученное при округлении.

Округление – это операция, когда мы меняем число на его приближенное значение. При этом округлить можно до любого разряда.

Чтобы округлить число до какого-либо разряда, необходимо записать число на один разряд правее, после чего округлить его по правилам.

• Если после нужного для округления разряда стоят цифры 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в разряде не меняется и остается прежней.

• Если после нужного для округления разряда стоят числа 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в разряде увеличивается на единицу.

Округление до целых

Чтобы округлить число до целых значений, необходимо узнать значение только одной цифры после запятой (то есть цифру, стоящую в разряде десятых), а после воспользоваться правилами округления.

Например, при округлении числа 3,4 до целых получится 3, а при округлении 3,7 получится 4.

Округление до десятых

Чтобы округлить число до десятых, необходимо узнать две цифры после запятой, а после округлить число до одной цифры после запятой по правилам.

Например, 67,22 при округлении даст 67,2, а 67,29 ≈ 67,3.

Округление до сотых

Чтобы округлить число до сотых, необходимо узнать значение трех цифр после запятой, а после округлить число до двух цифр после запятой по правилам.

Например, при округлении числа 140,225 получится 140,23, а 140,221 ≈ 140,22.

Пользуясь этим алгоритмом, можно округлить число до любого нужного разряда.

Округление с недостатком — это округление числа в меньшую сторону.

Например, округлением с недостатком будет 4,072 ≈ 4,07

Округление с избытком — это округление числа в большую сторону.

Например, округлением с избытком будет 79,28 ≈ 79,3.

Округление с недостатком и избытком может использоваться для решения текстовых задач, при этом не всегда получается пользоваться правилами для округления с числами. Рассмотрим несколько примеров. Для этого решим несколько задач №1 из ЕГЭ по базовой математике.

Пример 1. Апельсины стоят 95 рублей за килограмм. Сколько килограмм апельсинов можно купить на 361 рубль?

Решение. Разделим 361 на 95, получаем:
361:95=3,8.

То есть на всю сумму можно будет купить 3 килограмма и 800 грамм апельсинов. Однако в задаче спрашивается только про килограммы, поэтому на 361 рубль можно будет купить только 3 килограмма апельсинов.

Ответ: 3.

В решении получилось число 3,8, и по правилам мы должны были округлить его до 4. Однако на 4 килограмма у нас уже не хватило бы денег, поэтому тут применяется округление с недостатком.

Пример 2. В жилом доме пять подъездов. В каждом подъезде по 20 квартир. Саша живет в 68 квартире. В каком подъезде живет Саша?

Решение. Разделим 68 на 20:
68:20=3,4.

Тогда 68-ая квартира будет располагаться в четвертом подъезде, поскольку в трех подъездах будет всего 60 квартир, значит еще восемь располагаются в следующем подъезде.

Ответ: 4.

Несмотря на то, что в решении получилось число 3,4, мы воспользовались округлением с избытком из-за ситуации в самой задаче.

При действиях с обычными числами обязательно пользоваться правилами.

Числа — незаменимый инструмент в математике. Как и слова в предложениях, из чисел (а также из переменных, обозначаемых буквами) складываются выражения, которые имеют свой неповторимый смысл. Следовательно, если мы хотим научиться решать любые задачи, то должны уметь работать с числами, правильно считать примеры, округлять. С этими знаниями примеры любой сложности будут нам очень легко даваться.

Термины

Произведение чисел — это результат их умножения.

Частноечисел — это результат деления одного числа на другое.

Фактчек

• Если в задании встречается выражение в несколько действий, то сначала считаются значения функций, после значения в скобках и в конце значения вне скобок (при этом сначала вычисляются действия второй ступени, а потом действия первой ступени).
• Чтобы посчитать значение действия с числами разных знаков, необходимо воспользоваться абсолютной величиной числа и правильно определить знак в ответе.
• Иногда невозможно (или не нужно) получить точное значение числа, в этом случае можно воспользоваться округлением.
• Округление в большую сторону называется округлением с избытком, а в меньшую — с недостатком.

Проверь себя

Задание 1.
В каком порядке выполняются действия в выражениях с числами? Какое действие выполняется первым в примере \(7+36-5*(29+8:4)-3*4^3+27*9:6\)?

Задание 2.
Выберите верно решенный пример:

1. \(6*7=42\)
2. \(81:9=-9\)
3. \((-3)*4=12\)
4. \((-7):(-1)=-7\)

Задание 3.
Выберите верно решенный пример:

1. \(-3-2=5\)
2. \(21-5=-16\)
3. \(-2-(+34)=36\)
4. \(42-50=-8\)

Задание 4.
Какое число будет округляться в большую сторону при округлении до сотых?

Задание 5.
Какое число будет округляться в меньшую сторону при округлении до целых?

Ответы: 1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4 — 3; 5. — 2.

Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок

Также обратная перестановка единственна. Это следует из того, что для каждой [math] i [/math] -ой позиций в исходной перестановке однозначно определяется [math] j [/math] -ая позиций в обратной перестановке, значение которой есть [math] i [/math]

Определение:

Перестановка, равная своей обратной, называется инволюцией (англ. involution): [math] a_i = a^_i \Rightarrow (aa ^)_i = (aa)_i = a_ = i [/math] , то есть её представление в виде циклов не содержит цикла, размер которого больше двух.

Количество инволюционных перестановок длины [math]n\geqslant 2 [/math] может быть получено по формуле: [math] I(n) = I(n-1)+(n-1)\cdot I(n-2) [/math] , где [math] I(0) = I(1) = 1. [/math]

Определение:

Перестановка, содержащая чётное количество инверсий, называется чётной (англ. even permutation), в противном случае [math] — [/math] нечётной (англ. odd permutation).

Определение:

Перестановка, меняющая местами только два элемента, называется транспозицией (англ. transposition).

Если в перестановке, длина которой больше [math]1[/math] , поменять местами [math] 2 [/math] элемента, то её четность изменится.

Получение обратной перестановки

Пусть в массиве [math] p [/math] содержится перестановка, длины [math] n [/math] , тогда после выполнения алгоритма в массиве [math] rep [/math] будет содержаться перестановка, обратная ей.

fun reversePerm(p : int[], rep : int[]) for i = 1 to n rep[p[i]] = i;

Группа перестановок

Множество перестановок с [math] n [/math] элементами с операцией умножения является группой (часто группу перестановок называют симметрической (англ. symmetric group), и обозначают [math] S_n [/math] ).

Мощность симметрической группы: [math]\left\vert S_n \right\vert = n![/math]

Теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна подгруппе некоторой группе перестановок.

Группа чётных перестановок

Определение:

Группа чётных перестановок (англ. alternating group) [math] A_n [/math] является подгруппой симметричной группы перестановок, образованной всеми чётными перестановками. Композиция не выводит из группы, так как если представить каждую перестановку группы в виде чётного числа транспозиций и перемножить их, чётность не изменится.

Количество чётных перестановок длины [math] n [/math] равно количеству нечётных и равно [math] \dfrac [/math]

Группа подстановок

Определение:

Подстановкой (англ. substitution) называется всякое взаимно однозначное отображение [math] A [/math] множества первых [math]n[/math] натуральных чисел на себя.

Всякая подстановка [math]A[/math] может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:

[math] A = \begin q_1 & q_2 & \ldots & q_n \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \end [/math]

Где через [math] a_ [/math] обозначается то число, в которое при подстановке [math] A [/math] переходит число [math] q_i [/math] .

Определение:

Группой подстановок (англ. group of substitutions) называется некоторая совокупность подстановок, замкнутая относительно композиции отображений, определяющей бинарную операцию для подстановок на одном и том же множестве.

См. также

• Теорема Кэли
• Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов

Источники информации