Как доказать что система векторов является базисом

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

1.8.4. Базис и система координат пространства

Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.

Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.

И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов!

Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)

Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными, и совершенно понятно, что базиса трёхмерного пространства они не создают.

Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).

Определение: векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.

Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: (почему?).

Справедливо и противоположное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга.

И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.

Определение: базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису , где – координаты вектора в этом базисе. Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки (начала отсчёта) и любых трёх линейно независимых векторов:

Выбранное (где угодно) начало координат , и некомпланарные векторы , взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координаттрёхмерного пространства:

Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координаявляется «школьная» система. Начало координат и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат пространства:

Ось абсцисс изображают под углом в по отношению к другим осям (к оси ординат и оси аппликат ). Популярный «тетрадный» масштаб: 1 ед. = 2 клетки по осям и 1 ед. = диагональ одной клетки – по оси .

И перед тем как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем теоретическую информацию:

Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения:

1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Противоположные высказывания, думаю, понятны.

Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5), и оставшиеся практические задания параграфа будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Повесим на гвоздь геометрическую клюшку и начнём орудовать бейсбольной битой линейной алгебры:

Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .

Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (результат не изменится). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.

Задача 42

Проверить, образуют ли векторы базис трёхмерного пространства:

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):

, значит, векторы линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.

Ответ: данные векторы образуют базис.

б) Это пункт для самостоятельного решения. Не пропускаем! Для проверки правильности вычислений определителей я приложил к книге Алгебраический Калькулятор.

Решим творческую задачку:

Задача 43

При каком значении параметра векторы будут компланарны?

Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю:

По существу, требуется решить уравнение с определителем. Определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке:

Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:

Ответ: при

Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что , раскрыв его заново.

И в заключение параграфа рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая встречается в подавляющем большинстве контрольных работ по алгебре и геометрии:

Задача 44

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать свой базис. И первый этап полностью совпадает с решением Задачи 42 – необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы. Для этого нужно вычислить определитель, составленный из координат векторов :

, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе .

Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор можно единственным образом разложить по данному базису:
, где – координаты вектора в базисе .

И по условию требуется найти координаты .

Для удобства объяснения поменяю части местами: . В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно:
– коэффициенты левой части берём из опр-ля ,
в правую часть записываем координаты вектора .

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее дело техники:

и ещё один определитель:

Таким образом:
– разложение вектора по базису .

Ответ:

Такая же задача для самостоятельного решения:

Задача 45

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце книги. Для самоконтроля используйте тот же Алгебраический Калькулятор, где есть макет с автоматическим расчётом системы по правилу Крамера.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Образуют ли вектора базис

Онлайн калькулятор для проверки, образуют ли вектора базис.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто проверить образует ли заданный набор векторов базис (проверить линейную независимость векторов).

Линейная независимость векторов Данный онлайн сервис позволяет определить, могут ли введенные векторы быть базисом. Необходимым и достаточным условием образования базиса является линейная независимость векторов, когда ни один из них не может быть выражен через комбинацию оставшихся. Именно на этом принципе строится решение данной задачи в данном калькуляторе. Имеется удобный интерфейс по вводу векторов, заданных либо по координатам векторов, либо по кординатам точек начала и конца векторов, а также возможность в больших пределах изменять пространство векторов: от 2 до 6.
В n-мерном пространстве, если заданы n базисных векторов, через них могут выражаться любые другие вектора пространства, поэтому правильно выбрать базис очень важно.

Как найти координаты вектора в базисе

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Пусть в R 3 относительно канонического базисы даны четыре вектора f₁ = (1,2,3) , f₂ = (2,3,7) , f₃=(1,3,1) , x = (2,3,4) . Докажите, что векторы f₁ , f₂ , f₃ можно принять за новый базис. Найдите координаты η₁ , η₂ , η₃ вектора х относительно этого базиса.

Решение:
Записываем матрицу перехода А:
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f₁ , f₂ , f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис.
Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор нельзя разложить по данному базису.

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α,β,γ что имеет место равенство:

Запишем данное равенство в координатной форме:
(-3;5;4)=α(5;1;2) + β(3;4;-1) + γ(-4;2;1)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(-3;5;4) = (5α;α;2α) + (3β;4β;-β) + (-4γ;2γ;γ)
(-3;5;4) = (5α+3β-4γ;α+4β+2γ;2α-β+γ)
По свойству равенства векторов имеем:
Решая полученную систему уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных из уравнений системы), выберем в качестве ведущего уравнения второе уравнение системы:

Выразим из первого уравнения полученной системы α и подставим полученное выражение во второе и третье уравнения системы:

Разделим второе уравнение системы на -1 ,а третье уравнение системы на -3 и выразим из полученного равенства γ :

Подставим полученное выражение для γ в третье уравнение системы:

В итоге получим разложение вектора в базисе :

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

55	-19	-32
-39	-13	26
-57	23	10

Матрицу Х ищем по формуле:

55	-19	-32
-39	-13	26
-57	23	10

75 /₁₈₂	-1 46 /₉₁	1 9 /₁₃
-13 /₁₄	1 2 /₇	-1
5 /₁₈₂	1 3 /₉₁	-1 2 /₁₃

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e ₁= AB , e ₂= AC , e ₃= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e ₁, e ₂, e ₃)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

Следовательно, =+.

Пример №2 . Разложите вектор v = (36; -6) по базису e1=(-5;3),e2=(-2;-4) .
Решение. Даны векторы ε₁(-5;3), ε₂(-2;-4), X(36;-6). Показать, что векторы образуют базис двухмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

∆ = (-5)*(-4) — (-2)*3 = 26
Определитель матрицы равен ∆ =26
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α₁, α₂, что имеет место равенство:
X = α₁ε₁ + α₂ε₂
Запишем данное равенство в координатной форме:
(36;-6) = α(-5;3) + α(-2;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(36;-6) = (-5α₁;3α₁😉 + (-2α₂;-4α₂😉
(36;-6) = (-5α₁ -2α₂;3α₁ -4α₂)
По свойству равенства векторов имеем:
-5α₁ -2α₂ = 36
3α₁ -4α₂ = -6
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

Как доказать что система векторов является базисом