2. Отыскание точек экстремума
Теорема 3. Если функция \(y=f(x)\) имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:
а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) < 0 , а при x >x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );
б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) >0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) < 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) );
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.
Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными , а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует, называются критическими .
Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)
Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы
1. Найдём производную f ′ ( x ) .
2. Определим критические точки.
3. Нанесём критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.
4. Опираясь на теоремы \(1\), \(2\) и \(4\), определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.
1) если производная функции в критической точке меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ;
2) если производная функции в критической точке меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ;
3) если производная функции в критической точке не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
найти экстремумы функции f ( x ) = x 2 x − 1 .
Производная этой функции — f ′ ( x ) = x x − 2 ( x − 1 ) 2 , значит, критические точки функции — это \(x=0\) и \(x=2\). Точка \(x=1\) не принадлежит области определения функции.
Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала: − ∞ ; 0 ∪ 0 ; 1 ∪ 1 ; 2 ∪ 2 ; + ∞ . Знак первого интервала положительный (например, f ′ \((-1)=0.75\)). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.
Значит, производная меняет знак только в точках \(x=0\) и \(x=2\).
В точке \(x=0\) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции \(f(0)=0\).
В точке \(x=2\) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции \(f(2)=4\).
Критические точки и экстремумы функции
В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.
1. Для значений 
равных 
угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. 
. Эти точки являются критическими точками функции.
2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.
3. Для рассматриваемой нами функции критические точки 
делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки 
— критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).
По графику видно, что в точках внутреннего экстремума 
производная функции равна нулю, а в точке 
производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.
Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.
Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке 
производная функции 
равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.
На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.
Достаточное условие существования экстремума
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и 
. Если 
является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:
1 ) 
слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.
2) слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума
3) с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.
Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.
Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
записываются как 
и 
.
Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.
Задача пример №117
Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.
Решение:
Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.
1. Производная функции:
2. Критические точки функции:
3. Точки 
и 
разбивают область определения функции на три промежутка.
Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:
для интервала 
для интервала 
для интервала 
Интервал 
Пробные точки 
Знак 
Возрастание и убывание 
При 
имеем 
. (-1;3) — максимум
При 
имеем 
(1;-1) — минимум
4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.
Задача пример №118
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2].
Решение:
Сначала найдем критические точки. Так как 
, то критические точки можно найти из уравнения 
. Критическая точка 
не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке 
и на концах отрезка.
Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:
Задача пример №119
Найдите экстремумы функции .
Решение:
1. Производная функции:
2. Критические точки: 
, 
3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:
Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.
Для промежутка 
возьмем 
Для промежутка (0; 1,5) возьмем
Для промежутка 
возьмем 
Интервал
Пробные точки
Знак 
Возрастание-убывание 
Используя полученную для функции 
информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами 
и 
касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.
• Функция 
на промежутке 
возрастает.
• Точка 
критическая точка функции , но не является экстремумом.
• Функция на промежутке [0; 1,5] возрастает.
• Функция на промежутке 
убывает.
•
Задача пример №120
Найдите экстремумы функции
Решение:
1. Производная
2. Критические точки: для этого надо решить уравнение 
или найти точки, в которых производная не существует. В точке 
функция не имеет конечной производной. Однако точка 
принадлежит области определения. Значит, точка 
является критической точкой функции.
3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: 
и 
Определим знак , выбрав пробные точки для каждого промежутка:
Для 
возьмем 
Для 
возьмем 
Интервал 
Пробные точки 
Знак 
Возрастание-убывание
• Функция на промежутке 
убывает.
• Функция на промежутке 
возрастает.
•
Задача пример №121
По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.
Решение:
Производная в точке равна нулю, а при 
отрицательна, значит, на интервале 
функция убывающая. При 
производная положительна, а это говорит о том, что функция на промежутке 
возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка 
. Соответствующий график представлен на рисунке.
Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:
| Математика: полный курс решений задач в виде лекций |
Другие темы которые вам помогут понять математику:
Найти критические точки функции
- : x^a
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Solver Title
Больше практиковаться
Введите свой ответ
Удостоверьтесь
| x^2 | \left(\right)» data-moveleft=»3″> \log_ | \nthroot[\msquare] | \le | \ge | \cdot | \div | \pi | |
| \left(\square\right)^ | \frac | \int | \left(\right)» data-moveleft=»1″> \lim | \infty | \theta | (f\:\circ\:g) | f(x) |  |
принять вызов
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Generating PDF.
Вы уверены, что хотите выйти из этого испытания? Закрыв это окно, вы потеряете это испытание.
- Предварительная Алгебра
- Алгебра
- Предварительное Исчисление
- Исчисление
- Функции
- Уравнения Прямой
- Прямая
- Заданные Очки
- Заданный Уклон и Точка
x^2 \left(\right)» data-moveleft=»3″> \log_ \nthroot[\msquare] \le \ge \cdot \div \pi \left(\square\right)^ \frac \int \left(\right)» data-moveleft=»1″> \lim \infty \theta (f\:\circ\:g) f(x) 
\square^ x^ \sqrt \nthroot[\msquare] \frac \log_ \pi \theta \infty \int \frac \ge \le \cdot \div x^ (\square) |\square| (f\:\circ\:g) f(x) \ln e^ \left(\square\right)^ \frac \int_<\msquare>^ \lim \sum \sin \cos \tan \cot \csc \sec \alpha \beta \gamma \delta \zeta \eta \theta \iota \kappa \lambda \mu \nu \xi \pi \rho \sigma \tau \upsilon \phi \chi \psi \omega A B \Gamma \Delta E Z H \Theta K \Lambda M N \Xi \Pi P \Sigma T \Upsilon \Phi X \Psi \Omega \sin \cos \tan \cot \sec \csc \sinh \cosh \tanh \coth \sech \arcsin \arccos \arctan \arccot \arcsec \arccsc \arcsinh \arccosh \arctanh \arccoth \arcsech \begin\square\\\square\end \begin\square\\\square\\\square\end = \ne \div \cdot \times > \le \ge (\square) [\square] ▭\:\longdivision \times \twostack + \twostack — \twostack \square! x^ \rightarrow \lfloor\square\rfloor \lceil\square\rceil \overline \vec \in \forall \notin \exist \mathbb \mathbb \mathbb \mathbb \emptyset \vee \wedge \neg \oplus \cap \cup \square^ \subset \subsete \superset \supersete \int \int\int \int\int\int \int_^ \int_^\int_^ \int_^\int_^\int_^ \sum \prod \lim \lim _ \lim _ \lim _ \frac \frac \left(\square\right)^ \left(\square\right)^ \frac \mathrm \mathrm \square! ( ) % \mathrm \arcsin \sin \sqrt 7 8 9 \div \arccos \cos \ln 4 5 6 \times \arctan \tan \log 1 2 3 — \pi e x^ 0 . \bold + Наиболее часто используемые действия
\mathrm \mathrm \mathrm \mathrm \mathrm
- Прямая