анализ — Как исследовать на дифференцируемость функцию?
В ответах сказано, что она дифференцируема всюду. Что нужно сделать, чтобы это понять?
задан 17 Янв ’12 11:40
2 ответа
Для начала сосчитаем предел $$\lim_\frac < e^>>=0 $$ Например, заменой x=-1/z, затем правило Лопиталя.$$$$Дифференцируемость функции следует проверить только в точке (стыковки графиков) x=0. Находим f(0)=0.Вспоминаем определение производной в точке $%x_0=0$% Имеем $$f'(x_0)= \lim_ \frac $$. Докажем, что $%f'(0)=0$%
Значит, надо доказать равенства $$f'(0)= \lim_ \frac >>-0> = \lim_ \frac =0$$. Одно равенство очевидно, $$\lim_ \frac =0$$. А первый предел нами уже рассмотрен. ЧТД.
отвечен 17 Янв ’12 14:23
Думаю, что надо представлять график функции для начала. Я представляю его как-то так:
Графики построены с помощью приложения Маткад. Из условия следует, что до x=0 на графике — красная линия, при x>0 график функции — синия штрих-пунктирная линия. теперь про дифференцируемость: если нет разрывов, т.е. график не уходит в бесконечность, и нет никаких скачков (резкого увеличения значения функции), то функция дифференцируема, ну это в простом случае (как ваш, например). Более сложные ситуации может быть кто-то изложит ещё.
отвечен 17 Янв ’12 13:29
@sangol Картинка вставляется в сообщение путем нажатия на соответствующую кнопку в редакторе.
(17 Янв ’12 13:45) ХэшКод
хорошо, замучал я Вас наверное своими картинками)) третью уже вставляете)) попробую в следующий раз сам сделать
(17 Янв ’12 13:49) sangol
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
задан
17 Янв ’12 11:40
показан
34712 раз
обновлен
17 Янв ’12 14:25
Математический анализ Примеры
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Умножим на .
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Первая производная по равна .
Выясним, является ли производная непрерывной на .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Как проверить функцию на дифференцируемость
Сообщение 0201400 » 12 фев 2014, 20:10
Исследовать на дифференцируемость функцию
\(f(x) = (x-2) arctg(\frac), f(2) = 0\)
Алексей Администратор Сообщения: 1707 Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13
Re: Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
Сообщение Алексей » 12 фев 2014, 21:34
Насколько я понимаю, исследовать на дифференцируемость нужно именно в точке \(x=2\) . Проверим, существует ли \(\lim_\frac
Теперь рассмотрим односторонние пределы, т.е. \(\lim_\mathrm\frac\) и \(\lim_\mathrm\frac\) . Так как \(\lim_\mathrm\frac=\frac<\pi>\) и \(\lim_\mathrm\frac=-\frac<\pi>\) , т.е. односторонние пределы не равны между собой, то предел \(\lim_\frac
«Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку.» Братья Стругацкие, «Хромая судьба»
0201400 Сообщения: 39 Зарегистрирован: 12 фев 2014, 18:43
Re: Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
Сообщение 0201400 » 12 фев 2014, 21:37
Странно, что меня смутила формулировка задания. Потому что аналогичное задание «исследовать на дифференцируемость в точке» я сделал. Спасибо
Постараюсь сам сделать, потом сравню с приведенным выше решением.
Алексей Администратор Сообщения: 1707 Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13
Re: Исследовать на дифференцируемость функцию (2)
Сообщение Алексей » 12 фев 2014, 21:50
0201400 писал(а): Странно, что меня смутила формулировка задания. Потому что аналогичное задание «исследовать на дифференцируемость в точке» я сделал. Спасибо
Постараюсь сам сделать, потом сравню с приведенным выше решением.
Попробуйте Можете написать краткий ход решения, я проверю на корректность.
«Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку.» Братья Стругацкие, «Хромая судьба»
Конев В.В. Дифференцирование функций
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции 
Дифференцирование функций
Основные теоремы
Формула Тейлора
Доказательство. По определению производной
Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде
где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда
Следовательно, при x → a.
Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.
Рис. 8. Непрерывная в точке a функция 
не является дифференцируемой в этой точке.