Как сравнить два комплексных числа

Конев В.В. Комплексные числа

Основные понятия
Введение

Основные понятия

Приложения

Два комплексных числа (a, b) и (c, d) равны между собой, если a = c и одновременно b = d.
Сумма комплексных чисел (a, b) и (c, d) представляет собой комплексное число (a + c, b + d).

(x, y) = x + iy.

При этом с точки зрения алгебраических преобразований комплексных чисел все выглядит так, будто множество вещественных чисел формально дополнено мнимой единицей — с сохранением всех правил действий над вещественными числами. Следует только помнить, что каждый раз, когда встретится число i 2 , его нужно заменять на (–1).
Например,

(2 + 3i) + (7 – i) = 9 + 2i
(Фактически просто выполнено приведение подобных.)
(2 + 3i)·(7 – i) = 17 + 19i
(Раскрытие скобок, приведение подобных, замена i 2 на –1)
i 3 = i 2 · i = – i.
Уравнение x 2 = –1 имеет два корня: + i и – i.
Проверка: (± i) 2 = –1.

Психологически число i порой воспринимается с некоторой настороженностью, поскольку из школьного курса алгебры укоренилось впечатление, что не бывает чисел, которые в квадрате дают (–1); мнимую единицу нельзя «потрогать» и так далее.
Чтобы преодолеть подобный барьер, давайте сопоставим число i с числом , которое тоже не очень-то просто сравнить с чем-нибудь материальным – типа количества кубиков. При этом число позволяет записать корни уравнения x 2 = 2 , а квадрат этого числа равен вполне понятному числу 2.
В этом смысле число i столь же «нормальное», что и — мнимая единица позволяет записать корни уравнения x 2 = –1 , а ее квадрат выглядит и совсем просто: i 2 = –1.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось shumakovaeo 16.06.2014, 16:37, всего редактировалось 1 раз.

Подскажите определение или литературу по методу «комплексного сравнения».
всегда считала, что копмлексные числа не упорядочены, а тут задание
«найти и изобразить образ области $$D:\<z\notin [-2;1]\>$» /> при отображении <img decoding=$ » .
$z$ имеется ввиду комплексное, не могу понять, что за область $D$

Re: сравнение комплексных чисел
16.06.2014, 15:31

Заслуженный участник

Что обозначает символ $\in$ ? А символ $\not\in$ ? И при чём здесь сравнение комплексных чисел?

Re: сравнение комплексных чисел
16.06.2014, 16:07

Последний раз редактировалось shumakovaeo 16.06.2014, 16:35, всего редактировалось 3 раз(а).

$\in$ принадлежит, а $\notin$ не принадлежит. формулировку задания я не меняла, так преподаватель выдал.
я посчитала, что область $D$ это числа вне отрезка $[-2;1]$ .
Думала по аналогии с действительными числами это значит $z<-2$ или $z>1$» />, но не знаю как сравнивать комплексные числа. Возможно я неверно поняла запись <img decoding= ?

нашла (правда не в книге, а в сети) такой способ сравнивать: $a+bi<x+iy$ только если $a<x$ и $b<y$ . приемлим ли такой способ?

Posted automatically
16.06.2014, 16:17

2. Приведите свои попытки решения и/или укажите затруднения.

Posted automatically
16.06.2014, 16:39

i	Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)» Причина переноса: не указана.

Re: сравнение комплексных чисел
16.06.2014, 16:41

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ИСН 16.06.2014, 16:41, всего редактировалось 1 раз.

$[2,1]$

Область D — это числа вне отрезка . А сравнивать комплексные числа нельзя. Возможно, Вы об этом когда-то слышали.

Re: сравнение комплексных чисел
16.06.2014, 17:04

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 16.06.2014, 17:07, всего редактировалось 1 раз.

shumakovaeo в сообщении #876057 писал(а):

Думала по аналогии с действительными числами это значит $z<-2$ или $z>1$» />,
Тут возможны две интерпретации, с одинаковым результатом.
1). Вещественные числа считаются подмножеством комплексных, а для вещественных чисел как таковых запись имеет смысл. Т.е. на комплексной плоскости — это просто соответствующая часть подмножества вещественных чисел.
2). Но и для произвольной пары комплексных точек <img decoding= имеет смысл понятие отрезка $[z_1;z_2]$ : это — множество всех точек вида $z=z_1t+z_2(1-t)$ , где \leqslant t\leqslant1$» />\leqslant t\leqslant1$» />\leqslant t\leqslant1$» />. Это — частный случай общего понятия отрезка в произвольном линейном пространстве (над комплексным или вещественным полем), а множество комплексных чисел таковым пространством является.

— Пн июн 16, 2014 18:07:24 —

shumakovaeo в сообщении #876057 писал(а):

$a+bi<x+iy$ только если $a<x$ и $b<y$ . приемлим ли такой способ?

Неприемлем в том смысле, что это лишь частичный порядок, но не линейный. Сравнивать комплексные числа действительно нельзя (точнее, невозможно задать на них упорядоченность, которая была бы согласована с аксиомами поля).

Как сравнивать комплексные числа?

Если посмотреть исторически на «виды» чисел, которые приходилось вводить для расчетов (натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные) для каждого следующего вида чисел можно было однозначно сравнивать их с предыдущим. Но как обстоят дела с комплексными числами? Что больше, 3 или 2 + i?
Как сравниваются комплексные числа?

Лучший ответ
Через экспоненциальную форму представления (модуль и угол)
Jet SetМудрец (18395) 2 года назад
Можно подробнее?
Victor KapoustianИскусственный Интеллект (147046) 2 года назад

Простите, плохо получается — вся латиница стёрлась с клавиатуры.

Итак z=ax + i by = Re**it, где R= sqrt (a**2 + b**2) и t=arc_tg(b/a)

** — операция возведения в степени.
Даже весь взмок, набирая латиницу по памяти.

Остальные ответы
Можно сравнивать аргументы: у числа 3 аргумент 3, у числа 2+i аргумент √5<3 ТермодинамистМыслитель (5402) 1 год назад

У действительных чисел аргумент же всегда пустой (полный угол), т.к. это чисто точка на числовой оси.

Тугеус Владимир Искусственный Интеллект (183511) Колян Чуваков , а я и не возражаю

Никак не сравниваются, Нельзя сказать, что одно число больше, другое меньше, хотя можно сравнить, например, их модули. Кстати, комплексные числа — далеко не последняя ступень развития понятия чисел. Есть и кватернионы, и октавы, и седенионы и т. п. Есть и матрицы, и тензоры. Как правило, чем дальше, тем меньше свойств обычных вещественных чисел у них остается.

Jet SetМудрец (18395) 2 года назад

Другие «ступени» это чисто теоретическое развитие понятия чисел. Недостающим звеном именно для расчетов были комплексные числа, и на сегодняшний день нет ни одной операции для которой бы требовалось введение нового типа чисел (по аналогии с кв. корнем из -1). Так что они не в счет.
И что значит «никак не сравниваются»? Интуитивное сравнение возможно. Взять хотя бы так: число 1 + i и число 1 + i равны между собой, а числа i и -i не равны.

Krab BarkИскусственный Интеллект (276838) 2 года назад

Согласен, неточно ответил, отреагировал на «Что больше, 3 или 2 + i?». На равенство и неравенство сравниваются, но на «больше» или «меньше» — нет.
Насчет «на сегодняшний день нет ни одной операции для которой бы требовалось введение нового типа чисел» преобразования трехмерных объектов даже в видеокартах компьютеров базируются на арифметике кватернионов.

Jet Set Мудрец (18395) Krab Bark, там используются именно вектора, а не числа. Я имею ввиду арифметические операции, сложение, вычитание, умножение, деление, корень, логарифм.

В электротехнике они сравниваются по модулю (максимальное значение) и аргументу (сдвиг фаз).

Как вы сравните скаляр и вектор? Комплексное число — тот же вектор, имеет величину и направление, иными словами, определён в пространстве с размерностью два.

Jet SetМудрец (18395) 2 года назад
Не, нихрена, коплексное число это не вектор, на него не действует правило умножения векторов.

Надо смириться с тем, что есть несравнимые.
Но некоторые можно сравнивать.
Способ сравнения (упорядочивание) можно вводить разными способами.

А если рассматривать так, что комплексные числа — это настоящие числа, а действительные — некоторое их подмножество с мнимой частью равной нулю? Тогда получится, что мы сравниваем действительный части таких чисел и всё. Не само комплексное число с нулевой мнимой частью. То есть все числа комплексные и все не сравнимы. Или сравнение введено лишь для некоторого помножества комплексных чисел. (там в комментах выше я видел замечания, исключения).

Проблема в сравнении числа i и любого действительноuj. Что больше: i или 3, i или -3? i в квадрате равно -1, а 3 в квадрате 9, значит 3 больше i?

Комплексные числа сравнивать так же, как действительные нельзя, но есть несколько методов сравнения.

1. По действительной части.
2. По мнимой части. Методы 1 и 2 в некоторых книгах называются методами «лексикографического сравнения».
3. По модулю комплексного числа.
4. По аргументу комплексного числа.

Соответственно, все эти методы сравнения имеют своё отражение при построении графиков комплексных функций.

ТермодинамистМыслитель (5402) 1 год назад

С чего бы это действительные нельзя? Они-то вполне упорядочены. Если a > b, b>c, то a>c. Для комплексных a+i, b+i, c+i это уже не будет верно.

Радован Штейн Мыслитель (9803) Колян Чуваков , «С чего бы это действительные нельзя? » Прочитайте, пожалуйста, внимательно комментарий, на который отвечаете. Я написал, что комплексные нельзя сравнивать _ТАК ЖЕ_ КАК ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ. Не «также как действительные», а ТАК ЖЕ (раздельно) — то есть «таким же образом», «тем же самым способом» и т.д. Здесь и вскрывается принципиальная смыслоразличительная разница между раздельным написанием «так же» (в значении «таким же способом», «тем же образом, что и») и слитным написанием «также» (в значении «в том числе»). То есть, действительные сравнивать можно. А комплексные ТАК ЖЕ (то есть, «тем же способом, что и»), как действительные, сравнивать нельзя.

Сравнение комплексных чисел

Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.

Объявления		Последний пост
	Работодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий	26.03.2008 03:07
	Правила и принципы форума «Высшая математика»	28.10.2009 15:17
	Запущен новый раздел «Задачки и головоломки»	29.08.2019 00:42

12.03.2008 23:00
Дата регистрации:
15 лет назад
Сравнение комплексных чисел

Уважаемые форумчане. Очень нужна ваша помощь. Решается судьба сессии.
Вопрос такой: какое число больше:
$(-1)^>$ или $(-1)^>$ ?
Заранее благодарю за помощь.

Редактировалось 2 раз(а). Последний 13.03.2008 09:52.

Как сравнить два комплексных числа

Конев В.В. Комплексные числа

Научный форум dxdy

Как сравнивать комплексные числа?

Сравнение комплексных чисел

Добавить комментарий Отменить ответ