Дробная степень числа
Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.
Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:
Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:
Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:
Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.
Действия над степенями с дробными показателями
Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.
При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: 
и 
, служащих показателями степеней, положительны.
В частном случае n или q могут равняться единице.
При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:
Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:
Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |
Дробная степень
Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?
1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r
где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число
Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.
Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:
Выполнить возведение в дробную степень:
![\[2){128^{\frac{5}{7}}} = \sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(\sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ca6a763634d13ac35dbf3467b2cf0f7_l3.png)
Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.
![\[3){625^{0,75}} = {625^{\frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(\sqrt[4]{{625}})^3} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abfb203ce8ff41dfaa23131965c82484_l3.png)
![\[4){243^{0,4}} = {243^{\frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {\left( {\sqrt[5]{{243}}} \right)^2} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-731fe49dd5b87247b4bf80db80498afb_l3.png)
Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:
![\[5){(15\frac{5}{8})^{\frac{2}{3}}} = {(\frac{{125}}{8})^{\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{(\frac{{125}}{8})}^2}}} = {(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{8}}})^2} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-530b6be83a2d080f4361a64df4a8d9a8_l3.png)
![\[6){(12\frac{1}{4})^{1,5}} = {(\frac{{49}}{4})^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{(\frac{{49}}{4})}^3}} = {(\sqrt {\frac{{49}}{4}} )^3} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de54a63484a07a1904de69d624a15066_l3.png)
![\[ = {(\frac{7}{2})^3} = \frac{{343}}{8} = 42\frac{7}{8}.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-381d030dab138247c02474ffdd0a7b2d_l3.png)
А как вычисляется отрицательная дробная степень?
Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:
![\[ a^{ - \frac{m}{n}} = \frac{1}{{a^{\frac{m}{n}} }} = \frac{1}{{\sqrt[n]{{a^m }}}} = \frac{1}{{(\sqrt[n]{a})^m }} \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-04ccfa4d9f6d70590a9f629f91019965_l3.png)
При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:
Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем:
Возведение в дробную степень: понятное объяснение и основные свойства
Статья содержит объяснение понятия дробной степени, свойства возведения в дробную степень, правила упрощения дробных степеней, а также примеры вычисления и практическое применение данной операции.
Возведение в дробную степень: понятное объяснение и основные свойства обновлено: 19 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Помощь в написании работы
Введение
Возведение числа в степень – одна из основных операций в математике. Однако, помимо целых степеней, существуют также дробные степени. В этой лекции мы рассмотрим определение дробной степени, свойства возведения в дробную степень, правила упрощения дробных степеней, а также примеры вычисления дробных степеней. Мы также обсудим практическое применение возведения в дробную степень. Давайте начнем!
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Определение дробной степени
Дробная степень – это математическая операция, которая позволяет возвести число в степень, представленную дробным числом. Дробная степень может быть положительной или отрицательной.
Для вычисления дробной степени числа a возводим его в числитель дроби в степень, а затем извлекаем корень из числа a, возведенного в знаменатель дроби.
Формула для вычисления дробной степени:
a^(m/n) = корень n-ой степени из a^m
где a – число, m – числитель дроби, n – знаменатель дроби.
Например, чтобы вычислить 2^(3/2), мы возводим 2 в степень 3 и затем извлекаем корень квадратный из результата.
Свойства возведения в дробную степень
При возведении числа в дробную степень существуют несколько свойств, которые помогают упростить вычисления и работу с дробными степенями. Вот некоторые из них:
Свойство умножения
При умножении числа, возведенного в дробную степень, на другое число, также возведенное в дробную степень, можно сложить степени в знаменателях и получить новую дробную степень.
Например, (a^(m/n)) * (a^(p/q)) = a^((m/n) + (p/q))
Свойство деления
При делении числа, возведенного в дробную степень, на другое число, также возведенное в дробную степень, можно вычесть степени в знаменателях и получить новую дробную степень.
Например, (a^(m/n)) / (a^(p/q)) = a^((m/n) – (p/q))
Свойство возведения в степень степени
При возведении числа, возведенного в дробную степень, в еще одну дробную степень, можно перемножить степени числителей и знаменателей и получить новую дробную степень.
Свойство отрицательной степени
Если число a возведено в отрицательную дробную степень, то можно взять обратное значение числа a, возведенного в положительную дробную степень.
Например, (a^(-m/n)) = 1 / (a^(m/n))
Свойство нулевой степени
Любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую дробную степень, равно 1.
Например, (a^(0/n)) = 1
Эти свойства помогают упростить вычисления и работу с дробными степенями, позволяя применять алгебраические операции для упрощения выражений.
Правила упрощения дробных степеней
Упрощение дроби в показателе степени
Если в показателе степени встречается дробь, то можно применить корень или извлечение корня для упрощения выражения.
Например, a^(m/n) можно записать как корень n-й степени из a^m, или как (a^m)^(1/n).
Упрощение дроби в основании степени
Если в основании степени встречается дробь, то можно применить корень или извлечение корня для упрощения выражения.
Например, (m/n)^(p/q) можно записать как корень q-й степени из (m/n)^p, или как ((m/n)^p)^(1/q).
Упрощение дроби в показателе и основании степени
Если и в показателе степени, и в основании степени встречаются дроби, то можно применить корень или извлечение корня для упрощения выражения.
Например, (m/n)^(p/q) можно записать как корень q-й степени из (m/n)^p, или как ((m/n)^p)^(1/q).
Эти правила позволяют упростить выражения с дробными степенями, применяя операции корня или извлечения корня для упрощения основания и показателя степени.
Примеры вычисления дробных степеней
Пример 1:
Согласно правилу возведения в дробную степень, мы можем применить корень третьей степени к основанию и показателю степени.
Таким образом, (2/3)^(2/3) = корень третьей степени из (2/3)^2.
Далее, (2/3)^2 = (2^2)/(3^2) = 4/9.
Итак, (2/3)^(2/3) = корень третьей степени из 4/9.
Мы можем упростить это выражение, извлекая корень третьей степени из числителя и знаменателя:
корень третьей степени из 4 = 1.5874
корень третьей степени из 9 = 2
Таким образом, (2/3)^(2/3) = 1.5874/2 = 0.7937.
Пример 2:
Согласно правилу возведения в дробную степень, мы можем применить корень четвертой степени к основанию и показателю степени.
Таким образом, (5/2)^(3/4) = корень четвертой степени из (5/2)^3.
Далее, (5/2)^3 = (5^3)/(2^3) = 125/8.
Итак, (5/2)^(3/4) = корень четвертой степени из 125/8.
Мы можем упростить это выражение, извлекая корень четвертой степени из числителя и знаменателя:
корень четвертой степени из 125 = 2.6261
корень четвертой степени из 8 = 1.6818
Таким образом, (5/2)^(3/4) = 2.6261/1.6818 = 1.5608.
Пример 3:
Согласно правилу возведения в дробную степень, мы можем применить корень второй степени к основанию и показателю степени.
Таким образом, (1/4)^(1/2) = корень второй степени из (1/4)^1.
Итак, (1/4)^(1/2) = корень второй степени из 1/4.
Мы можем упростить это выражение, извлекая корень второй степени из числителя и знаменателя:
корень второй степени из 1 = 1
корень второй степени из 4 = 2
Таким образом, (1/4)^(1/2) = 1/2 = 0.5.
В этих примерах мы использовали правила возведения в дробную степень и упрощения дробных степеней для вычисления значений выражений с дробными степенями.
Практическое применение возведения в дробную степень
Возведение в дробную степень имеет множество практических применений в различных областях, включая науку, инженерию и экономику. Ниже приведены некоторые примеры:
Финансовая математика
В финансовой математике возведение в дробную степень используется для расчета сложных процентов и инвестиционных доходностей. Например, если у вас есть сумма денег, которую вы инвестируете под определенный процент ежегодно, то вы можете использовать возведение в дробную степень для расчета будущей стоимости вашей инвестиции.
Физика
В физике возведение в дробную степень используется для моделирования различных физических процессов. Например, в законе Ньютона о теплопроводности используется дробная степень для описания изменения температуры в пространстве и времени.
Статистика
В статистике возведение в дробную степень используется для расчета вероятностей и оценки рисков. Например, в байесовской статистике возведение в дробную степень используется для обновления априорных вероятностей на основе новых данных.
Медицина
В медицине возведение в дробную степень используется для моделирования роста и развития организмов. Например, в фармакокинетике возведение в дробную степень используется для расчета концентрации лекарственных веществ в организме с течением времени.
Это лишь некоторые примеры практического применения возведения в дробную степень. В реальном мире дробные степени широко используются для моделирования сложных процессов и расчетов в различных областях.
Заключение
Возведение в дробную степень является важным математическим понятием, которое позволяет нам работать с числами, возведенными в нецелую степень. Мы изучили определение дробной степени, рассмотрели основные свойства и правила упрощения. Также рассмотрели примеры вычисления дробных степеней и практическое применение этого понятия. Возведение в дробную степень является важным инструментом в различных областях науки и техники, и его понимание поможет нам решать разнообразные задачи.
Возведение в дробную степень: понятное объяснение и основные свойства обновлено: 19 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Как вычислить число с дробной степенью
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV
§ 86. Степень положительного числа с отрицательным дробным показателем
Подобно тому как в § 71 мы определили степень а — п числа а с отрицательным целым показателем — п, можно определить и степень положительного числа а с отрицательным дробным показателем — m /n.
Пусть а— произвольное положительное число, а т и п — натуральные числа. Тогда по определению
Степень положительного числа с отрицательным дробным, показателем равна единице, деленной на степень того же числа с показателем, противоположным показателю данной степени.
Теперь мы знаем, что представляет собой степень положительного числа с любым рациональным показателем.
Степени с рациональными показателями обладают следующими основными свойствами:
Частично эти свойства были доказаны нами в предыдущих параграфах, но лишь для положительных показателей. Теперь же мы можем доказать их для произвольных рациональных показателей.
Докажем, например, свойство 1.
Для положительных показателей m /n и p /q доказательство было дано в предыдущем параграфе. Поэтому нам нужно рассмотреть следующие случаи:
1) оба показателя отрицательны;
2) один из показателей отрицательный, а другой — положительный;
3) хотя бы один из показателей равен нулю.
Пусть т, п, р и q — натуральные числа. Покажем, что
Действительно, по определению степени с отрицательным показателем
откуда и вытекает требуемое соотношение.
Мы рассмотрели случай, когда показатели каждой из двух степеней отрицательны. Теперь рассмотрим случай, когда один из них положителен, а другой отрицателен. Докажем, например, что
Если m /n > p /q, то по свойству 5, упомянутому в предыдущем параграфе,
Здесь мы используем определение а 0 = 1. Таким образом,
Нам осталось рассмотреть случай, когда из двух степеней с одинаковыми основаниями хотя бы одна имеет нулевой показатель.. Докажем, например, что
Действительно, а 0 = 1 и m /n+ 0 = m /n Поэтому
Свойство 1 доказано.
Аналогично можно доказать и все остальные свойства. Заметим, что если в предыдущем параграфе мы могли говорить о свойстве 5 лишь при m /n > p /q, то теперь, используя определения степени положительного числа с нулевым и отрицательным дробным показателем, мы можем доказать его и для случая, когда m /n p /q