Какие скобки при строгом неравенстве

Строгие и нестрогие неравенства

Например, неравенство \(x>4\) – строгое. В нем решениями будут только значения больше четверки. При этом сама четверка решением не будет! Действительно, если мы подставим в неравенство вместо икса число \(4\), получим неверное числовое неравенство \(4>4\).
То есть, в строгих неравенствах не допускается равенство правой и левой части. Поэтому они и называются строгими. Оформление решения таких неравенств показано ниже: граничная точка (в нашем случае четверка) на числовой оси не закрашена (еще говорят «выколота»), а в записи промежутка на этом значении переменной стоит круглая скобка «(».

Нестрогие – это неравенства со знаками сравнения \(≥\) (больше или равно) или \(≤\) (меньше или равно).

Само название знаков сравнения уже подразумевает, что здесь равенство левой и правой части допускается, и значение икса, приводящее к такому результату, решением будет.
Например, неравенство \(x≥4\) – нестрогое. И в нем решением являются не только значения больше четырех, но и сама четверка тоже. Действительно, подставив вместо икса \(4\), получим верное числовое неравенство \(4≥4\) (потому что четверка и в самом деле равна четверке).
При записи решения таких неравенств граничную точку на числовой оси закрашивают, а при записи промежутка скобку на этом значении пишут не круглую, а прямоугольную «[».

Метод интервалов

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами.

Метод интервалов

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ .

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет.

Посмотрим на привычные ситуации с точки зрения строгости знаков неравенства.

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0.

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем.

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается.

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств? В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0.

2 шаг. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.

3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы.

4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ.

• Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми.

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки.

• Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками.

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки.

• Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим.

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками.

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции.

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой.

Правила чередования знаков:

• Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.

• Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется.

Всегда будет нелишним перепроверить знак на каждом интервале, подставив значения в функцию, и убедиться в правильности расстановки знаков на прямой.

Методом интервалов можно решить практически любое неравенство в задании 14 из ЕГЭ по профильной математике, также он может понадобиться в заданиях 8, 11 и 17 «профиля» или в задании 17 ЕГЭ по базовой математике.

На ОГЭ данным методом можно воспользоваться при решении неравенств из первой и второй частей — №13 и №20.
Так что осваивайте метод и 2 балла ЕГЭ или 3 балла ОГЭ будут у вас в кармане. Обязательно следуйте алгоритму решения неравенств методом интервалов, тогда вы точно решите неравенство верно.

Практика

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.

Пример 1. Решить неравенство x 2 + 8x — 33 > 0.

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x 2 + 8x — 33 = 0.

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11.

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x 2 + 8x — 33. Получаем:

(-12) 2 + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15.

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются.

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞).

1. Находим нули функции.

Нули числителя: 2х 2 + 22х — 204 = 0. Решая уравнение, получаем х = 6 и х = -17.

Нули знаменателя: (х — 3)(х + 5) = 0, следовательно, х = 3 и х = -5.

2. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Нули числителя будут обозначены закрашенными точками, поскольку знак неравенства нестрогий. А вот нули знаменателя — выколотыми, поскольку знаменатель не может равняться 0, следовательно, и нули знаменателя не должны входить в итоговый промежуток.

3. Определяем знак на крайнем левом промежутке, подставляя х=-20 в дробь:

Следовательно, промежуток положительный.

4. Поскольку каждый корень встречается один раз, то есть нечетное количество раз, то знаки будут чередоваться.

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки. Следовательно, ответом будет х ∈ [-17; -5) U (3; 6].

Пример 3. Решить неравенство \(\frac ≥ \frac\)

1. Первым делом следует отметить, что знаменатели не могут быть равны 0, следовательно, х 2 ≠ 0 и х + 2 ≠ 0, отсюда получаем х ≠ 0 и х ≠ -2.

2. Теперь перенесем все части неравенства влево:

Приведем к общему знаменателю:

Для решения неравенства будет удобнее, если перед х 2 в числителе будет стоять положительный знак, для этого умножим неравенство на -1.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Теперь найдем нули функции.

Нули числителя: х 2 — х — 2 = 0. Тогда х = -1 и х = 2.

Нули знаменателя: х = 0 и х = -2.

2. Расставим корни на числовой прямой, при этом нули числителя будут обозначены закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми.

3. Определим знак на крайнем левом промежутке, подставив для этого х = -3 в дробь:

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х 2 четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет.

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2].

Давайте подведем итог. Для чего мы это изучили?

Конечно же, эти знания пригодятся на экзаменах, а также в решении школьных примеров с 8 класса по 11 класс.

Советуем после прочтения этой статьи попрактиковаться в рубрике «Проверь себя», чтобы закрепить полученные знания. После чего можете приступить к решению заданий посложнее, чтобы на экзамене у вас точно получилось решить подобные задания и набрать за них максимум баллов.

Фактчек

• Метод интервалов позволяет упростить решение любого неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене.
• Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала.
• Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка.
• Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию.
• Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется.

Проверь себя

Задание 1.
Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие
4. Больше и меньше

Задание 2.
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше.
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”.
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой.

Задание 3.
Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты.

Задание 4.
Какое утверждение верное?

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5.
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе?

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1

Метод интервалов: случай нестрогих неравенств

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.

Отрезки и интервалы: в чем разница?

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

• — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Но эти точки не принадлежат интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: и т.д.;
• — это тоже часть прямой, ограниченная двумя точками. Однако эти точки тоже являются частью отрезка. Отрезки обозначаются квадратными скобками: и т.д.

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

( x − 5)( x + 3) > 0

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Задача. Решите нестрогое неравенство:

( x − 5)( x + 3) ≥ 0

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

• В строгих неравенствах нас не интересуют концы отрезка, поэтому они отмечаются выколотыми точками. Такие точки никогда не входят в ответ, о чем говорят круглые скобки на первом ответе: x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞);
• И наоборот, в нестрогих неравенствах концы отрезка входят в ответ. На графике они отмечаются закрашенными точками, а в ответе указываются квадратными скобками: x ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).

Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.

Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках

У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем

Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.

Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:

Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:

Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:

Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.

То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:

Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.

Примеры решения неравенств

В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.

Задача. Решите неравенство:

( x + 8)( x − 3) ≤ 0

Как обычно, приравниваем все к нулю:

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:

f ( x ) = ( x + 8)( x − 3)

Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:

Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:

Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:

Задача. Решите неравенство:

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) < 0;
x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].

Смотрите также:

1. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
2. Метод интервалов
3. Комбинированные задачи B12
4. Работа с формулами в задаче B12
5. Координаты вершин правильного тетраэдра
6. Задача B4: Скачать файл на разной скорости

• Вход для учеников
• ЕГЭ-2024
• Школьникам
• 1. Арифметика
• Арифметика
• Дроби
• Модуль
• Проценты
• Корни
• Степени
• Прогрессии
• Текстовые задачи
• 2. Алгебра
• Уравнения
• Системы уравнений
• Неравенства
• Системы неравенств
• Рациональные дроби
• Функции
• Многочлены
• Логарифмы
• Экспонента
• Задачи с параметром
• Вероятность
• 4. Геометрия
• Треугольники
• Многоугольники
• Окружность
• Стереометрия
• Векторы
• 3. Математический анализ
• Тригонометрия
• Предел
• Производная
• Интегралы
• Студентам
• Реклама
• Обо мне

• © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
  ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
• Карта сайта

Метод интервалов, решение неравенств

2) Умножать/делить на отрицательное число, не меняя знак.

3) Убирать бездумно логарифм или основание.

Начнем с простого:

Линейные уравнения решаются обычным переносом. Икс в одной части оставим, а числа перенесем в другую:

А само значение −4 нам подходит?

Нет, поэтому ставим круглые скобочки ()

Разберемся со скобками:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки нестрогие ( ≥, ≤ ), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>, <), скобки круглые «( )».

Если же возьмем пример, где придется делить или умножать на отрицательное число, то знак поменяется:

Ответ: x ∈ ( 0; +oo).

Следующий пример уже с дробью:

Приравняем числитель к нулю и скажем, что знаменатель не равен нулю:

к.ч. (корни числителя)

к.з. (корни знаменателя)

Расставляем корни числителя и знаменателя на одной прямой (сколько решаем неравенств, столько же чертим прямых). Попробуем подставить х = 0, чтобы определить знаки:

Там, где «0» (перед двойкой), ставим знак «−», а дальше знаки чередуем:

Из-за того, что знаком неравенства был «≥», нам подходят промежутки со знаком «+» и закрашенная точка:

Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>, <), скобки круглые «( )».

Данный пример можно решить по-другому. Подумаем, когда дробь больше нуля? Конечно, когда числитель и знаменатель — положительные значения или когда оба отрицательные. Поэтому данное неравенство можно разбить на две системы в совокупности:

Отметим на прямой решение каждого неравенства.

Решением совокупности «[» является тот участок, который включен хотя бы в одно неравенство.

Мой любимый пример:

Покажу мастер-класс, как делать не надо. Дома не повторять!

А теперь через метод интервалов разберемся, как сделать правильно:

Там, где ноль, ставим знак «−», рисуем прямую и отмечаем корни каждой скобки. А дальше чередуем:

В данном неравенстве знак меньше, поэтому записываем в ответ промежуток, где знак «−».

Перейдем к квадратному уравнению:

Разложим на множители и подставим x = 10, чтобы определить знак:

Нам требуются положительные значения:

Второй способ разложить на множители:

Ответ: x ∈ (−oo; −1) ∪ (5; +oo).

А теперь простой, но крайне показательный пример:

Убирать квадрат ни в коем случае нельзя. Простенький контрпример:

Надеюсь, убедил. Вместо знака больше поставим знак равно и попробуем решить методом интервалов:

Если корень повторяется четное количество раз, то в этой точке знак меняться не будет. Отмечать будем такую точку восклицательным знаком (а внутри него ±, чуть ниже объясню, зачем это).

В данном неравенстве знак больше, тогда отметим те промежутки, где стоит знак «+».

Только точка «0» не подходит, 0 > 0 — неверно!

Ответ: x ∈ R \ или x ∈ ( − oo; 0) ∪ (0; +oo).

Переходим на новый уровень:

Все говорят, что домножать на знаменатель нельзя, а я говорю, что буду! (joke)

По методу координат найдем корни числителя и знаменателя:

Отметим все корни на одной прямой (сколько неравенств, столько же и прямых). Ноль — корень четной кратности, над ним рисуем восклицательный знак! Если это корень числителя, то точка будет закрашена, если знаменателя — выколота (на ноль делить нельзя).

Требуется найти промежутки, где выражение больше или равно нулю. Нам подойдут все «промежутки», где знак плюс. Для этого подставим значение x = 1 и с промежутка [0; 3] начнем расставлять знаки. Там же находится единица.

Вот для чего ставят в восклицательном знаке ±: чтобы не потерять отдельные точки, в данном случае 0.

Ответ: (−oo; − 6) ∪ ∪ [ 3; +oo).

По той же схеме корни числителя и знаменателя:

Определим знак при x = 10 и расставим знаки с промежутка, где присутствует 10:

Все точки от − 2 закрашены, значит эти промежутки можно объединить в один.

Точка x = 3 встречается 3 раза (2 раза в числителе и 1 раз в знаменателе), знак через нее меняться будет! А также эта точка будет выколота, проверь это, подставив в уравнение x = 3. На ноль же делить нельзя?

Подставим x = 10 и расставим знаки:

Ответ: [ −oo; −5) ∪ [ 3; 5).

Все скользкие моменты разобрали, стало понятнее?

1. Если знак строгий (>, <), все точки выколотые (в круглые скобки).
2. Если знак нестрогий (≥, ≤), корни числителя закрашенные, точки знаменателя выколотые [в квадратные скобки].
3. Если корень является решением уравнения четное кол-во раз (2, 4, 6, 8), то в этой точке знак меняться не будет.
4. Отдельная точка записывается .

Группа с полезной информацией и легким математическим юмором.