Степени показывает сколько одинаковых множителей было в произведении

ОСНОВНОЕ ЗНАКОПОЛОЖЕНИЕ.

§ 3. Употребление показателей.

Если одно и то же число повторяется множителем несколько раз, то, для сокращенного обозначения такого произведения, пишут множитель один раз, а над обозначением его справа пишут число, показывающее, сколько раз повторяется множитель;

напр., вместо 3•3•3•3 пишут 3 4 .

Произведение, составленное из одинаковых множителей, называется степенью , число, повторяющееся множителем, называется основанием степени , а число, показывающее, сколько раз повторяется множитель, называется показателем степени. Так, в выражении 3 4 число 3 есть основание, 4 есть показатель степени, а все произведение 3 4 равное 81, есть степень

Степени разделяются по величине показателя: всякое число, взятое само по себе, назыпается первой степенью; так, а есть первая степень числа а и можсте быть написана в виде а 1 , где 1 обозначает показатель степени. Число 5 2 ссть 5 во второй степени, или вторая степень пяти. Число 7 3 есть 7 в третьей степени, или третья степень семи. Вообще выражение а п читаетея так: а в степени п или п-ая степень от а. Вторая степень называется часто квадратом, а третья кубом; наир., 3 2 читают 3 в квадрате, т 3 читают т кубе.

35. а.а.а 35. b.b.b.b 36. а.а.b.b.b 36. а.а.а.b.b

37. 2.2.2.2.2 37. 3.3.3.3.3 38. p.p.p.q.q.q.q 38. p.p.p.p.q.q.q

39. 3.k.k.l.l 39. 2.k.k.k.l.l .l 40. 4.4.4.а.а.а.а 40. 5.5.l.l.l.l.l

41. а.а.b+а.b.b 41. а.b.b—а.а.b

42. а.а.а.b+ а.b.b.b 42. а.а.b.b.b—а.а.а.b.b

43. р.р.р.q — р.р.q.q + 2.р.q.q.q 43. 2.р.р.q.q + р.р.р.q+ р.р.q.q.q

44. 3.а.а.а.а.b.b.b— 2.2.а.а.а.b.b.b.b 44. 2.а.а.а.b.b.b.b + 3.3.а.а.а.а.b.b.b

45. а.а.а. а (m раз). 45. т.т. т (а раз).

Разъяснить смысл выражений и написать их без показателей:

46. 2 3 46. 3 2 47. 5 2 47. 2 5

48. т 3 48. а 4 49. m 2 n 3 49. m 3 n 2

50. a 3 b 3 c 2 50. a 3 b 2 c 3 51. 3 2 a 6 b 2 51. 2 3 a 2 b 6

52. 2 4 k 2 f 3 n 2 52. 3 4 k 3 f 2 n 2

53. а 2 + b 2 53. а 2 — b 2 54. а 3 —b 3 54. а 3 + b 3

55. 3а 4 + 2b 5 55. 2а 5 —b 4 56. а m 56. m a

Найти числовые величины степеней:

Написать нижеуказанные выражения:

75. Сумму квадратов чисел а и b.

75. Разность квадратов чисел р и q.

76. Произведeниe кубов чисел с и d.

76. Частное кубов чисел r и s.

77. Разность п — ных степеней чисел р и q.

77. Сумму п — ных степеней чисел а и b.

78. Частное п — ных степеней чисел r и s.

78. Произведение п — ных степеней чисел с и d.

79. Сумму пятых степеней чисел х, у и z.

79. Произведение пятых cтепеней чисел х, у и z.

80. Произведение т-ых степеней чисел а, b, с и d.

80. Сумму т-ых стeпеней чисел а, b, с и d.

81. Если нeкто издeрживает в каждый день по 7 копeeк, то какую сумму он издержит в 7 недeль?

81. Cколько букв в книгe, если в ней 20 страниц, на каждой страницe 20 строк, а в каждой строкe 20 букв?

82. Нeкто отдал своe имeниe в аренду на слeдующих условиях: за первый год арендатор платит а рублей, а за каждый послeдующий год в r раз болee, чeм за прeдыдущий. Сколько рублей должeн заплатить арeндатор за пятый год?

82. В течение пяти лeт сряду с каждой посeянной четверти ржи получается урожай s четвертей. Сколько пришлось собрать четвертeй ржи в пятый год, если в первый год было посeяно b четвертей?

83. ІІрямая линия раздeлена пополам, затeм каждая половина опять пополам, каждая четверть опять пополам и т. д.. Если эти послeдовательные дeления повторены п раз, то на сколько частей раздeлилась вся линия? Как велика каждая часть, если длина прямой есть а ?.

83. Прямая линия раздeлена на 3 равные между собою части, затeм каждая из этих частей раздeлена снова на 3 равные части, каждая новая часть снова на 3 равные части и т. д.. Если эти последовательные дeления повторены х раз, то на сколько частей раздeлилась вся линия? Как велика каждая часть, если длииа прямой есть b?

84. Нeкто смeшивает каплю спирта с а каплями воды; затeм он берет каплю этой смeси и снова смeшивает ее с а каплями воды и так поступаeт 6 раз. Опредeлить, на сколько частей раз дeлится таким образом одна капля спирта, и сколько окажется чистого спирта в т каплях послeдней смeси?

84. Составляется смeсь из одного грана нeкоторого лeкарства и п гранов воды; один гран этой смeси смeшивают с новыми п гранами воды и повторяют послeдовательные смeшения 8 раз. Опредeлить, на сколько частей раздeлится таким образом один гран лeкарства и сколько окажется этого лeкарства в b гранах послeдней смeси?

Урок математики в 5-м классе по теме «Степень числа. Квадрат и куб числа»

А есть ли способ, чтобы заменить произведение равных сомножителей?

Как, например, произведение 5*5*5*5*5*5*5*5*5*5 записать короче?

Такой способ есть 5*5*5*5*5*5*5*5*5*5=5 10

5 10 — читают: “пять в десятой степени”

5 – основание степени

10 – показатель степени, который показывает, сколько множителей было в произведении

В математике произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень.

А)Записать в тетрадь произведения в виде степени и вычислить:

Назовите основание и показатель степени:

3 4 ; 5 3 ;2 6 ; 6 1

Если показатель степени равен 1, то что это значит?

Первая степень любого числа равна этому числу.

5. Объяснение нового материала: (слайд)

Квадрат и куб числа а 2 и а 3

Вторая и третья степени числа имеют особые названия.
Вторую степень называют – Квадратом этого числа.
Квадрат числа 2 равен 4,
Квадрат числа 3 равен 9.
Запись 2 2 читают: “Два в квадрате”.

А почему такое название – квадрат?
Ведь у нас никаких геометрических фигур здесь не появилось.
Фигура сейчас появится. И именно квадрат. Рассмотрим квадрат со стороной 2 см. его площадь равна 2*2=2 2 (кв.см)
Рассмотрим шахматную доску. У нее 8 строк (горизонталей) и 8 столбцов (вертикалей).
Клетки этой таблицы-доски называют полями.

Сколько у нее полей? Ответ: 8*8=8 2 =64

Третью степень называют – Кубом этого числа.
Запись 2 3 читают: “Два в кубе”.

Рассмотрим куб, ребро которого имеет длину 2 см, видно, что он сложен из восьми кубиков с ребром 1 см.

Но 8 как раз и равно 2*2*2=2 3

6. Работа с учебником.

№ 653 (выполняет у доски ученик)

10*10*10
6*6*6
4*4+8*8
2*2*2+3*3

Б) вычислите: 11 2 ; 9 3 ; 34 1 ; 13 2 ; 4 3 .

Произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень.

На примере поясните, какое число называется степенью, основанием степени, показателем степени?
Дано число. Чему равна его первая степень?
Первая степень числа равна самому числу.
Что такое квадрат данного числа ?Куб данного числа?
Дан куб со стороной а см (а – натуральное число). Из скольких кубиков с ребром 1 см он сложен?
Из а кубиков.
Верно ли равенство? 15*3=15 3
Равенство неверное, т.к. 15 3 =15*15*15

П.16
№ 666, 672

Что нового вы узнали на уроке?
Какие трудности были у вас на уроке?
Что понравилось на уроке?

Степень числа. 5-й класс

Назад Вперёд

Цели урока:

ознакомить учащихся с действием возведения в степень,
дать понятия квадрат и куб числа,
научить формулировать определение квадрата и куба числа,
научить возводить числа в степень, в квадрат и куб,
научить находить значения числовых выражений, содержащих вторую и третью степень натурального числа.

развивать логическое мышление,
развивать информационную и учебно-познавательную компетенции учащихся,
развивать умение сравнивать, обобщать, делать выводы,
развивать интерес к предмету посредством показа межпредметных связей.

воспитывать аккуратность в записях,
целеустремленность,
воспитывать интерес к родному краю, использую связь между математическими вычислениями и интересными страницами из Красной книги Московской области.

Структура урока:

Актуализация знаний.
1. Мобилизующее начало и сообщение плана урока.
2. Диктант
3. Мотивация изучения нового материала.
4. Постановка учебных задач.
1. Введения понятия степени, квадрат и куб числа.
2. Диктант с целью отработки умения записи степени.
3. Физкультминутка с целью отработки понятий основание и показатель степени.
1. Домашнее задание.
2. Решение задач в тетради (с последующей проверкой у доски) с целью отработки умений представлять в виде степени произведения и установления соответствий между получившимися показателями и растениями, занесенными в Красную книгу.
3. Подведение итога урока.
Ход урока

I. Организационный момент урока

Отгадайте такую загадку: 2 слайд

Он давно знакомый мой,
Каждый угол в нём прямой.
Все четыре стороны одинаковой длины
Вам его представить рад.
Как зовут его? (Квадрат).

Это слово мы с вами встретим еще на уроке.

II. Актуализация знаний учащихся, через изучение их субъектного опыта. Подведение к проблеме.

– Начать наш урок я хотела бы с выяснения вопроса: “Встречался кто-нибудь из вас в повседневной жизни со словом “степень”?

– Давайте приведём примеры словосочетаний из жизни, в которых оно используется и попытаемся с их помощью разобраться, что же в жизни означает слово “степень”. (Ученая степень, степень прилагательного, степень точности, степень сравнения, …)

– Каким же близким по смыслу словом можно заменить слово “степень”?

– А где мы можем уточнить его значение?

(в толковом словаре стр. 198)

Степень – это мера, сравнительная величина; уровень чего-нибудь. Слово “степень” находит широкое применение и в математике

III. Постановка проблемы.

– Давайте выясним, меняется ли его смысловая нагрузка в математике или остаётся той же.

IV. Пути исследования поставленной проблемы. Сообщение темы урока.

– Что же нам для этого нужно сделать?
1. Разобраться с понятием степени в математике
2. Выяснить, зачем она понадобилась людям?
– Запишите в тетрадях тему сегодняшнего урока: «Степень числа»

V. Исследовательская работа.

– Вы знаете, что все новые понятия в любой науке возникают из потребностей человека. Давайте попытаемся представить себе, как бы могло возникнуть понятие степени в математике, и разберёмся, зачем оно понадобилось людям.

Для этого напишем диктант. Задание: вычислить значение произведения

4 слайд

Проверим результаты. (появляются ответы)

Какое действие мы выполняли в каждом примере? (умножение)

Что особенного в каждом из этих примеров? (все множители одинаковы)

Какие примеры вы уже встречали, запись которых можно сократить? (сложение одинаковых слагаемых) .

5 слайд

Так вот ребята умножение одинаковых множителей в математике имеет свою особенную краткую запись и особое название.

Степень числа. Вводятся понятия: степень, основание, показатель.

6 слайд

Что же показывает показатель (сколько множителей было в произведении), что показывает основание (какое число умножается).

В математике произведение одинаковых множителей называется возведением в степень.

А что значит, если показатель степени равен 1. Это значит

21 = 2, 31 = 3, 4 1 = 4

Первая степень любого числа равна этому числу.

А теперь давайте послушаем сообщение учащихся на тему «История возникновения степени» (Приложение 1)

VI . Закрепление знаний.

Спасибо ребятам за сообщение. Сейчас мы потренируемся записывать степени. В тетради запишите произведение в виде степени (только ответ).

Слайд с заданиями 7. А теперь давайте проверим (появляются ответы). Вы согласны с ответами на доске. Ребята находят ошибку. Появляется правильный ответ.

Есть степени числа, которые имеют особое название.

Вторая и третья степени числа имеют особые названия.

Вторую степень называют квадратом. Третью степень – кубом.

А сейчас Физкультминутка

Я называю основание или показатель степени. Например, степень , 5 – это основание. Если вы со мной согласны, то киваете головой, если не согласны, то хлопаете в ладоши, если не знаете – пожимаете плечами.

А сейчас послушаем сообщение ребят о великом советском математике.

8 слайд

А почему такое название степени – квадрат. Ведь у нас никаких геометрических фигур не получается. Ребята выдвигают гипотезы.

Фигура сейчас появится и именно квадрат.

Рассмотрим квадрат со стороной 2 см. Его площадь равна 2 ∙ 2 = 2 2 = 4 (см 2 )

Вот поэтому такое особое краткое название для второй степени.

Итак, ребята мы с вами вооружились новыми знаниями. И теперь мы можем выполнять задания учебника. Но прежде запишем домашнее задание.

9 слайд.

Выполняя задания в тетради. Мы будем путешествовать по страницам Красной книги Московской области . А значит нашего родного края.

После того как вы выполните задание номера, надо прочитать название птицы, занесенной в Красную книгу.

К данным заданиям есть ключ (связь между полученными ответами и буквами). В результате получается название птицы, занесенной в Красную книгу. Слайд 9, 10, 11. После того как ребята отгадают слово, учащиеся рассказывают об отгаданной птице (презентации о птицах ребята готовят заранее, не понимая зачем птицы на уроке математики. Таким образом, интерес у учащихся к уроку повышается).

Итак, ребята, мы с вами совершили небольшое путешествие по Красной книги Московской области.

По страницам Красной книги
Очень бережно ступай,
Ты животных и растений
Никогда не обижай!
Математику-науку
Вместе с ними изучай.

А какие математические знания нам в этом помогли. Вопросы:
1. На любом примере поясните, какое число называется степенью, основание степени, показателем степени?
2. Чему равна первая степень любого числа?
3. Что такое квадрат данного числа?
4. Что такое куб данного числа?
В заключении урока проведем небольшой тест. Выберете правильный ответ и запишите его в тетради. Сверьте свой ответ с ответом вашего соседа. Поставьте оценку за урок себе сами.

11 слайд

Урок математики в 5-м классе по теме «Степень с натуральным показателем. Квадрат и куб числа»

Учитель: Макеева Оксана Васильевна, учитель математики, МКОУ «Паликская СОШ №2», Калужской области.

Тема урока: Степень числа. Квадрат и куб числа.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов действий.

Цель:
- изучить понятие степени с натуральным показателем; научить находить значение степени числа; развитие логического мышления.
- формировать умение возводить в степень натуральное число.
Задачи урока:

Образовательные:
- Ввести понятие степени числа, основания и показателя степени.
- Научить возводить числа в степень, в квадрат и куб.
- Научить находить значения числовых выражений, содержащих вторую и третью степень натурального числа.
Развивающие:
- Развивать внимание, логическое мышление, математическую речь, оперативную память, произвольное внимание, наглядно-действенное мышление.
Воспитательные:
- Воспитание культуры речи, усидчивости, внимательности и аккуратности , чувство взаимопомощи.
Формировать УУД:
- Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
- Регулятивные: умения определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; работать по коллективно составленному плану; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение.
- Коммуникативные: умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.
- Познавательные: умения ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя); добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке).
Планируемые образовательные результаты:

Предметные:

Научиться: читать и записывать степень; называть компоненты степени; заменять произведение степенью; представлять степень в виде произведения; объяснять, что называется квадратом и кубом числа;

Метапредметные:
- Регулятивные: уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; работать по коллективно составленному плану; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение.
- Познавательные: уметь ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя); добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке).
- Коммуникативные: Адекватно использовать речь для планирования и регуляции своей деятельности, осуществлять контроль, коррекцию, оценку своих действий и действий своего партнера.
Новые термины и понятия: Основание, показатель степени ,степень натурального числа, квадрат и куб числа.

Оборудование к уроку:
- Раздаточный материал.
- Мультимедийная презентация (Приложение).
- Ноутбук, проектор.
Ход урока

I.Оргинизационный момент

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку (рабочее место, внешний вид); наличие отсутствующих; мобилизация внимания.

(Слайд 2) – Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы с вами повторим темы прошлых уроков и изучим новую тему. Откройте свои тетради подпишите число, классная работа. У нас будет необычный урок. Мы совершим полёт на Марс. Но прежде чем лететь, нужно купить космический билет.

(Слайд 3)

Чему равняется ракета, Сказать ты можешь или нет? Билет на Марс. Но у билета Есть свой космический секрет!

– Чтобы купить космический билет, вы должны выполнить несколько заданий.

II. Повторение. Устный счет.

Учащиеся выполняют задания (Слайд 3-6 )

– Молодцы! С заданиями справились и мы теперь можем купить свой космический билет

(Слайд 7 ). (Учащимся раздаются билеты)

На старт! Внимание! Полетели! (Слайд 8)

III. Актуализация опорных знаний. Проблема.

– Как вы думаете, с какой скоростью мы летим? Скорость у любого космического корабля большая и у нашего корабля тоже, ведь мы за один урок должны совершить путешествие и вернуться назад. И чтобы время в полёте не прошло для нас даром, изучим новую тему.

(Слайд 9) — Давайте вспомним, как записать сумму, в которой все слагаемые равны друг другу.

— А сейчас посмотрите на следующий пример.

— Как можно иначе записать произведение?

— Подумайте, а произведение одинаковых множителей можно записать короче?

IV. Первичное усвоение новых знаний.

(Слайд 10)

— Ученые математики всегда стремились выполнить работу быстрее, для этого использовали удобные формы записи.

— И вот 400 лет назад французский математик Рене Декарт предложил такой способ записи произведения нескольких одинаковых множителей.

Эту запись читают: «пять в четвёртой степени».

— Запишите тему урока …(Слайд 11)

— В этой записи ( Слайд 12)

выражение 5 называют степенью,

число 5 — основанием степени,

Число 4 – показателем степени.

— Что показывает показатель?

(Показатель показывает сколько множителей было в произведении)

— Что показывает основание?

( Основание показывает какое число умножается )

– Рассмотрим примеры (Слайд 13)

— Если показатель степени равен 1, то что это значит?

— А если показатель степени равен 2?

— Вторую степень называют квадратом числа.

— А если показатель степени равен 3?

— Третью степень называют кубом числа.

(Слайд 14) — Откройте учебники на странице 99 .В древнем Вавилоне для облегчения вычислений люди составляли таблицы квадратов и кубов чисел.

Посмотрите на эти таблицы.

(Слайд 15)— А теперь давайте вспомним про порядок выполнения действий. Какие ступени вы знаете?(Дети отвечают, и делают выводы ,что СТЕПЕНЬ – действие III ступени).

V. Физминутка. – Итак, мы на Марсе. В полёте, мы устали, поэтому сделаем физминутку. (Слайд 16)

VI. Сообщение учащегося о планете Марс. (Слайд 17)

– Ближайший «сосед» Земли со стороны, противоположной Солнцу, Марс имеет цвет, напоминающий огонь. Возможно, именно за этот цвет древние римляне дали планете имя бога войны. Марс меньше Земли примерно вдвое по диаметру, и в 9 раз по массе. В телескоп на Марсе можно разглядеть темные и светлые участки поверхности, а на полюсах яркие белые пятна – это полярные снеговые шапки. Иногда на этой планете удается увидеть синие облака. Марс от Солнца расположен дальше, чем Земля, поэтому ему достается меньше солнечной энергии. Даже на экваторе в самой жаркой зоне в полдень температура редко поднимается выше 0° , а ночью падает до минус 100°. А на полюсах ещё холоднее. Исследования показали отсутствие на Марсе каких-либо микроорганизмов, т.е. жизни на Марсе нет.

VІI. Выработка умения применять новые знания, формирование УУД.

– Путешествуя по Марсу, выполним некоторые задания.

Устно (Слайд 18)

Задания из учебника (Слайд 19)

№ 653 – 1 столбик, № 654 – 1 и 2 столбики, № 657 – 1 столбик (Для тех кто выполняет быстро задания, дополнительно №658, №656)

Надо помнить, если в числовое выражение входят степени чисел, то их значение вычисляют до выполнения остальных действий.

VІІI. Подведение итогов.

– Время нашего путешествия подошло к концу – мы летим на Землю. Пока летим домой, давайте вспомним некоторые понятия, изученные на уроке.

( Слайд 20)

– Чем можно заменить произведение одинаковых множителей?

– Чему равна первая степень любого числа?

– Что называют квадратом числа? Приведите примеры.

– Что называют кубом числа? Приведите примеры.

— Назовите основание и показатель степени 3 2 .

X. Рефлексия.
- Что нового узнали на уроке?
- Что запомнили?
- Чему научились?
- Что вызвало затруднения?
Оцените свою деятельность на уроке, достигли ли вы поставленной цели.

Предлагаю учащимся поднять фото — карточки.
- Я хорошо потрудился на уроке. Мне было интересно. Я доволен своей работой.(Фото – карточка с изображением ЗЕМЛЯ)
- У меня возникали трудности на уроке, но я c ними справился. Я понял свои ошибки и больше постараюсь не допускать их.(Фото – карточка с изображением ЗЕМЛЯ — МАРС)
- У меня было много ошибок. Я считаю, что мне еще нужно поработать над этой темой. (Фото – карточка с изображением МАРС)
IX. Домашнее задание.(Cлайд 21)

п.16, стр.101 №667, №668.

— Выставляю оценки. Благодарю за помощь в проведении урока.
Похожие публикации: