множества — Верно ли, что множество кoнтинyyм
Верно ли, чтo множество пpямыx нa плоскости кoнтинyyм?
Правильно ли я понимаю, что надо делать так:
уравнение прямой $%ax+by+c = 0$%, где $%a,b,c$% — $%R => (a;b;c) = R * R * R = R$% что и требовалось?
задан 5 Ноя ’14 2:08
Leva319
1.7k ● 1 ● 27 ● 132
77% принятых
Не совсем так, потому что здесь нет однозначности. Прямые с пропорциональными коэффициентами в уравнении будут одинаковыми, а тройки разными, поэтому это не биекция. Но сам факт, что прямых континуум, разумеется, верен.
(5 Ноя ’14 2:25) falcao
Спасибо, но как тогда избежать повторений и доказать правильно?
(5 Ноя ’14 2:27) Leva319
1 ответ
В тех случаях, когда непосредственное построение биекции связано с трудностями, желательно применять теорему Кантора — Бернштейна. То есть доказать, что прямых не больше континуума, но и не меньше. Второе очевидно, а для первого уже годится Ваша конструкция: прямых не больше, чем троек, а последних имеется континуум. Но тут можно и по-другому сделать. Прямые однозначно задаются либо упорядоченной парой $%(k;b)$%, если это $%y=kx+b$%, либо числом $%c$%, если это $%x=c$%. Множество пар $%\mathbb R^2$% равномощно $%\mathbb R$% (по Кантору), и тогда возникают две копии $%\mathbb R$%. Их биективно отобразить на $%\mathbb R$% можно многими способами.
отвечен 5 Ноя ’14 4:23
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Спасибо, вопрос по Вашему решению: прямую можно задать y = kx + b, если она не параллельна оси OY и x = c, если она параллельна оси OY. Т.е. мы имеем пару (k;b) и с, т.е. надо отразить (R*R V R) в R. Правильно я понимаю? Как это сделать?
(5 Ноя ’14 22:32) Leva319
@Leva319: да, правильно. Доказать это дело легко, но надо оговорить, на что мы опираемся. Я предлагаю считать известными теорему Кантора — Бернштейна, а также то, что прямая и плоскость равномощны. Это всё равно используется в других задачах, поэтому можно применить, чтобы не говорить лишних слов. Тогда получается, что мощность множества, которое мы рассматриваем, не больше континуума. Плоскость равномощна прямой, а две прямые (это будет $%\mathbb R\cup\mathbb R$% в виде двух разных копий) помещаются на плоскости. Значит, наше множество не более чем континуально. Так проще всего.
(5 Ноя ’14 22:45) falcao
Т.е. R * R V R переходит в R V R, т.к. R * R —> R (плоскость, равномощна прямой). В итоге имеем R V R.
Далее Вы пишите, что R V R помещается на плоскости. Что это значит? Что R V R < R * R?
Затем Вы пишите, что множество не более, чем континуально, т.е. R V R
(5 Ноя ’14 22:55) Leva319
@Leva319: тут всё просто. Было множество прямых. Мы их закодировали в виде множества пар и чисел (по отдельности). Потом множество пар $%\mathbb R$% превратили в равномощное ему множество $%\mathbb R$%. Получилось две копии множества $%\mathbb R$%. Каждая из них равномощна числовой прямой (это имелось в виду). Рисуем на плоскости два параллельные прямые. Отсюда следует, что мощность нашего множества не превосходит мощности множества точек плоскости, то есть не больше континуума.
Если $%A$% — часть $%B$%, не равная $%B$%, то отсюда не следует $%A < B$%. Верно лишь $%A\le B$% по мощности.
2.2. Множества мощности континуум
Рассмотрим одну из возможных процедур, позволяющую получать множества с мощностью, превышающей некоторую исходную.
Определение. Множеством всех подмножеств или булеаном множества М называют множество, состоящее из всех подмножеств М. Обозначают его через [M].
У конечных множеств М мощность [М] равна 2 М . Поэтому для множества всех подмножеств (булеана) также применяют обозначение 2 М .
Пример 3. М = N = . В [М] войдут:
а) нулевой элемент ;
б) все натуральные числа поодиночке;
в) все возможные их сочетания по 2, 3, 4 и т. д. (конечной длины);
г) все возможные сочетания натуральных чисел счетной длины.
Доказательство. Для конечных множеств утверждение очевидно, т.к. при n 1 выполняется условие n 2 n .
Рассмотрим бесконечные множества. Так как М [М], то всегдаM[М]. Докажем утверждение теоремы от противного. Допустим,M=[М]. По определению эквивалентности множеств это означает, что существует взаимно однозначное отображение f:M[М], которое каждому элементу а М ставит в соответствие некоторое подмножество А [М].
Анализируя все элементы а М и их образы f(а) = А [М], строим вспомогательное множество Х следующим образом: если а не входит в свой образ, а f(а), то а включается в Х.
Множество Х [М], поскольку [М] содержит все возможные подмножества М. Так как f — взаимно однозначное отображение, то для Х должен существовать элемент х М, такой, что f – 1 : Х х, f(х) = Х.
Для элемента х есть только две возможности: a) хX, б) х Х. Допустим, верно а). Так как х содержится в своем образе, то он не должен входить в X, хХ. В случае б) также получаем противоречие, поскольку х по алгоритму должен быть включён в Х. Полученное противоречие показывает, что f — 1 на множестве Х не определено, следовательно, взаимно однозначное отображение f: M [М] не существует и M[М]. Следовательно, M<[М].
1. Мощности бесконечных множеств так же, как и конечных, могут различаться.
2. Множеств с максимально возможной мощностью не существует, поскольку для любого множества М всегда можно рассмотреть множество его подмножеств [М]. В теории множеств доказана теорема Цермело, которая утверждает, что для произвольных множеств А и В всегда есть только три возможности: а) АВ; б) А>В; в) А = В. Отсюда следует, что несравнимых по мощности множеств не существует.
Определение. Множествами мощности континуум называют множества, эквивалентные множеству вещественных чисел на отрезке [0,1]. Обозначается данный вид мощности С либо .
Можно показать путем построения соответствующего взаимно однозначного отображения, что между мощностями счетного множества и множества мощности континуум существует следующая связь: [N] = 2 N = C.
В отличие от счётных, множества мощности континуум нельзя упорядочить. Множество вещественных чисел на отрезке [0;1] является как бы эталоном для других множеств мощности континуум, с которым их сравнивают путём построения взаимно однозначных отображений. Г.Кантором дано прямое доказательство несчетности данного множества с помощью диагональной процедуры.
Теорема 2.5 (Г.Кантор). Множество вещественных чисел на отрезке [0;1] несчетно.
Доказательство. Любое из этих чисел можно задать в виде конечной либо бесконечной десятичной дроби α=0,α1α2α3… , где 0 ≤ αi ≤ 9. Представим каждую конечную дробь α=0,α1α2α3… αk в бесконечной форме: α=0, 0,α1α2α3…(αk-1)99…. Для числа 1 получаем: 1 = 0,99… .
Допустим, рассматриваемое множество счетно. При этом все вещественные числа на отрезке [0; 1] могут быть упорядочены в виде счетного списка, в который каждое из них входит ровно один раз и представлено бесконечной последовательностью десятичных знаков:
Построим бесконечную дробь γ=0,γ1γ2γ3… по следующему правилу: еcли βii=1, то γi = 2, а если βii≠1, то γi = 1. Из алгоритма построения следует, что дробь γ не совпадает ни с одним из чисел βi, поскольку γi ≠ βii . Следовательно, вещественное число γ, принадлежащее отрезку [0; 1], не содержится в списке. Получаем противоречие с допущением о возможности упорядочения всех вещественных чисел из данного отрезка.
Пример 4. Найти мощность множества R вещественных чисел на всей числовой оси (–;).
Решение. Очевидно,R С, поскольку отрезок [0;1] R. Докажем строгое равенство R= С путем построения взаимно однозначного отображения f множества А = [0;1] на R. С помощью одних линейных отображений невозможно взаимно однозначно отобразить конечный отрезок на бесконечную область. Данным свойством обладает тригонометрическая функция у = tg(х). Но она действует на отрезке [–/2; +/2], поэтому вначале необходимо взаимно однозначно отобразить отрезок [0;1] (множество А) на отрезок [–/2; +/2] (который обозначим множеством В), а затем множество В взаимно однозначно отобразить на R.
Первая задача может быть решена с помощью линейного отображения. Поскольку оно имеет два неизвестных коэффициента (С0 ,С1), то их можно найти, подставив в уравнение связи b = С0 a + С1 две пары значений из множеств А и В, которые должны взаимно однозначно отображаться друг в друга. Если взять в качестве таких пар минимальные и максимальные значения на отрезках (0 –/2; 1 + /2), то множества точек, лежащие между ними, взаимно однозначно отобразятся друг на друга и задача будет выполнена. Подставляя выделенные пары в уравнение связи, получим систему двух уравнений:
Решая систему (например, методом исключения), получим:
Взаимно однозначное отображение множества А на В (обозначим его g: А В) примет вид: a A, g(а) = а – /2 = b B.
Для взаимно однозначного отображения множества В на R (обозначим его h: В R) используем функцию tg: b B, h(b) = = tg(b) = r R.
Итоговое отображение f: A R представим в виде композиции f = h g. Так как h и g взаимно однозначны, то и f по свойству композиций будет взаимно однозначным. Подставляя уравнение b(а) в зависимость r(b), найдем уравнение для отображения f, связывающее элементы а с элементами rR: r = tg (a – /2).
Из факта построения взаимно однозначного отображения f:A R по определению следует эквивалентность множеств A и R. Отсюда получим: R = A = С.
С точки зрения мощности, множество всех точек, лежащих внутри и на границе квадрата [0;1] [0;1], эквивалентно мощности всех точек на отрезке [0;1].
Теорема 2.6 (Г.Кантор). Множество всех точек декартова квадрата [0;1] [0;1] имеет мощность континуум.
Доказательство. Построим взаимно однозначное отображение всех точек из квадрата [0;1] [0;1] на множество вещественных точек отрезка [0;1].
Как и при доказательстве Теоремы 2.5, каждое из вещественных чисел, задающих координаты точек квадрата [0;1] [0;1] или отрезка [0;1], представим в виде бесконечной десятичной дроби α = 0, α1 α2 α3…, где 0 ≤ αi ≤ 9. Все конечные дроби α = 0, α1 α2 α3 … αk для единообразия задаем в эквивалентной бесконечной форме: α = 0, α1 α2 α3 …(αk-1)99…. В том числе: 1 = 0,99… .
При выбранном способе представления каждой точке отрезка соответствует одна бесконечная десятичная дробь х = 0, х1 х2 х3…, задающая ее координату на отрезке. Каждой точке квадрата — две дроби х = 0, х1 х2 х3 … и у = 0, у1 у2 у3…, которые равны ее декартовым координатам по осям.
Искомое взаимно однозначное отображение строим следующим образом. Каждой бесконечной десятичной дроби х = 0, х1 х2 х3 …, задающей координату точки на отрезке [0;1], ставим в соответствие две дроби х´ = 0, х1´ х2´ х3´ … и у´= 0, у1´ у2´ у3´…, которые однозначно задают точку квадрата [0;1] [0;1], по следующему правилу:
Отображение является однозначным, имеет обратное отображение (х´,у´)х, которое также однозначно. Следовательно, оно является взаимно однозначным и [0;1] [0;1] = С, ч.т.д.
Аналогично можно доказать мощность континуум для всех точек куба [0;1] 3 = [0;1] [0;1] [0;1] и других более высоких декартовых степеней [0;1] n множества [0;1].
Полученный результат был удивителен для всех математиков, в том числе — для самого Г.Кантора, поскольку он входил в противоречие с понятием пространственной размерности объектов. Однако построенное отображение не является непрерывным в обе стороны, что является в математике достаточным условием для сохранения размерности.
Пример 5. Найти мощность множества R 2 точек на декартовой плоскости.
Решение. Используя отображение вида r = tg (a — /2) из Примера 4, можно взаимно однозначно отобразить все точки декартовой плоскости на декартов квадрат [0;1] [0;1], мощность которого, как доказано в Теореме 2.6, равна континууму. Следовательно, R 2 = С.
Замечание. Так как процесс порождения множеств с большей мощностью бесконечен, то рассмотрев множество [А] всех подмножеств континуального множества А, получим множество 2 А , мощности большей, чем континуум:[А] = 2 C > С. Мощность 2 C имеет, в частности, множество всех функций, определённых на R .
Применение теоремы Кантора-Бернштейна значительно упрощает доказательство эквивалентности множеств мощности континуум одинаковой размерности. Для этого проще всего воспользоваться масштабным изменением размеров объектов, которое можно выполнить линейными преобразованиями с ненулевыми линейными коэффициентами, задающими взаимно однозначные отображения.
Пример 6. Найти мощность множества A точек, принадлежащих кругу радиуса r = 0,5 с центром в точке (1;1) на декартовой плоскости.
Решение. Докажем эквивалентность А множеству точек квадрата [0;1] [0;1] (множество В, рис.2.4).
1. Вначале докажем эквивалентность А некоторому подмножеству В. Используя взаимно однозначное отображение х = 1 · х — 0,5; у = 1·у — 0,5, отобразим круг А на круг А, расположенный внутри В. Отсюда следует: A =A , A B.
2. Докажем, что В эквивалентно подмножеству А. При помощи взаимно однозначного отображения х = 0,5·х + 0,75; у = 0,5·у + 0,75, квадрат В отобразим на квадрат меньшего размера В, расположенный внутри круга A. Отсюда следует: В = В , В А.
По теореме Кантора-Бернштейна из 1 и 2 следует: А = В . Отсюда с учетом результатов Теоремы 2.6 получим: A = С.
1. Найти мощность:
а) всех вещественных чисел в интервале [5;10];
б) множества вещественных чисел (–; – r] (r; +), где r — некоторое положительное вещественное число;
в) множества вещественных чисел в объединении отрезков вида [2i; 2i+1), где i Z;
г) множества вещественных чисел (–; 0] (1;+);
д) интервалов (r1; r 2), где r1 и r 2 — рациональные числа;
е) множества всех точек на окружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0);
ж) множества точек на параболе у = (х–2) 2 при – х + .
2. Построить пример взаимно однозначного отображения:
а) множества N10 целых чисел, кратных 10, на множество N2 четных чисел;
б) множества вещественных чисел [0;4] на множество вещественных чисел [0;4] (7;10];
в) множества всех окружностей на плоскости на множество всех квадратов на плоскости со сторонами, параллельными осям координат.
3. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0;1] на положительную полуось [0; ).
4. Существует ли взаимно однозначное отображение:
а) множества всех вещественных чисел R на множество всех целых чисел Z?
б) множества всех рациональных вещественных чисел на множество всех целых чисел?
5. Привести примеры счетных подмножеств на множествах:
а) всех прямых на плоскости;
б) шаров в пространстве;
в) векторов в n-мерном пространстве.
6. Будут ли иметь одинаковую мощность:
а) множества N3 и N4 всех натуральных чисел, кратных соответственно 3 и 4?
б) множества N 3 3 и N 3 4 всех трехзначных в десятичной системе счисления натуральных чисел, кратных 3 и 4?
7. Доказать с применением теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность множеств точек:
а) шара c радиусом R>0 и соответствующей ему сферы,
б) 3-мерного пространства и прямой линии в нем.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Про счетные множества
| На страницу Пред. 1 , 2 , 3 , 4 След. |
08.10.2006, 22:55
первые две задачи Вам уже давно решили(в прочем как и все остальные, за исключением 2-х).
3)Можно решить так: разбейте всю плоскость на квадраты, имеющие
сторону а. Затем подумайте: сколько точек может находится в
одном квадрате?(там не обязательно будет находится одна точка)
08.10.2006, 23:49
Цитата:
первые две задачи Вам уже давно решили(в прочем как и все остальные, за исключением 2-х).
Что-то я не помню,чтобы я их решала )
По-моему я еще не решила задачи:
Цитата:
2)Доказать,что мн-во точек ,имеет мощность континуума.
5)Доказать,что объединение континуума множеств мощности континуума имеет мощность континуума.
6)Доказать,что мн-во всех точек любого интервала (a,b) имеет мощность континуума.
8)Доказать,что проивольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
9)Доказать,что произвольное мн-во точек на плоскости,расстояние между любыми двумя из которых превосходит фиксированное число a>0,не более чем счетно.
10)Доказать,что любая последовательность имеет континуум подпоследовательностей.
11)Доказать,что мн-во всех последовательностей непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
12)Доказать,что мн-во всех интервалов на прямой R имеет мощность континуума.
13)Доказать,что мн-во всех непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
17)Д-ть,что мн-во всех замкнутых подмножеств прямой R имеет мощность континуума.
18)Д-ть,что мн-во всех счетных подмн-в мн-ва мощности континуума имеет мощность континуума.
19)Д-ть,что мн-во всех конечных подмн-в счетного мн-ва счетно.
21)Д-ть,что произвольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
Добавлено спустя 6 минут 37 секунд:
Цитата:
сколько точек может находится в
одном квадрате?(там не обязательно будет находится одна точка)
Естественно.Их там может быть сколько угодно!
Добавлено спустя 16 минут 26 секунд:
Про 13 наверно можно рассуждать как Вы рассуждали раньше: f(x)-непрерывна,f(x)=f(x)+c тож непрерывна,с=[0,1]-мн-во мощности континуума.Значит,и функции мощности континуума.
Про 11:надо д-ть что одна последовательность ф-ий имеет мощность континуума.А потом воспользовать тем,что объединение континуального числа мн-в мощности континуума есть мн-во мощности континуума.
а больше я не знаю.Подскажите Woland !please.
09.10.2006, 07:03
| Супермодератор |
Ox. Тяжело с Вами.
Задача 20. Что такое интервал с рациональными концами? Это пара 
двух рациональных чисел, из которых 
однозначно переводит его в 
. Отсюда они равномощны.
Задача 2 проще, чем задача со счетной последовательностью вещественных чисел, так как тут чисел всего 
. Пользуясь задачей 6, интерпретируем каждое как интервал 
. Записываем чисел как бесконечные десятичные дроби. Имеем дробей. Составляем из них одну: сначала записываем подряд первых цифр, затем вторых и т.д. На похожей идее решается и задача со счетной последовательностью.
Для континуума всех непрерывных функций пользуемся тем, что непрерывная функция однозначно задается своими значениями в рациональных точках. Таким образом, сводим задачу к счетной последовательности вещественных чисел.
Для первой задачи (монотонные функции) делаем похожую вещь, только нужно явно задать значения функции не только в рациональных точках, но и в точках разрыва. Фишка в том, что для монотонных функций этих точек не более чем счетное число.
Цитата:
Про 13 наверно можно рассуждать как Вы рассуждали раньше: f(x)-непрерывна,f(x)=f(x)+c тож непрерывна,с=[0,1]-мн-во мощности континуума.Значит,и функции мощности континуума.
Плохо и неверно. Так можно «доказать» и то, что всех возможных функций континуум (если f — функция, то f+c — тоже функция. )
Я не вижу от автора самостоятельных продвижений. Тут уже накидано много разных как готовых решений, так и сырых идей, которые нужно доработать. Более того, у меня совершенно нет ощущения, что приведенные здесь решения поняты автором темы верно. Просьба написать подробно решения хотя бы нескольких задач, которые Вам уже вроде как понятны, не пропуская никаких логических переходов. Тогда по аналогии, глядишь, может быть и другие задачи решатся.
Равномощность
Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.
| Объявления | Последний пост | |
|---|---|---|
| Работодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий | 26.03.2008 03:07 | |
| Открыта свободная публикация вакансий для математиков | 26.09.2019 16:34 | |
| ML Research Engineer, до $8k/мес net | 06.09.2023 14:11 | |
17.05.2005 11:22
Дата регистрации:
18 лет назад
Равномощность
Попалась вот такая вот задачка:
Докажите, что множество всех прямых на плоскости равномощно множеству всех точек на этой плоскости(Указание: и точки, и прямые задаются парами чисел, за небольшими исключениями)
Это как это так? О какой равномощности здесь может идти речь, когда одной прямой принадлежит бесконечное число точек, а через одну точку проходит бесконечное число прямых?
Нет, понятно, есть такое отображение, так как задача изначально считается решимой, но что это за отображение, я понятия не имею:(((
Помогите, пожалуйста, ламеру:(((
17.05.2005 12:05
Дата регистрации:
19 лет назад
Любая точка задается парой чисел, т. е. множество точек равномощно множеству пар чисел.
Любая прямая, непараллельная оси ОУ задается парой чисел (y=kx+b) Единственно, паре(0, 0) прямая не соответствует, но мощность множества пар чисел от удаления одного элемента не изменится. Т. е., множество всех прямых, непараллельных OY, равномощно множеству пар чисел. Если мы добавим к множеству этих прямых прямые, параллельные OY, то мощность, понятное дело, не поменяется. Таким образом, множество прямых и множество пар чисел равномощны. Следовательно, множества точек и прямых тоже равномощны.
Уже предчувствую, что тут через пару часов начнется