Как дополнить до ортогонального базиса

Алгеом Дополнить до ортонормированного базиса систему векторов евклидова пространства .(2/3,1/3,2/3),(1/3,2/3,-2/3)

1) показываете что векторы линейно независимы (непропорциональны)
2) добавляете вектор чтобы получилась система линейцно независимых векторов. можно взять в качестве такого векторное произведение этих двух векторов

да еще надо убедится что два заданных вектора ортогональны (вычисление скаларного произведения)

и еще векторы надо нормировать (то есть сделать едничной длины), разделить каждый на его длину, включая третий.

Дополнение системы векторов до ортогонального базиса

содержащую -уравнений ( ) с -неизвестными . Из общего решения этой системы необходимо выделить нетривиальное частное решение, которое определит координаты вектора .

Вектор подбирается так, чтобы он был ортогонален векторам . При этом необходимо решить систему

Система (1.9) будет содержать ( +1)-уравнение (если ) с -неизвестными . Из общего решения этой системы необходимо выделить нетривиальное частное решение, определяющее координаты вектора . И так далее. В итоге получим систему ортогональных векторов

являющуюся ортогональным базисом в пространстве .

Задание 9. Проверить ортогональность векторов , пространства и дополнить эти векторы до ортогонального базиса.

Задание 10. Подпространство линейного пространства задано однородной системой линейных алгебраических уравнений (ОСЛАУ). Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство и его ортогональную составляющую .

Алгоритм решения задания следующий.

1. Находим общее решение ОСЛАУ и фундаментальную систему решений (базис пространства решений ОСЛАУ).

2. Проверяем ортогональность векторов . Если векторы не ортогональны, то проводим процесс ортогонализации Шмидта, получаем систему ортонормированных векторов :

3. Ортогональную проекцию – вектор составляем по правилу

где , , …., . Проверяем принадлежность составленного вектора пространству .

4. Ортогональную составляющую – вектор составляем как

Ортогональность векторов , проверяем условием .

Как дополнить до ортогонального базиса

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Задача 2. Найти А +В, если

Задача 3. Найти АВ , если

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Задача 5. Найти , если

Задача 6. Найти , если

Задача 7. Вычислить определитель

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Мы сами можем проверить результат, Известно, что . Так ли это?

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: det А =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Решение:

Задача 11. Вычислить :

Раскроем скобки и получим:

Так как , то получаем:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Представим число z в тригонометрической форме.

, следовательно, а=1, b =1 и .

Применим формулу Муавра:

Задача 13. Выполнить деление с остатком f ( x )= x 3 — x 2 — x на x -1+2 i .

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Таким образом: f ( x )= x 3 — x 2 — x =( x -1+2 i ) ( x 2 -2 ix -5-2 i )-9+8 i .

Ответ : f(x)=x 3 -x 2 -x=(x-1+2i) (x 2 -2ix-5-2i)-9+8i.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: ( х , у) = 2+6+4-12 = 0 х , у – ортогональны .

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть z = (z₁, z₂, z ₃, z ₄) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Пусть теперь k = ( k ₁, k ₂, k ₃, k ₄) попарно ортогонален с векторами x , y , z . Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов и до ортонормированного базиса.

Пусть z = (z₁, z₂, z ₃) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e ₁, e ₂ параллельно оси координат вектора e ₃, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e ₁, e ₂, e _3..

Решение: Пусть L — трёхмерное пространство, e ₁, e ₂, e ₃ — базис L , преобразование — проектирование L на координатную плоскость векторов e ₁, e ₂ параллельно оси координат вектора e ₃.

Пусть х — произвольный вектор L , т.е. x Î L .

Пусть x =( x ₁, x ₂, x ₃) — координаты вектора x в базисе e ₁, e ₂, e ₃, т.е. x = x ₁ e ₁+ x ₂ e ₂+ x ₃ e ₃. Тогда при преобразовании j имеем:

Докажем, что для любых x Î L , y Î L и числа l

1) j ( x+y )= j (x)+ j (y),

2) j ( l x )= l j (x).

j ( l x ) = ( l x ₁, l x ₂, 0) = l ( x ₁, x ₂, 0) = l j ( x ) .

Следовательно, j — линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e ₁, e ₂, e ₃. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A _j следующим образом:

Откуда следует, что

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е ₁ , е₂, е₃, е₄ имеет матрицу

Выпишем матрицу перехода от базиса е ₁ ,е₂,е₃,е₄ к новому базису:

Теперь найдем матрицу преобразования В _j в новом базисе по формуле В _j =Т -1 А _j Т.

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j .

Составим характеристическую матрицу:

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Получим собственные значения: или .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: .

Но, в тоже время,

Беря значением = -1, получаем с.л.а .у . :

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а .у . Найдем ф.с.р. это с.л.а .у .

линейная-алгебра — Дополнить систему векторов до ортонормированного базиса

я сомневаюсь в правильности решения, не могли бы вы посмотреть пожалуйста

задан 27 Мар ’16 15:32

s1mka
1.3k ● 3 ● 27 ● 127
98&#037 принятых

@s1mka: всё это же самое можно сделать короче и менее «кустарно». Посмотрите в учебниках описание процесса ортогонализации Грама — Шмидта.

(27 Мар ’16 16:04) falcao

@falcao спасибо, а так все верно?

(27 Мар ’16 16:08) s1mka

@s1mka: да здесь и так было всё верно, но задача «пустяковая», а написано целое длинное исследование. Это всё можно в две строчки сделать, и в кратком стиле, не обсуждая самоочевидные вещи типа того, что векторы из R^4 состоят из четырёх компонент.

(27 Мар ’16 18:27) falcao

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

задан
27 Мар ’16 15:32

показан
10416 раз

обновлен
27 Мар ’16 18:27