Как найти матрицу оператора в новом базисе

3.4. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть линейный оператор Выберем в два произвольных базиса и . Пусть – матрица линейного оператора в базисе , а – матрица линейного оператора в базисе , – матрица перехода от базиса к базису . Имеет место следующая

Теорема. Матрицы и линейного оператора связаны между собой соотношением

. (7)

Доказательство. Запишем разложения и в обоих базисах:

Или в матричной форме по формуле (6) связи между координатами образа и прообраза:

(8)

Где

По формуле (4) связи между координатами вектора в двух разных базисах имеем:

(9)

Где – матрица перехода от базиса к базису

Из (8) с учётом (9) имеем:

А из (9) с учётом (8)

Тогда , следовательно, .

Замечание. Линейный оператор, матрицей которого является матрица называется Преобразованием подобия; матрицы и при этом называются Подобными.

Пример 13. Линейный оператор задан в базисе матрицей . Найти матрицу этого оператора в базисе , если

Решение. По формуле (7) где – матрица перехода от базиса к базису .

Найдём : , а . Тогда

Ответ:

Главная
Заказать работу
Стоимость решения
Варианты оплаты
Ответы на вопросы (FAQ)
Отзывы о нас
Примеры решения задач
Методички по математике
Помощь по всем предметам
Заработок для студентов

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Матрица в другом базисе

Матрица в другом базисе
06.06.2012, 17:17

Последний раз редактировалось Deggial 19.12.2012, 17:03, всего редактировалось 1 раз.

формулы поправил

Линейный оператор в базисе $e_1, e_2, e_3$ задается матрицей
$\begin2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end$
Найти его матрицу в новом базисе $a_1, a_2, a_3$ если изветсно разложение векторов $a_1=e_1+e_2+e_3, a_2 = e_1+2e_2-2e_3, a_3 = e_1-e_3$

$a_1=(2, 3, 1)+(1, 2, 1) + (-1, -1, 2)$

Я правильно понял, что для того что бы найти матрицу перехода надо сложить по этим формулам базисы.
т.е.

и т.д.?

Re: Матрица в другом базисе
06.06.2012, 18:54

Заслуженный участник

$$\begin Нет-нет-нет. Матрица перехода здесь 1&1&1\\1&2&0\\1&-2&-1\end$» /> К Вам вопрос: и как я это получил? Re: Матрица в другом базисе 06.06.2012, 21:05 Последний раз редактировалось AlR 06.06.2012, 21:18, всего редактировалось 1 раз. Я подумал что по разложению векторов найти новые вектора из них собрать матрицу потом привести к виду A|B и а сделать диагональной. В Б будет матрица перехода. Значит я не прав. 🙁 Дошло до дурака. Спасибо. Re: Матрица в другом базисе 06.06.2012, 21:20 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Э, теорию-то учить надо. Если линейный оператор $\mathcal A$ имеет в базисе $e$ матрицу $A_e$ , а в базисе $u$ — матрицу $A_u$ , то они связаны следующим образом: $A_e=P_A_u P_\quad (*),$ где $P_$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $u$ . В самом деле, если вектор $\mathbf x$ имеет в базисах $e$ и $u$ координаты соответственно $x_e$ и $x_u$ , то $(\mathcal A\mathbf x)_e=P_(\mathcal A \mathbf x)_u = P_(A_u x_u) = (P_ A_u P_)x_e.$ Но с другой стороны, $(\mathcal A\mathbf x)_e=A_e x_e$ , поэтому и верно написанное выше равенство $(*)$ .

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 4 ]

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Матрица линейного оператора в новом базисе

Матрица линейного оператора в новом базисе вычисляется по формуле , где — матрица перехода от старого базиса к новому. Особый интерес представляет тот случай, когда новый базис или полностью, или хотя бы частично состоит из собственных векторов линейного оператора. При этом строение матрицы линейного оператора сильно упрощается, а если все n векторов базиса – собственные векторы, то матрица будет диагональной, причём по диагонали расположены n собственных чисел. Допустим, что — собственный вектор, соответствующий собственному числу . Тогда этот вектор отображается оператором в вектор , то есть . Это и означает, что первый столбец матрицы оператора состоит из чисел . Аналогично , то есть во втором столбце — все нули кроме элемента , который равен собственному числу . Таким же образом для остальных столбцов получается, что единственный ненулевой элемент столбца будет расположен на диагонали матрицы. Если все n векторов базиса – собственные, то матрица оператора диагональная, а если только первые m векторов собственные, то только в первых m столбцах все элементы кроме диагональных будут нулевые.

3.5. Построение матрицы оператора по известным собственным числам и векторам. (Обратная задача к задаче о нахождении собственных векторов). Если известно n собственных чисел и n собственных векторов, можно однозначно определить матрицу оператора, для которого данные числа и векторы будут собственными.

Доказательство. Пусть новый базис состоит из собственных векторов линейного оператора. Матрицу перехода от старого базиса к этому базису обозначим . Верна формула , где — матрица оператора в новом базисе, она является диагональной и содержит n собственных чисел по диагонали. Умножая это матричное равенство справа на , а слева на , получим формулу для вычисления матрицы оператора: .

Пример. Найти матрицу линейного оператора, для которого собственными числами являются 1, 2 и 3, а собственными векторами соответственно , , .

В §5 приведены варианты задач по теме «собственные числа и векторы».

В задачах (1-90) есть 3 различных характеристических корня. В задачах (91-180) есть один корень кратности 2. Во всех задачах корни – целые действительные числа.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Вопрос 25. Матрица линейного оператора в новом базисе.

Оператор , действующий в линейном пространстве , задан своей матрицей . Найдем координаты образа вектора . В линейном пространстве введен новый базис , , , . Найдем координаты вектора , координаты образа и матрицу оператора в новом базисе.

Вопрос 26. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору. Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

Собственные числа линейного оператора — корни характеристического уравнения , где — матрица оператора f, — символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где — соответствующие собственные значения.

Вопрос 27. Теорема Кронекера-Капелли.

— критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. Теорема Кронекера—Капелли применяется при исследованиях систем алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы). В результате исследования должна быть записана эквивалентная система алгебраических уравнений с минимальным числом уравнений.

Решить с помощью теоремы Кронекера-Капелли систему уравнений: Решение

Из последнего преобразования вытекает, что . Начальная система эквивалентна системе: . Среди миноров второго порядка, составленных из элементов матрицы коэффициентов при неизвестных, существует хотя бы один отличный от нуля. В нашем случае их несколько. Если отличный от нуля минор выберем из коэффициентов при двух неизвестных, то таким образом мы переведем эти неизвестные в разряд основных. Пусть, например, это неизвестные х₁, х₂. Тогда, перенеся остальные неизвестные в правую часть системы уравнений, получим: . Главный определитель этой системы . Найдем . . По правилу Крамера: Последние равенства определяют общее решение системы уравнений. Чтобы получить частные решения, достаточно предоставить свободным неизвестным х₃, х₄, х₅ некоторых числовых значений. Например, если х₃ = 0, х₄ = 0, х₅ = 0, имеем решение ; если х₃ = 2, х₄ = 1, х₅ = –2 — решение (3, 5, 2, 1, –2) и т.д. Таких частных решений в данном случае можно построить бесконечное количество.