Как найти ортогональную проекцию вектора

2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?

Об ортогональной проекции вектора на вектор мы говорили ранее, и фактически было установлено следующее:

Чтобы найти ортогональную проекцию вектора на прямую, нужно найти его проекцию на любой направляющий вектор этой прямой.

…возможно, не всем понятен термин «ортогональная» – это такая проекция, при которой на вектор «падают лучи света» строго перпендикулярно по отношению к прямой (см. рис. ниже). Существует куча иных («косых») проекций, когда проецирование осуществляется под другими углами, но для данной книги этот материал не столь актуален.

Решим символическую задачку:

Задача 85

Найти проекцию вектора на прямую

Решение: найдём какой-нибудь направляющий вектор прямой, проще и быстрее взять стандартный вариант: .
Проекция вектора на прямую – есть его проекция на любой направляющий вектор этой прямой, по соответствующей формуле:

Ответ:

Напоминаю, что проекция – это длина «тени» вектора (красный цвет):

Желающие могут взять любые точки прямой, найти направляющий вектор и убедиться в том, что проекция будет такой же, как вариант, со знАком «минус».

Ну вот и подошло к концу наше путешествие по основным задачам с «плоской» прямой, и никакого Кащея Бессмертного тут нет…. – Здесь есть я, с новыми знаниями и задачами J Потому что Бабу-Ягу никто не отменял =)

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Как найти проекцию вектора

Подставляя в неё координаты заданных векторов, получим:

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти проекцию вектора $\bar=(-2 ; 3 ; 0)$ на вектор $\bar=(-2 ; -1 ; 5)$

Решение. Подставляя координаты заданных векторов в формулу

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как найти вектор по точкам
Как найти сумму векторов
Как найти скалярное произведение векторов
Как найти векторное произведение векторов
Как найти смешанное произведение векторов
Все темы раздела «Как найти вектор по точкам»

Поможем выполнить
любую работу

Формулы и свойства логарифмов
Таблица интегралов
Тригонометрические формулы
Таблица степеней
Формулы и свойства степеней
Формулы площади
Таблица Лапласа
Формулы объема

Все еще сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Дипломные работы
Выполнение 2-3 недели
Курсовые работы
Выполнение 5-7 дней
Контрольные работы
Выполнение 1–4 дня
Написание рефератов
Выполнение 2-5 дней
Решение задач
Выполнение 1–3 дня
Написание диссертаций
Выполнение 2-3 месяца

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?

80% ответов приходят в течение 10 минут

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
19.03.2014, 17:37

Добрый день!
Столкнулся с такой задачей:
Требуется найти ортогональную проекцию $y$ и ортогональную составляющую $z$ вектора $x$ на линейное подпространство $L$
Дан вектор $x=(7;4;-1;2)$ , а линейное подпространство $L$ задано системой уравнений:
$\begin2x_1+x_2+x_3+3x_4=0\\ 3x_1+2x_2+2x_3+x_4=0\\ x_1+2x_2+2x_3-9x_4=0 \end$
Помогите пожалуйста! С чего надо начать? Я так понял что надо использовать скалярные произведения и Матрицу Грама.
Также попробовал решить систему уравнения, в результате пришлось выражать через свободные переменные и получилось два вектора, но как их тут использовать?!
Векторы такие получились $(0,-1,1,0),(-5, 7, 0,1)$

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
19.03.2014, 18:06

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 19.03.2014, 18:07, всего редактировалось 1 раз.

<img decoding=

В процессе решения системы уравнений Вы как-то её преобразовывали, при этом выяснялось, что некоторые уравнения являются линейными комбинациями остальных (или, как частный случай, сводятся к =0$» />). Такие уравнения Вы выбрасывали. Приведите, пожалуйста, конечный вид системы после этих преобразований.

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
19.03.2014, 18:37

Последний раз редактировалось SlayZar 19.03.2014, 18:43, всего редактировалось 2 раз(а).

$\begin2& 1& 1& 3\\ 3& 2& 2& 1\\ 1& 2& 2& -9&\end$ —> $\begin1& \frac12& \frac12& \frac32\\ 0& \frac12& \frac12& -\frac72\\ 0& \frac32& \frac32& -\frac&\end$ —> $\begin1& \frac12& \frac12& \frac32\\ 0& 1& 1& -7\\ 0& 0& 0& 0&\end$

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
19.03.2014, 18:58

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 19.03.2014, 18:59, всего редактировалось 1 раз.

$$\begin Хорошо. Можно ещё первое уравнение вернуть к исходному виду, чтобы дробей не было: 2& 1& 1& 3\\ 0& 1& 1& -7\end$» /> Напрашиваются ещё кой-какие преобразования, но это уже дело вкуса. Посмотрите на матрицу системы как на два вектора (записанных в строку): <img decoding=$ .
А найденные решения обозначим $b_1=\begin0\\-1\\1\\0\end\quad b_2=\begin-5\\7\\0\\1\end$

Так как векторы $b_1, b_2$ удовлетворяют системе, то
$\begin2& 1& 1& 3\\ 0& 1& 1& -7\end\begin0&-5\\-1& 7\\ 1& 0\\ 0& 1\end=\begin0& 0\\0& 0\end$
А теперь увидьте в этой записи четыре скалярных произведения:
$(a_1, b_1)=0\quad (a_1, b_2)=0$
$(a_2, b_1)=0\quad (a_2, b_2)=0$

Увидите — напишите «увидел».

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
19.03.2014, 19:07

Последний раз редактировалось SlayZar 19.03.2014, 19:33, всего редактировалось 4 раз(а).

$$\begin Да, увидел! Получается 2& 1& 1& 3\\ 0& 1& 1& -7\end\begin0&-5\\-1& 7\\ 1& 0\\ 0& 1\end=\begin&a_1& \\ &a_2&\end\beginb_1 \\\\ b_2\end=\begin(a_1,b_1)& (a_1,b_2)\\(a_2,b_1) & (a_2,b_2)\end=\begin0& 0\\0& 0\end$» /> Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую 19.03.2014, 19:33 <table cellspacing=$ Заслуженный участник

Так вот, что мы получили.
Векторы $b_1$ и $b_2$ составляют базис $L$ .
Векторы $a_1$ и $a_2$ составляют базис ортогонального дополнения к $L$ .
Все вместе они составляют базис линейного пространства $V$ .
(Конечно, надо уметь эти утверждения обосновать, если что, задавайте вопросы).

Найдите коэффициенты разложения данного вектора $x$ по этим векторам:
$x=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2+\beta_1 b_1 + \beta_2 b_2$ , для чего решите систему
$\begin2& 0& 0&-5\\ 1& 1&-1& 7\\1& 1& 1& 0\\3& -7& 0& 1\end\begin\alpha_1\\\alpha_2\\\beta_1\\\beta_2\end=\begin7\\4\\-1\\ 2\end$

И тогда $\beta_1 b_1 + \beta_2 b_2$ будет лежать в $L$ , а $\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2$ будет ей ортогональна (по-моему, оба утверждения очевидны). Иными словами, мы нашли $y$ и $z$ .

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
19.03.2014, 20:01

Решая эту систему у меня получились довольно странные и неприятные числа, но вроде бы правильные!
$$\alpha_1=\frac<241>; \alpha_2=\frac; \beta_1=\frac; \beta_2=\frac$» /> Но тогда если находить <img decoding=$ то ответ получается совсем некрасивым. Так и должно быть?

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
19.03.2014, 20:15

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 19.03.2014, 21:07, всего редактировалось 8 раз(а).

$$\frac 1<101> Вы пока получите эти два вектора (можно вынести $» /> за вектор, чтоб не было знаменателей). А я покажу, как другим способом найти, это будет проверка. Система уравнений, данная в задаче, определяет подпространство <img decoding=$ , к которому $L$ является ортогональным дополнением. Надо представить $x=y+z$ , где $y\in L, z\in M$ .

Мы нашли базис $M$ : это векторы $a_1$ и $a_2$ . Так как $y\in L$ , то $(a_1, y)=0, (a_2, y)=0$ , поэтому
$(a_1, x)=(a_1, y+z)=(a_1, z)=(a_1, \alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2)=(a_1, a_1)\alpha_1+(a_1, a_2)\alpha_2$
$(a_2, x)=(a_2, y+z)=(a_2, z)=(a_2, \alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2)=(a_2, a_1)\alpha_1+(a_2, a_2)\alpha_2$

Получаем систему
$\begin(a_1, a_1)&(a_1, a_2)\\(a_2, a_1)&(a_2, a_2)\end\begin\alpha_1\\\alpha_2\end=\begin(a_1, x)\\(a_2, x)\end$
или
$\begin15&-19\\-19&51\end\begin\alpha_1\\\alpha_2\end=\begin23\\-11\end$
Откуда $$\alpha_1=\frac<241>, \alpha_2=\frac$» /> Теперь находим <img decoding=$ и $y=x-z$ .
В этом способе мы не решаем систему, данную по условию, а только преобразуем её, чтобы найти базис $M$ .

Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
19.03.2014, 20:43

Последний раз редактировалось SlayZar 19.03.2014, 20:59, всего редактировалось 6 раз(а).

$$z=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2=\frac<241> \begin2\\1\\1\\3\end+\frac\begin0\\1\\1\\-7\end=\begin\frac\\\\\frac\\\\\frac\\\\\frac\end=\frac\begin482\\309\\309\\247\end$» /> <img decoding=$ Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 19.03.2014, 21:03, всего редактировалось 5 раз(а).

Мы нашли базис $L$ : это векторы $b_1$ и $b_2$ . Так как $z\in M$ , то $(b_1, z)=0, (b_2, z)=0$ , поэтому
$(b_1, x)=(b_1, y+z)=(b_1, y)=(b_1, \beta_1 b_1+\beta_2 b_2)=(b_1, b_1)\beta_1+(b_1, b_2)\beta_2$
$(b_2, x)=(b_2, y+z)=(b_2, y)=(b_2, \beta_1 b_1+\beta_2 b_2)=(b_2, b_1)\beta_1+(b_2, b_2)\beta_2$

Получаем систему
$\begin(b_1, b_1)&(b_1, b_2)\\(b_2, b_1)&(b_2, b_2)\end\begin\beta_1\\\beta_2\end=\begin(b_1, x)\\(b_2, x)\end$
или
$\begin2&-7\\-7&75\end\begin\beta_1\\\beta_2\end=\begin-5\\-5\end$
Откуда $$\beta_1=-\frac<410>, \beta_2=-\frac$» /> Теперь находим <img decoding=$ и $z=x-y$ .

Всё ли понятно во втором и третьем способе?

— Ср мар 19, 2014 20:03:16 —

Пусть $y$ и $z$ найдены. Что нужно проверить, чтобы быть уверенным, что решение правильное.
$\bullet$ $y+z=x$
$\bullet$ $y$ ортогонален каждому вектору-строке исходной системы (стало быть, $y$ принадлежит $L$ )
$\bullet$ $(y, z)=0$ (стало быть, $z$ принадлежит $M$ — ортогональному дополнению к $L$ )

Помогите с задачками по ГЕОМЕТРИИ.пожалуйста. см.внутри

1.Вычислить ортогональную проекцию вектора(1,5,-3) на направление вектора (1,-2,1)
2.Даны три вектора а=(-3,2,0),b=(1,1,-1),c=(5,11,-1).Найти ортогональную проекцию вектора с на плоскость,определяемую векторами a и b.

Просьба не писать бессмысленные ответы и не предлагать решение за деньги.

Лучший ответ

Скалярное произведение векторов равно произведению длины одного из этих векторов на (ориентированную) длину проекции второго вектора на него.
Скалярное произведение (1,5,–3) на (1,–2,1) равно 1×1+5×(–2)+(–3) ×1 = –12.
Длина вектора (1,–2,1) равна sqrt(1^2+(–2)^2+1^2) = sqrt(6).
Следовательно, длина ориентированной проекции вектора (1,5,–3) на вектор (1,–2,1) равна –12/sqrt(6) = –2*sqrt(6).
Таким образом, искомая проекция равна
((–2*sqrt(6))/(sqrt(6)))*(1,–2,1) = (–2,4,–2).

Ортопроекция вектора с на плоскость < a,b >равна разности между вектором с и его ортопроекция на ортогональное дополнение к плоскости < a,b >.
Ортогональное дополнение к плоскости < a,b >это прямая с направляющим вектором n, равным векторному произведению векторов a и b, т. е. n = (–2,–3,–5).
Проекцию вектора с на n ищем так же как в первом пункте.

Скалярное произведение (5,11,–1) на (–2,–3,–5) равно 5×(–2)+11×(–3)+(–1) ×(–5) = –38.
Длина вектора (–2,–3,–5) равна sqrt((–2)^2+(–3)^2+(–5)^2) = sqrt(38).
Следовательно, длина ориентированной проекции вектора (5,11,–1) на вектор (–2,–3,–5) равна –38/sqrt(38) = –sqrt(38).
Таким образом, проекция на ортогональное дополнение равна
((–sqrt(38))/(sqrt(38)))*(–2,–3,–5) = (2,3,5).
А проекция вектора с на плоскость < a,b >равна
(5,11,–1)–(2,3,5) = (3,8,–6).

Как найти ортогональную проекцию вектора

2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?

Как найти проекцию вектора

Остались вопросы?

Все еще сложно?

Научный форум dxdy

Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую

Помогите с задачками по ГЕОМЕТРИИ.пожалуйста. см.внутри

Добавить комментарий Отменить ответ