Как найти сторону четырехугольника зная 3 стороны

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

Формула для площади прямоугольника через его стороны

S = ab

a и b – смежные стороны прямоугольника

Формула для площади прямоугольника через его диагонали и угол между ними

d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула для площади прямоугольника через радиус описанной окружности и угол между диагоналями прямоугольника

S = 2R 2 sin φ

R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями прямоугольника

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Формула для площади параллелограмма через его сторону и высоту, опущенную на эту сторону

S = a h_a

a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону

Формула для площади параллелограмма через стороны параллелограмма и угол между ними

S = absin φ

a и b – смежные стороны, φ – угол между ними

Формула для площади параллелограмма через его диагонали и угол между ними

d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади квадрата через его сторону

S = a 2

a – сторона квадрата

Формула для площади квадрата через радиус вписанной окружности

S = 4r 2

r – радиус вписанной окружности

Формула для площади квадрата через его диагональ

d – диагональ квадрата

Формула для площади квадрата через радиус описанной окружности

S = 2R 2

R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Формула для площади ромба через сторону и высоту, опущенную на эту сторону

S = a h_a

a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону

Формула для площади ромба через сторону и угол ромба

S = a 2 sin φ

a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для площади ромба через его диагонали

Формула для площади ромба через его сторону и радиус вписанной окружности

S = 2ar

a – сторона, r – радиус вписанной окружности

Формула для площади ромба через радиус вписанной окружности и угол ромба

r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для площади трапеции через основания и высоту

a и b – основания, h – высота

Формула для площади трапеции через среднюю линию и высоту

S = m h

m – средняя линия, h – высота

Формула для площади трапеции через ее диагонали и угол между ними

d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади трапеции через ее стороны

a и b – основания, c и d – боковые стороны

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и угол между ними

S = ab sin φ

a и b – неравные стороны, φ – угол между ними

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и углы между равными сторонами

a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b .

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и радиус вписанной окружности

S = (a + b) r

a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности

Формула для площади дельтоида через его диагонали

Формула для площади выпуклого четырехугольника через его диагонали и угол между ними

d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади четырехугольника, вписанного в окружность, через его стороны и полупериметр («Формула Брахмагупты»)

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр

Вывод формул для площадей четырехугольников

УТВЕРЖДЕНИЕ 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 . Площадь параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3 . Площадь параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4 . Площадь ромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высота (рис.5).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 7 . Площадь дельтоида можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

Справочник по математике для школьников

• Арифметика
• Алгебра
• Тригонометрия
• Геометрия (планиметрия)
• Геометрия (стереометрия)
• Элементы математического анализа
• Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

• Основные фигуры планиметрии
  • Фигуры, составляющие основу планиметрии
  • Углы на плоскости
  • Теорема Фалеса
  • Углы, связанные с окружностью
  • Признаки параллельности прямых
  • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
  • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
  • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
  • Свойства сторон и углов треугольника
  • Подобие треугольников
  • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
  • Биссектриса треугольника
  • Медиана треугольника
  • Высота треугольника. Задача Фаньяно
  • Средние линии треугольника
  • Теорема Чевы
  • Теорема Менелая
  • Описанная окружность. Теорема синусов
  • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
  • Площадь треугольника
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники
  • Параллелограммы
  • Трапеции
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Многоугольники
  • Правильные многоугольники
  • Углы, связанные с окружностью
  • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
  • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
  • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
  • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  • Вневписанные окружности
  • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  • Описанные четырехугольники
  • Площади четырехугольников
  • Площадь треугольника
  • Вывод формул Герона и Брахмагупты
  • Средние линии
  • Геометрические места точек на плоскости
  • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

  Учебные пособия для школьников

  • Задачи на проценты
  • Квадратный трехчлен
  • Метод координат на плоскости
  • Прогрессии
  • Решение алгебраических уравнений
  • Решение иррациональных неравенств
  • Решение логарифмических неравенств
  • Решение логарифмических уравнений
  • Решение показательных неравенств
  • Решение показательных уравнений
  • Решение рациональных неравенств
  • Решение тригонометрических уравнений
  • Степень с рациональным показателем
  • Системы уравнений
  • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
  • Уравнения и неравенства с модулями
  • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

  Демоверсии ЕГЭ

  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
  • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

  Демоверсии ОГЭ

  • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
  • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе

  Найти стороны трапеции онлайн

  

  Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными боковыми сторонами.

  Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не равны между собой.
  Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.

  Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других значимых параметров.

  Калькуляторы

  • Длина основания через среднию линию и другое известное основание
  • Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании
  • Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании
  • Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании
  • Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нижнем основании
  • Боковую сторону через высоту и угол при нижнем основании

  Длина основания через среднюю линию и известное основание

  

  Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:

  Средняя линия ( m ):
  Изв. основание ( b ):
  Цифр после запятой:
  Результат в:
  Линия ( m ): мм
  Основание ( b ): мм
  Основание ( a ) = мм

  Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3 .

  Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании

  

  Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:

  a = b + h*(ctga + ctgb)
  Верх. основание ( b ):
  Цифр после запятой:
  Результат в:
  Основание ( b ): мм
  Высота ( h ): мм
  Угол ( α ): градус
  Угол ( β ): градус
  Основание ( a ) = мм

  Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63 . Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5. Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1

  Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga) . Высота АН в трапеции ADEF = 10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24

  Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании

  

  Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при ней:

  b = a – h*(ctg α + ctg β)
  Ниж. основание ( a ):
  Цифр после запятой:
  Результат в:
  Основание ( a ): мм
  Высота ( h ): мм
  Угол ( α ): градус
  Угол ( β ): градус
  Основание ( b ) = мм

  Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) = 15 + 16 = 31

  Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga .

  • Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN , высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
  • Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5 , а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35

  Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании

  

  Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов углов при них

  a = b + c * cos α + d * cos β
  Верх. основание ( b ):
  Сторона ( c ):
  Сторона ( d ):
  Цифр после запятой:
  Результат в:
  Основание ( b ): мм
  Сторона ( c ): мм
  Сторона ( d ): мм
  Угол ( α ): градус
  Угол ( β ): градус
  Основание ( a ) = мм

  Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов. Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82

  Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b + 2c*cosa .

  • трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4 = (144 – 64)/4 = 20
  • В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 + 4*2*3/2 = 7 + 43

  Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем

  

  Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов при них

  b = a – c * cos α – d * cos β
  Ниж. основание ( a ):
  Сторона ( c ):
  Сторона ( d ):
  Цифр после запятой:
  Результат в:
  Основание ( a ): мм
  Сторона ( c ): мм
  Сторона ( d ): мм
  Угол ( α ): градус
  Угол ( β ): градус
  Основание ( b ) = мм

  Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 — 103 . Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa .

  • В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 – 11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4
  • Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD: CD = 25 – 10*2*1/2 = 15

  Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании

  

  Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней

  d = h / sin α
  Цифр после запятой:
  Результат в:
  Высота ( h ): мм
  Угол ( α ): градус
  Сторона ( d ) = мм

  Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 = 24, d = 12/3/2 = 243

  Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону: c = h.
  Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c = (d^2 – (a – b)^2)

  • В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD = 22*2/2 = 112
  • Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60 градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133
  • В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB. AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269

  Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья формула выведена на основании теоремы Пифагора.

  Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d = (c^2 — (a — b)^2) . Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.

  • В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 – 13)/3/2 = 103
  • В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 = 90
  • В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 – (36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430

  Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c = 2S/(a+b)*sina .

  • В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 = 100 – 96 = 4
  • Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2
  • В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам. Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2
  • Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN = 60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28

  Виды трапеций

  Существуют следующие виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны. Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб.
  • Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный треугольник.
  • Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180 градусов.

  Свойства трапеции

  1. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении) отрезок с длиной боковой стороны.
  3. Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
     Коэффициент подобия – k = AD/BC.
     Отношение площадей треугольников — k^2.
  4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь.
  5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
  6. Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
  7. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней линии.

  Если известны 3 стороны произвольного четырехугольника.как найти четвертую сторону?

  Если в условии упоминается, что этот четырехугольник можно вписать в окружность, то AB*CD=AD*BC ( то есть произведение двух противоположных сторон равно произведению двух других противоположных сторон).

  Остальные ответы
  никак, мало данных

  на 2 части раздели! будет 2 треугольника! найдеш 1треугольник найдеш и другой) а следовательно и сторону!

  Похожие вопросы
  Ваш браузер устарел

  Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

  Площадь четырехугольника

  

  Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

  Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

  

  Дан квадрат ABCD , расположенный в системе координат XY . Найти площадь фигуры, если координаты вершин A (2;10); B (10;8); C (8;0); D (0;2).

  Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
  Найдем одну из сторон, к примеру, AB :The lounge discord как пройти верификацию

• Как выключить компьютер но чтобы загрузка продолжалась
• Как отключить спам фильтр в gmail
• Как узнать версию joomla на чужом сайте